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【DOC】-高中数学公式大全、2012年高考数学解题方法思路汇总总结
高中数学公式大全、2012年高考数学解题方法思路
汇总总结
高中数学公式大全、2012年高考数学解题方法思路总结
高中数学常用公式及结论
1元素与集合的关系:
xAxCUA,xCUAxA.ØAA2集合
{a1,a2,,an}的子集个数共有2个;真子集有2,1个;非空子集有2,1个;非空的真子集有2,2个.
3二次函数的解析式的三种形式:
(1)一般式f(x)ax2,bx,c(a0);
(2)顶点式f(x)a(x,h)2,k(a0);(当已知抛物线的顶点坐标(h,k)时,设为此式)
(3)零点式f(x)a(x,x1)(x,x2)(a0);(当已知抛物线与x轴的交点坐标为(x1,0),(x2,0)时,设为此式)
(4)切线式:
f(x)a(x,x0)2,(kx,d),(a0)。
(当已知抛物线与直线ykx,d相切且切点的横坐标为x0时,设为此式)
4真值表:
同真且真,同假或假
5
nnnn6)
充要条件:
(1)、pq,则P是q的充分条件,反之,q是p的必要条件;
(2)、pq,且q?
>p,则P是q的充分不必要条件;
(3)、p?
>p,且qp,则P是q的必要不充分条件;
4、p?
>p,且q?
>p,则P是q的既不充分又不必要条件。
7函数单调性:
增函数:
(1)、文字描述是:
y随x的增大而增大。
(2)、数学符号表述是:
设f(x)在xD上有定义,若对任意的x1,x2D,且x1x2,都有f(x1)f(x2)成立,则就叫f(x)在xD上是
x)的递增区间。
增函数。
D则就是f(
减函数:
(1)、文字描述是:
y随x的增大而减小。
(2)、数学符号表述是:
设f(x)在xD上有定义,若对任意的x1,x2D,且x1x2,都有f(x1)f(x2)成立,则就叫f(x)在xD上是减函数。
D则就是f(x)的递减区间。
单调性性质:
(1)、增函数+增函数=增函数;
(2)、减函数+减函数=减函数;
(3)、增函数-减函数=增函数;(4)、减函数-增函数=减函数;
注:
上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的,是等号左边两个函数定义域的交集。
复合函数的单调性:
(1)设x1,x2a,b,x1x2那么
(x1,x2)f(x1),f(x2)0f(x1),f(x2)0f(x)在a,b上是
增函数;x1,x2
f(x1),f(x2)0f(x)在a,b上是减函数.
2)f(x1),f(x2)0x1,x2(x1,x
(2)设函数yf(x)在某个区间内可导,如果f(x)0,则f(x)为增函数;如果f(x)0,则f(x)为减函数.
8函数的奇偶性:
(注:
奇函数:
定义:
在前提条件下,若有f(,x),f(x)或f(,x),f(x)0,
则f(x)就是奇函数。
性质:
(1)、奇函数的图象关于原点对称;
(2)、奇函数在x>0和x<0上具有相同的单调区间;
(3)、定义在R上的奇函数,有f(0)=0.
偶函数:
定义:
在前提条件下,若有f(,x)f(x),则f(x)就是偶函数。
性质:
(1)、偶函数的图象关于y轴对称;
(2)、偶函数在x>0和x<0上具有相反的单调区间;
奇偶函数间的关系:
(1)、奇函数?
偶函数=奇函数;
(2)、奇函数?
奇函数=偶函数;
(3)、偶奇函数?
偶函数=偶函数;(4)、奇函数?
奇函数=奇函数(也有例外得偶函数的)
(5)、偶函数?
偶函数=偶函数;(6)、奇函数?
偶函数=非奇非偶函数
奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数(
9函数的周期性:
定义:
对函数f(x),若存在T0,使得f(x+T)=f(x),则就叫f(x)是周期函数,其中,T是f(x)
的一个周期。
周期函数几种常见的表述形式:
(1)、f(x+T)=-f(x),此时周期为2T;
(2)、f(x+m)=f(x+n),此时周期为2m,n;(3)、f(x,m),
10常见函数的图像:
1
,此时周期为2m。
f(x)
11对于函数yf(x)(xR),f(x,a)f(b,x)恒成立,则函数f(x)的对称轴是x函数yf(x,a)与yf(b,x)
的图象关于直线x12分数指数幂与根式的性质:
(1)a
mn
a,b
;两个2
b,a
对称.2
a0,m,nN,,且n1).
mn
(2)a
1
mn
a
(3)n
a.
a0,m,nN,,且n
1).
(4)当na;当n|a|
a,a0
.
a,a0
13指数式与对数式的互化式:
logaNbabN(a0,a1,N0).
指数性质:
(1)1、a
r
p
s
10mnmn
a0a1;
(2)、();(3)、a(a)p
a
r,s
(4)、aaa指数函数:
(a0,r,sQ);(5)、a;
mn
(1)、ya(a1)在定义域内是单调递增函数;
(2)、ya(0a1)在定义域内是单调递减函数。
注:
对数性质:
(1)、logaM,logaNloga(MN);
(2)、logaM,logaNloga(3)、logabmmlogab;(4)、logamb(6)、logaa1;(7)、a对数函数:
loagb
n
x
x
M
;N
n
logab;(5)、loga10m
b
(1)、ylogax(a1)在定义域内是单调递增函数;
(2)、ylogax(0a1)在定义域内是单调递减函数;注:
对数(3)、loga,x(0或,1)ax,ax0,(1,
(4)、logax0a(0,1)则x(1,,)或a(1,,)则x(0,1)
14对数的换底公式:
logaN
对数恒等式:
a
nlogmN(a0,且a1,m0,且m1,N0).logmalogaNN(a0,且
a1,N0).推论logambnlogab(a0,且a1,N0).m
MlogaM,logaN;N
nNnlogaN(n,mR)。
m15对数的四则运算法则:
若a,0,a?
1,M,0,N,0,则
(1)loga(MN)logaM,logaN;
(2)
loga(3)logaMnnlogaM(nR);(4)logam
16平均增长率的问题(负增长时p0):
如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则对于时间x的总产值y,有yN(1,p)x.17等差数列:
通项公式:
(1)ana1,(n,1)d,其中a1为首项,d为公差,n为项数,an为末项。
(2)推广:
anak,(n,k)d
(3)anSn,Sn,1(n2)(注:
该公式对任意数列都适用)
前n项和:
(1)Snn(a1,an);其中a1为首项,n为项数,an为末项。
2
n(n,1)d
(2)Snna1,2
(3)SnSn,1,an(n2)(注:
该公式对任意数列都适用)
(4)Sna1,a2,,an(注:
该公式对任意数列都适用)
常用性质:
(1)、若m+n=p+q,则有am,anap,aq;
注:
若am是an,ap的等差中项,则有2aman,apn、m、p成等差。
(2)、若an、bn为等差数列,则anbn为等差数列。
(3)、an为等差数列,Sn为其前n项和,则Sm,S2m,Sm,S3m,S2m也成等差数列。
(4)、apqa,qp,a则0pq,;
(5)1+2+3+„+n=
等比数列:
通项公式:
(1)ana1qn,1n(n,1)2a1nq(nN*),其中a1为首项,n为项数,q为公比。
q
(2)推广:
anakqn,k
(3)anSn,Sn,1(n2)(注:
该公式对任意数列都适用)
前n项和:
(1)SnSn,1,an(n2)(注:
该公式对任意数列都适用)
(2)Sna1,a2,,an(注:
该公式对任意数列都适用)
na1(3)Sna1(1,qn)1,q(q1)(q1)
常用性质:
(1)、若m+n=p+q,则有amanapaq;
注:
若am是an,ap的等比中项,则有amanapn、m、p成等比。
(2)、若an、bn为等比数列,则anbn为等比数列。
2
ab(1,b)n
18分期付款(按揭贷款):
每次还款x元(贷款a元,n次还清,每期利率为b).n(1,b),1
19三角不等式:
(1)若x(0,
(2)若x
(0,2),则sinxxtanx.
2
(3)|sinx|,|cosx|1.),则1sinx,cosxsin,cos20同角三角函数的基本关系式:
sin,cos1,tan=22
21正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限)
22和角与差角公式
sin()sincoscossin;cos()coscossin
sin;
tan()tantan.1tantan
b).aasin,
bcos,)(辅助角所在象限由点(a,b)的象限决定,tan
23二倍角公式及降幂公式
sin2sincos2tan.1,tan2
1,tan2cos2cos,sin2cos,11,2sin.1,tan2
2tansin21,cos2tan2tan.21,tan1,cos2sin2
1,cos21,cos2sin2,cos2222222
24三角函数的周期公式
函数ysin(x,),x?
R及函数ycos(x,),x?
R(A,ω,为常数,且A?
0)的周期T2;函数ytan(x,),xk,,kZ(A,ω,为常数,且A?
0)的周期T.2||||
三角函数的图像:
25正弦定理:
abc2R(R为ABC外接圆的半径).sinAsinBsinC
a2RsinA,b2RsinB,c2RsinCa:
b:
csinA:
sinB:
sinC
26余弦定理:
a2b2,c2,2bccosA;b2c2,a2,2cacosB;c2a2,b2,2abcosC.
27面积定理:
111ahabhbchc(ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高).222
111
(2)SabsinCbcsinAcasinB.222(3)SOABa,b,c斜边2Sr内切圆,r直角内切圆a,b,c2(1
)S
28三角形内角和定理:
在?
ABC中,有A,B,CC,(A,B)
CA,B,2C2,2(A,B).222
29实数与向量的积的运算律:
设λ、μ为实数,那么:
(1)结合律:
λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律:
(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律:
λ(a+b)=λa+λb.30a与b的数量积(或内积):
a?
b=|a||b|cos。
31平面向量的坐标运算:
(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),则ABOB,OA(x2,x1,y2,y1).
(4)设a=(x,y),R,则a=(x,y).(5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a?
b=(x1x2,y1y2).
32两向量的夹角公式:
(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1,x2,y1,y2).
(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b=(x1,x2,y1,y2).
abcos|a||b|(a=(x1,y1),b=(x2,y2)).
33平面两点间的距离公式:
d
A,B=|AB|(x1,y1),B(x2,y2)).34向量的平行与垂直:
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),且b0,则:
a||bb=λa
x1y2,x2y10.(交叉相乘差为零)ab(a0)a?
b=0x1x2,y1y20.(对应相乘和为零)35线段的定比分公式:
设P且PPP(x,y)是线段PPP2(x2,y2),12的分点,是实数,1(x1,y1),1PP2,
x1,x2xOP,OP21,则
OP1
1,yy1,y2
1,1t().
(1,t)OPOPtOP121,36三角形的重心坐标公式:
?
ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则
?
ABCx,x2,x3y1,y2,y3,).的重心的坐标是G(1
33
37三角形五“心”向量形式的充要条件:
设O为ABC所在平面上一点,角A,B,C所对边长分别为a,b,c,则
222OABC
(1)为的外心OAOBOC.
(2)O为ABC的重心OA,OB,OC0.
(3)O为ABC的垂心OAOBOBOCOCOA.(4)O为
ABC的内心aOA,bOB,cOC0.(5)O为
ABC的A的旁心aOAbOB,cOC.
2238常用不等式:
(1)a,bRa,b2ab(当且仅当a,b时取“=”号)(
a,b当且仅当a,b时取“=”号)(2
333(3)a,b,c3abc(a0,b0,c0).
(2)a,b
R,
(4)a,ba,ba,b.
2aba,b(5
)当且仅当a,b时取“=”号)。
a,b239极值定理:
已知x,y都是正数,则有
(1)若积xy是定值p,则当xy时和x,y有最小值2p;
(2)若和x,y是定值s,则当xy时积xy有最大值
(3)已知a,b,x,yR,若ax,by1则有
12s.4
1111byax,(ax,by)(,)a,b,,a,b,2。
xyxyxy
ab,(4)已知a,b,x,yR,若,1则有xy
abaybxx,y(x,y)(,)a,b,,a,b,2xyxy
240一元二次不等式ax2,bx,c0(或0)(a0,b2,4ac0),如果a与ax,bx,c同号,则
2其解集在两根之外;如果a与ax,bx,c异号,则其解集在两根之间.简言之:
同号两根之外,异
号两根之间.即:
x1xx2(x,x1)(x,x2)0(x1x2);
xx1,或xx2(x,x1)(x,x2)0(x1x2).
41含有绝对值的不等式:
当a>0时,有
xax2a2,axa.
xax2a2xa或x,a.
42斜率公式:
ky2,y1(P1(x1,y1)、P2(x2,y2)).x2,x1
43直线的五种方程:
k
(1)点斜式y,y1k(x,x1)(直线l过点P1(x1,y1),且斜率为)(
(2)斜截式ykx,b(b为直线l在y轴上的截距).
y,y1x,x1(y1y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(x1x2,y1y2)).y2,y1x2,x1
两点式的推广:
(x2,x1)(y,y1),(y2,y1)(x,x1)0(无任何限制条件~)
xy(4)截距式,1(a、b分别为直线的横、纵截距,a0、b0)ab
(5)一般式Ax,By,C0(其中A、B不同时为0).直线Ax,By,C0的法向量:
l(A,B),方向向量:
l(B,,A)(3)两点式
44夹角公式:
k2,k1|.(l1:
yk1x,b1,l2:
yk2x,b2,k1k2,1)1,k2k1
AB,A2B1
(2)tan|12|.(l1:
A1x,B1y,C10,l2:
A2x,B2y,C20,A1A2,B1B20).A1A2,B1B2
直线l1l2时,直线l1与l2的夹角是.2
45l1到l2的角公式:
k,k1
(1)tan2.(l1:
yk1x,b1,l2:
yk2x,b2,k1k2,1)1,k2k1
AB,A2B1
(2)tan12.(l1:
A).
1x,B1y,C10,l2:
A2x,B2y,C20,A1A2,B1B20A1A2,B1B2
直线l1l2时,直线l1到l2的角是.2
46点到直线的距离
:
d(点P(x0,y0),直线l:
Ax,By,C0).
(1)tan|
47圆的四种方程:
(1)圆的标准方程(x,a),(y,b)r.
22
(2)圆的一般方程x,y,Dx,Ey,F0(D,E,4F,0).22222
xa,rcos
.
yb,rsin
(4)圆的直径式方程(x,x1)(x,x2),(y,y1)(y,y2)0(圆的直径的端点是A(x1,y1)、B(x2,y2)).
(3)圆的参数方程
48点与圆的位置关系:
点P(x0,y0)与圆
(x,a)2,(y,b)2r2的位置关系有三种:
dr点P在圆外;dr点P在圆上;dr点P在圆内.
49直线与圆的位置关系:
直线Ax,By,C0与圆(x,a)2,(y,b)2r2的位置关系有三种
Aa,Bb,C(d):
22A,B
dr相离0;dr相切0;dr相交0.
若d
50两圆位置关系的判定方法:
设两圆圆心分别为O1,O2,半径分别为r1,r2,O1O2d,则:
dr1,r2外离4条公切线;dr1,r2外切3条公切线;
r1,r2dr1,r2相交2条公切线;dr1,r2内切1条公切线;
0dr1,r2内含无公切线.
r2-r1+rxacosx2y2c51椭圆2,21(a
b0)的参数方程是.离心率e
abybsina
a2b2准线到中心的距离为,焦点到对应准线的距离(焦准距)p。
cc
b2
过焦点且垂直于长轴的弦叫通经,其长度为:
2.
a
x2y2
52椭圆2,21(ab0)焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面
积:
ab
FPFa2a2
PF2e(,x)a,ex;PF1e(x,)a,ex,
SF1PF2c|yP|b2tan1。
2cc
53椭圆的的内外部:
22
x0y0x2y2
(1)点P(x0,y0)在椭圆2,21(ab0)的内部2,21.
abab
22x0y0x2y2
(2)点P(x0,y0)在椭圆2,21(ab0)的外部2,21.
abab
54椭圆的切线方程:
xxyyx2y2
(1)椭圆2,21(ab0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是02,021.
abab
xxyyx2y2
(2)过椭圆2,21外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是02,021.
abab
x2y222222
(3)椭圆2,21(ab0)与直线Ax,By,C0相切的条件是Aa,Bbc.
ab
x2
y2a2c55双曲线2,21(a0,b0)的离心率e准线到中心的距离为,焦点到对应准
abca
b2b2
线的距离(焦准距)p。
过焦点且垂直于实轴的弦叫通经,其长度为:
2.
caa2a2
焦半径公式PF1|e(x,)||a,ex|,PF2|e(,x)||a,ex|,
cc
F1PF2
两焦半径与焦距构成三角形的面积SF1PF2bcot。
2
56双曲线的方程与渐近线方程的关系:
x2y2x2y2b
(1)若双曲线方程为2,21渐近线方程:
2,20yx.
aabab
xyx2y2b
(2)若渐近线方程为yx0双曲线可设为2,2.
abaab
x2y2x2y2
(3)若双曲线与2,21有公共渐近线,可设为2,2
abab
(0,焦点在x轴上,0,焦点在y轴上).(4)焦点到渐近线的距离总是b。
57双曲线的切线方程:
xxyyx2y2
(1)双曲线2,21(a0,b0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是02,021.
abab
xxyyx2y2
(2)过双曲线2,21外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是02,021.
abab
x2y222222
(3)双曲线2,21与直线Ax,By,C0相切的条件是Aa,Bbc.
ab2
58抛物线y2px的焦半径公式:
p2
抛物线y2px(p0)焦半径CFx0,.
2
pp
过焦点弦长CDx1,,x2,x1,x2,p.
22
b24ac,b22
(a0)的图象是抛物线:
59二次函数yax,bx,ca(x,),
2a4a
b4ac,b2b4ac,b2,1,);,);
(1)顶点坐标为(,
(2)焦点的坐标为(,2a4a2a4a4ac,b2,1
(3)准线方程是y.
4a
60直线与圆锥曲线相交的弦长公式
AB
或AB
|x1,x2||y1,y2(弦端点A(x1,y1),B(x2,y2),由方程
ykx,b2
消去y得到ax,bx,c0
F(x,y)0
0,为直线AB的倾斜角,k
为直线的斜率,|x1,x2|61证明直线与平面的平行的思考途径:
(1)转化为直线与平面无公共点;
(2)转化为线线平行;
(3)转化为面面平行.
62证明直线与平面垂直的思考途径:
(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直;
(2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直;(3)转化为该直线与平面的一条垂线平行;(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面。
63证明平面与平面的垂直的思考途径:
(1)转化为判断二面角是直二面角;
(2)转化为线面垂直;
(3)转化为两平面的法向量平行。
64向量的直角坐标运算:
设a,(a1,a2,a3),b,(b1,b2,b3)则:
(1)a,b,(a1,b1,a2,b2,a3,b
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