弦长公式高二版椭圆.docx

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弦长公式高二版椭圆

圆锥曲线综合问

1.宜线方程的处理：

若直线方程未给出，应先假设。

（1）若已知直线过点（心儿），则假设方程为y-儿二饥—兀）；

（2）若已知直线的斜率斤，则假设方程为y=lcx^m；

（3）若仅仅知道是直线.则假设方程为〉上总+〃？

【注】以上三种假设方式都要注意斜率是否存在的讨论；

（4）若已知直线恒过x轴上一点（匚0）,且水平线不满足条件（斜率为0）,可以假设

直线为x=my+tQ【反斜截式，/n=yl不含垂直于丿轴的情况（水平线）k

22

2•弦长公式：

若直线l:

y=lcx+m与椭圆二+.=1@>方>0）相交于两点，求弦长

crZr

\PQ\的步骤：

设联立方程组（将直线方程代入椭圆方程）：

y=kx+m,〜

f_、=、=消去y整理成关于x的一元二次方程：

Af+&+C=0,

/r对=crb\

■

则几花是上式的两个根，A=B2-4AC>0；由韦达定理得：

西+总=一色「皿=£,AA

又P，0两点在直线/上，=kx}+miy2=kx2+m,则y2-yx=k（x2-xx）,从而

I

PQ1=Jc®—召）'+（〉‘2一Vi）'=J（R—召）2+"（尤2一齐）'=>/（1+，）（尤2—召），

【注意：

如果联立方程组消去人整理成关于》的一元二次方程：

Ay2+By+C=o9则

3、其他常见问题处理

（1）等腰（使用垂直平分），平行四边形（使用向量的平行四边形法则或者对角线中点重合）

（2）直径（圆周角为直角，向量垂直或斜率乘积等于-1）,其次考走是否需要求圆的方程。

（3）锐角和钝角使用数量积正负求解；涉及到其它角的问题使用正切值，转化为斜率求解;

（4）三角形内切圆的半径与三角形面积的关系：

S△二卩，（这里卩=匕『）；

（5）圆的弦长用垂径定理；（6）涉及到焦点要联想到定义；

（7）三点共线，长度之比尽量使用相似三角形转化为坐标之比，利用韦达定理。

例1・（2007山东卷）已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线（注：

左右准线方程为x=±—）间的距离为4

c

（I）求椭圆的方程；（U）直线/过点P（0,2）且与椭圆相交于A、B两点，当AAOB面积取得最大值时，求直线/的方程.

例1・解：

⑴—+y=i.

厶

（II）由题意知宜线/的斜率存在，设直线/的方程为.丫=也+2/3』）,3（勺亠）

y=kx+297

由〔宀2严2'消却得关于"的方程：

（出》+血+6“

3

由直细与椭圆相交于A、B两点，•••△W-24（Mg（2心）＞。

解楸込

点0到直线/的距离d=—1=,•••S般OB=丄IA31•（/=-3）2迈如—3

yj\+k2「2

令m=v2A^-3（/7?

>0）,

当且仅当m=-即加=2时,

m

则M=Z,s二逑—迟匡

nr+4,42

m+—

m

S叭=当此时R=±羊.所求直线为±府-2y+4=0

解法二：

由题意知直线

/的斜率存在且不为零•设直线I的方程为

2

y=也+2,A（x},y））,则直线/与x轴的交点D（—-.0）,

k

由解法一知L■且x{+Xj=——V‘X]•禺=—T»

2-1+2L-1+2S

11?

解法1：

S'%=—10£）1・1才_比1=_1一1・1仪+2_匕2_21=1召—勺I

22k

何疋话=塞M=牢.下同解法一.

例2：

已知椭圆y+y=l的左、右焦点分别为片，竹.过片的直线交椭圆于B,Q两点,过耳的直线交椭圆于4,C两点，且AC丄BD,垂足为P.

22

（I）设P（兀，儿），证明：

y+4<1;（H）求四边形ABCD的面积的最小值.

例2：

解：

（I）椭圆的半焦距c=VT3=l,由AC丄BD知点P在以线段斤耳为直径

22221

的圆上，故对+尤=1,所以（处理方法一）耳+¥§¥+¥=*<1.

丿厶乙厶乙

（处理方法二）

挂+泌=垃+匕Ll丄承1

323226°

（U）（i）当3D的斜率k存在且kHO时，3D的方程为y=k（x+l）,代入椭圆方程

22

—+—=1,并化简得（3/+2）”+6疋兀+3«2一6=0・A=48（/l+l）>0

32

设B（*yj,Dg,y2）t则片+花=_*+°‘小2=-；［_：

|旳=+1）詈gJ）；因为AC与相交于点P'且AC的斜率

故四边形ABCD的面积，注意/>0

$=m昭（昇翥伫3）=4寫賞=4（i-時J）•

QA

）=—,当疋=1时，上式取等号.

宀325

（ii）当3D的斜率^=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积5=4.

QA

四边形ABCD的面积的最小值为弋・【也可以令t=k2U>\,或者对分母用基本不等式】

25

例3、［2014-陕西文］已知椭圆若+$=1（5>0）经过点（0,回，离心率为壬，左、右焦点分别为Fi,Fi.

⑴求椭圆的方程；⑵若斜率为弓的直线/与椭圆交于A,B两点，与以

尸旧为直径的圆交于C,D两点，且满足丽=于，求直线/的方程.

（1）椭圆的方程为芋+¥=1

例3.解:

设何二3=/,则40,$沁=帛=七.因为f+*N4,当且仅当f=2,即k=^时等

由雳=¥，得寸解得m=鲁满足（*）••••直线/的为尸一*土習x2v2

例4、（2014全国I卷理）己知点A（0,-2）,椭圆E：

庐+話=l（a">0）的离心率为专.F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为羊，O为坐标原点.

（1）求E的方程；

（2）设过点A的动直线/与E相交于P,Q两点，当AOP。

的面积最大时，求/的方程.

例4.解：

（1）令+$2=1.⑵当/丄x轴时不合题意，故设/：

y=kx—2fP（xi,ji）,Q（x2t>2）.

将y=kx—2代入T+F=l得（l+4/r2）x2—16^x+12=0,

当d=16（血2_3）>o,即以>扌时，从而屮°|=

号成立，满足/>0,所以，当AOP。

的面积最大时，k=g,/的方程为j=±

例5、（2。

。

7浙江文）如图，直线y"+2椭圆宁+）7交于A、B两点，记MOB

的面积为S.

（I）求在k=Q,0

（II）当|AB|=2,S=1时，求直线AB的方程.

例5.解：

（I）设点A的坐标为（3"）,点B的坐标为（心几由罕+尸=1，

4

得丸2=±2/-，故S=[bI召一兀1=2J^\-b

基本不等式）

当且仅当b=—时,.S取到最大值1.

2

法二S=2jF（l_F）（看作F的二次函数）

法三：

令方二cos6UllO

y=kx+b

*

（II）由

'-4=0r

—+V2=1

14•

又因为O到AB的距离d=匸〒=希=1所以b2=k2+\③

J1+F1個

例6.（2007陕西文）已知椭圆C:

二+亠=：

1個>〃>0）的离心率为*，短轴一个端点到右cr3

焦点的距离为巧.

（I）求椭圆C的方程;（n）设直线I与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线I的距离为

—,求MOB面积的最大值.

2

例6、解：

（I）椭圆方程为=+）,2=1.

（U）设Ag”），Bg,y2）.⑴当AB丄JV轴时,|AB|=V3.

（2）当A3与x轴不垂直时，设直线A3的方程为y=kx+m.

把v=Rx+m代入椭圆方程，整理得（3/+\）x2+6kmx+3（w2-l）=0,

.•.△=12（3*2『+1）,X]+兀=37^^，召^2=■_.

3k+13k+1

由于S=lx|AB|nmx^,/\AOB面积取最大值只需IABI最大,乙厶

12

当k=0时，|48|=馆【也可以令r=3^2+l＞l,或者用基本不等式】

当《工0时IABI=|3+——三——W」3+Z_.=2.当且仅当9k2=X

J9宀右+6V2x3+6亡

即k=±£时等号成立.综上所述|AB|nm=2.

当\AB\最大时，/\AOB面积取最大值S=-x|ABjx斗=f

222

22

例7、【2015江苏文理】如图，在平面直角坐标系•中，已知椭圆十+活•=1（"＞〃＞0）

/2

的离心率为［,且右焦点F到左准线I的距离为3.

2

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段的垂直平分线分别交直线/和AB于点P,C,若PC=2AB9求直线AB的方程.

例7、解析：

（1）—+/=1.

2

（2）处理一：

当AB丄兀轴时，AB=＞/2＞又CP=3,不合题意.

当AE与*轴不垂直时，设直线AE的方程为y=k（x-\）,A（xpy1）,B（x2,y2）,

将AB的方程代入椭圆方程，得（1+2疋）〒一4^+2（疋一1）=0,△二8（1+/）＞0

若k=0,则线段AB的垂直平分线为F轴，与左准线平行，不合题意.

从而心。

，故直线PC的方程为尸占“护-卷），故心罟）

需=气兽，解得—所以直线AR方程为—或尸”

处理二：

显然AB不可能水平，且过F（1,O）,故设AB直线为x=my^\9联立

x=my+17?

7

夕•°,得（2+wr）r+2/ny-l=0,A=8（/h2+1）>0

疋+2〉广=2

设A（“J,B仏‘J,cg‘）则沪仝=二,丄

22+〃广2+nr

故C（亠，严），阴时）晋洋进竺©

2+nr2+nrV（2+〃广）。

2+〃广

故PC直线方程为y+佥…心吕）'故P（-2./）’点P到直线AB的

故2（〃厂+D（"+3）=土/2（1"）解得_2加2+i=o,即m2=1,加=±1（2+〃『）/+〃『2+〃广

例8、【2015浙江理】椭圆^-+/=1上两个不同的点A,3关于直线y=mx+-对称.

22

（1）求实数加的取值范围；

（2）求AAO3面积的最大值（O为坐标原点）.

例8.

（1）解法1：

由题意知〃?

丰0,可设直线AB的方程为y=^-x+b9即牙=吨-y）9m

x2+2v2=2

消去x,得（m2+2）y2一2bm2y+m2b2-2=0,x=m（b_y）

I厂

・・•直线―万+与椭圆亍八|有两个不同的交点,

AA=8（m2-m2b2+2）>0,设A（心乃）,,yt+y2=2

nr+2

故AB中点M（耳匕,上□=）代入直线方程y=mx+丄解得〃=—伫里，代入判别式

〃厂+2nr+222〃广

c（3〃广+4〃/一4）小（3m2-2）（/7?

2+2）八如>/6-^6

中得A=2x；=2x。

>0,得加<_亠或中〉J；

nrnr33

解法二：

（点差法）设A（X［，x）,B（X2，j2）,AB中点M（如,儿）,

故斤+2昇=2,x；+2y；=2,两式相减得彳一卅+2（弭一衣）=0,即

（鬲一无心+禺）+2（）［—+”）=0,变形为小_：

邑+2.'匚'2（'弓'2）=0

2x{-x22

2

故兀一一儿=°①

m

又C在直线y=+：

上，故几=〃％+］②，联立①②得C（一丄,一：

）在椭圆

22m2

内，所以丄+2<1解得〃『>7,故7»<-—或加>W；

2nr4333

⑵⑷"（1+用）汪一恥］2）,点。

到距离“啓驾,VM（〃广+2）。

Jl+rn12m1Jl+nV

1⑷（必2+2）IL2、2（3〃『—2）（〃r+2）V2J（3w2-2）（/n2+2）

—•——（（1+nr）———s———————=——■=

2J1+〃FV〃广（〃厂+2）-4nr

=至』3〃F-2）严巨=亚』3屛-2）（亦亘=並/（3_三）（1+_1）换元法

4vm4V〃广.〃广4ynrnr

••・2帶已（0,3）,S二牛（3-/）（1+r）w（0,斗］当且仅当Z时，Smax=^.

（或者S二返J江£「出〔3—生二,令2丄化为二次函数处理。

）

4Vm4Vnr/nm

22

例久［2015山东，文理】平面直角坐标系my中，已知椭圆C:

_+.=l（a＞〃＞0）的

crb，

离心率为f,左、右焦点分别是f以斤为圆心以3为半径的圆与以佗为圆心以1

乙

为半径的圆相交，且交点在椭圆C上.

X2V2

（I）求椭圆C的方程；（H）设椭圆+―=1,P为椭圆C上任意一点，过点P的4a_4lr

直线y=d+加交椭圆E于A.B两点，射线PO交椭圆E于点0.

（i）求為的值；（ii）求^ABQ面积的最大值•

2

例9•解析：

（I）椭圆C的标准方程为匚+员=1.

r-v"

（H）由⑴知椭圆E的方程为忆+才"

（ii）设4（曲」）"（七*2）将y=kx+m代入椭圆E的方程,

可得（1+4Z:

2）x2+Skmx+4m2-16=0由厶=16（16/+4-〃『）＞0,（估计你算晕了吧,记住：

系数太大要提取|公甌减少计算），可得m2＜4+\6k2①则有心2"器卞=也肖’因为宜线），"+加与输交点的坐标为（0"）

”r“hE1III]2yJ\6k2+4-nr\m\

所以AQAB的面积S=—〃7-xd=厂一」

2111」1+4£・

1.亦

1+4疋丿

1+4,

2/16产+4【〃帀"2

令—，【这换元太有难度了，最好看成关于开的开口向下的二次函数，丽称轴】

将y=kx+m代入椭圆C的方程可得（1+4/）十+Sknix+4m2-4=0

由△》（）,可得m2<\+4k2②

由①（D可知Ov/Sl因此S=2^（4-r）r=2y/-r+4t、故S52忑当且仅当/=1,即〃『=1+4/时取得最大值2

由⑴知，AABQ面积为3S，所以AABQ面积的最大值为6血.

例10.（2011天津理）已知椭圆4+4=1（«>/?

>0）的离心率e=—.连接椭圆的四crlr2

个顶点得到的菱形的面积为4・

（I）求椭圆的方程；

（II）设直线/与椭圆相交于不同的两点A.B.已知点A的坐标为（-",0）.

（i）若|脑|=誓，求直线/的倾斜角；

（ii）点C（O,yo）在线段AB的垂直平分线上，且QAQB=4.求儿的值.

2

例似【解】（I）椭圆的方程^+r=1.

（II）（i）由（I）得A（-2,0）.设点B的坐标为（xpy,）,

由题意直线/的斜率存在，设直线/的斜率为则直线/的方程为y=k（x+2）.

y=R（x+2）,

于是43两点的坐标满足方程组/由方程组消去y并整理得

—+F=1,

4•

（1+4“）疋+16klv+（16&，-4）=0,

处理方法一：

（宜接求解点的坐标）因为x=-2是方程的一个根，则由韦达定理有

\6k2-42_肿al

一2州=-―^（体会这种方法），所以x严,从而y{=k（xl+2）=

1+4S1+4匕1+4L

处理方法二AM6>0,I叫（"）岛冒。

由网二罟

所以k=±l.所以直线/的倾斜角为仝或兰.

44

2£）

（ii）线段A3的中点为M,则M的坐标为-厂

1+4£・l+4/r丿

下面分情况讨论：

⑴当£=0时，点B的坐标为（2,0）,线段AB的垂直平分线为y轴.

于是QA=（-2,-y0）,0B=（2,-yo）,由©X・砂=4得y0=±2>/2.

（2）当£工0时，线段A3的垂直平分线方程为

2kif肿）

1+4疋k\1+4/丿

由鬲=（一2,—儿），0斤=（召，儿一儿）,

列匕"—）=4.整理得7k2=2.

（l+4f

所以>，0=~1^4/7=±尝匡・综上，》'o=±2J5或儿=±斗士.

例11、（2007山东理）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.

（I）求椭圆C的标准方程；

（II）若直线l:

y=kx+m与椭圆C相交于A,3两点（AB不是左右顶点），且以A3

为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：

直线/过定点，并求出该定点的坐标•

例1K解⑴由题意设椭圆的标准方程洱+沪1（小＞。

）

a+c=3,a—c=1,a=2,c=1,Z?

32=3,.•・——F-—=1.

43

y=kx+m

（II）设A3皿“也宀），

由r2v2得（3+4k2）x2+Smlcx+4（〃『-3）=0,

—+—=1

143

A=64m’k2—16（3+4k2）（m2一3）=48（4^2一m2+3）>0,得3+4疋一m2>0.

Smk

4（〃『一3）

3+4/

・y2=（g+m）•（上X、+rn）=k2x}x2+mk（x{+x2）+m2=

3（加2-4/）

3+4k2

・・・以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2,0）,kAD-kHD=-1,

X|—2_2

y}y2+x$2一2（召+x2）+4=o,

3（m-4k2）4（〃/一3）16mk

2卄行,且满足3+心宀。

・

当m=-2k时，/:

y=k（x—2）,直线过定点（2,0）,与已知矛盾;

2

当m=~时，/：

〉，=心一守），直线过定点（彳,0）.

⑴当RHO时，MN的斜率为一丄，（一丄代替k）同理可得hwVl=^（1+（_^}kk

4（1+疋）（1+其）4（2+宀穆）故四边形面积S=丄IP011MN1==,

2（2+疋）（2+丄）5+2疋+

!

clc

令“"2+丄得$=4（2_〃）=2（1——）,Vu=k2+X^2

k25+2“5+2“k2

当£=±1时"=2,S二兰且S是以"为自变量的增函数,:

.—

99

②当《=0时,MN为椭圆长轴,|A£V|=2V2,|PQ|=V2<,AS=-\PQ\\MN\=2

2

综合①②知四边形PMQN的最大值为2,最小值为#。

（D）/,丄匚都过点P（O,-1）,设直线厶：

y=d—ld也一y—l=O〃存在不为0,宜线人：

〉，=一2兀一1亠/+幼+«=0,所以圆心（0,0）到直线厶：

也一$-1=0的距离为

・k

d=/…,直线厶被圆V+）厂=4所截的弦AB=4-d■=.?

—

yji+k2J1+疋

x+ky+k=0

由*2。

伙2+4）/+8也=0,所以△=64疋>0

—+=1

=里=里V旦』伍

力+3丄_13阿壬口2^1313，

J4疋+3（4—3JW+3

当如+3=-^2^="=?

斗=±迥时等号成立，直线ll-.y=±—x-\4^3222

例14、已知椭圆的焦点坐标为斥（-1,0）,朽（1,0）,过朽垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q

两点，且00=3,

（1）求椭圆的方程；

（2）过耳的直线/与椭圆交于不同的两点M、N,则厶F}MN的内切圆的面积是否存在最大值？

若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由・例】4、解：

⑴椭圆方程为卜j

（2）设人心2』2），设AFiMN的内切圆的径心则\F\MN的周长为5=8,

S*n=丄（MN+斥M+坊小心4R,因此S*孙最大，尺就最

2

大，

y

法一：

利用面积公式S"杯-=41斥®•1X->'21

（水平宽与铅垂高乘积的一半，三角形被水平线或竖宣线分割成同

底的两个三角形）

由题知，直线/的斜率不为零，可设直线/的方程为x=my+lf（灵

活使用反斜截式）

x=my+1x2y2得⑶/+4））'+6/?

/y-9=0,△=144（"+1）

—+—=1

143

则Sw詁1和|心-〉十尸

23nr+4

令t=y/nr+1，贝ytai,则S詁mn

12>/加?

+l_12/_12

3〃『+43/2+13/+1'

99

这时所求内切圆面积的最大值为-y-故直线处“"MN内切圆面积的最大值为-n

1616

法二、更具有一般性St=fIMNI•〃,（其中〃是斥到直线MN的距离）由题知，直线/的斜率不为零，可设直线/的方程为x=niy+l,（灵活使用反斜截式）

2点F}到宜线MN的距离d=j

Ji+〃r

x=my+1

12I?

3

QamnWE即当/=5=0时，AWA,W丁=3,mN=4R，:

.=-»

9o

这时所求内切圆面积的最大值为一兀•故直线/：

x=l,2MN内切圆面积的最大值为一ox

1616

例15、［2014•四川文］已知椭圆C：

符需=1（5>0）的左焦点为F（-2,0）,离心率为当.⑴求椭圆C的标准方程；

（2）设O为坐标原点，T为直线兀=一3上一点，过F作7T的垂线交椭圆于P，0当四边形OP7P是平行四边形时，求四边形OP7Q的面积.

例15、解：

（1）?

+十=1・

W/—0

⑵设T点的坐标为（一3,〃小则直线TF的斜率kTF=_、_（_2）=_加・当加工0时，直线PQ的斜率灯q£,宜线P0的方程是x=my-2.

当加=0时，直线P0的方程是x=-29也符合x=my-2的形式.

设P（xi,J1）,0（X2,yi）9将直线P0的方程与椭圆（：

的方程联立，得

消去小得（w+3）j2—4mj—2=0,其判别式J=167//2+8（/h2+3）>0.十z.4/n—2.▲—12

所以川+）'2=芮刁财2=芮了小+"2=〃心+旳）—4=齐・

因为四边