相交线与平行线提高题.docx
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相交线与平行线提高题
【例题】如图,直线AB与CD相交于点O,OM⊥AB,且OM平分∠NOC.若∠BOC=4∠NOB,求∠MON的度数.
【分析】遇到类似“∠BOC=4∠NOB”这样条件,常设∠NOB=2x,∠BOC=8x(目的为了计算和书写方便,也为了更好理解,是常法——强烈建议),则有∠CON=6x,再根据“垂直的定义、角平分线的定义”可得到∠MON=0.5∠CON=3x,∠BOM=∠MON+∠NOB=3x+2x=90°,求出x的值,进一步即可得∠MON的度数.
【解】设∠NOB=2x,∠BOC=8x,
则∠CON=∠COB﹣∠BON
=8x﹣2x=6x.
∵OM平分∠CON,
∴∠MON=0.5∠CON=3x,
∵OM⊥AB,
∴∠AOM=90°,
∴∠BOM=∠MON+∠NOB
=3x+2x=90°,
解得x=180,
∴∠MON=3x=3×18°=54°,
即∠MON的度数为54°.
【点评】本题涉及到对顶角、邻补角的概念和性质,熟练掌握对顶角相等、垂直的定义、角平分线的定义是解题的关键,同时务必要注意解题规范,几何书写入门必须严格掌握
【练习】
如图,已知AB、CD相交于点O,OB平分∠COE,OF⊥AB于O,
(1)若∠EOF=120°,求∠AOD的度数;
(2)若∠BOE=1/4∠EOF,求∠DOE的度数
【解】
(1)
∵OF⊥AB,∴∠BOF=90°
又∵∠EOF=120°
∴∠BOE=∠EOF﹣∠BOF=30°
∵OB平分∠COE
∴∠BOC=∠BOE=30°
∵∠AOD=∠BOC
∴∠BOC=30°;
(2)设∠BOE=x,则∠EOF=4x
∵∠BOF=∠EOF﹣∠BOE
=4x-x=3x.
∵∠BOF=90°,
∴3x=90°,解得:
x=30°
∵OB平分∠COE,
∴∠COE=2∠BOE=2x=60°
∴∠DOE=180°﹣∠COE=120°.
【例题】如图,直线EF,CD相交于点O,OA⊥OB,且OC平分∠AOF,
(1)若∠AOE=40°,求∠BOD的度数;
(2)若∠AOE=α,求∠BOD的度数(用含α的式子表示);
(3)从
(1)
(2)的结果中能看出∠AOE和∠BOD有何关系?
(1)∵∠AOE+∠AOF=180°
(邻补角的定义),
∴∠AOF=180°-∠AOE,
=1800-400=140°;
又∵OC平分∠AOF,
∴∠FOC=0.5∠AOF=70°,
∴∠EOD=∠FOC=70°
(对顶角相等);
而∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=50°,
∴∠BOD=∠EOD﹣∠BOE=20°;
(2)∵∠AOE+∠AOF=180°,
(邻补角的定义)
∴∠AOF=180°-∠AOE=180°﹣α;
又∵OC平分∠AOF,
∴∠FOC=0.5∠AOF=90°﹣0.5α,
∴∠EOD=∠FOC=90°﹣0.5α
(对顶角相等);
而∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=90°﹣α,
∴∠BOD=∠EOD﹣∠BOE=0.5α;
(3)从
(1)
(2)的结果中不难观察出:
∠AOE=2∠BOD.
【反思】利用对顶角、邻补角的概念和性质,熟练掌握对顶角相等、垂直的定义、角平分线的定义是解题的关键,注意领会解题思路和解题过程和格式.几何入门书写必须严格规范.
【练习】O为直线DA上一点,OB⊥OF,EO是∠AOB的平分线.
(1)如图
(1),若∠AOB=130°,求∠EOF的度数;
(2)若∠AOB=α,90°<α<180°,求∠EOF的度数;
(3)若∠AOB=α,0°<α<90°,请在图
(2)中画出射线OF,使得
(2)中∠EOF的结果仍然成立.
【解答过程】
(1)∵EO是∠AOB的平分线,
∠AOB=130°,
∴∠AOE=0.5∠AOB=650.
∵OB⊥OF,∴∠BOF=90°,
∴∠AOF=∠AOB﹣∠BOF
=130°﹣90°=40°,
∴∠EOF=∠AOE﹣∠AOF
=65°﹣40°=25°;
(2)∵∠AOB=α,90°<α<180°,
EO是∠AOB的平分线,
∴∠AOE=0.5∠AOB=0.5α,
∵∠BOF=90°,∴∠AOF=α﹣90°,
∴∠EOF=∠AOE﹣∠AOF
=0.5α﹣(α﹣90°)
=900-0.5α;
(3)如下图示,
∵∠AOB=α,0°<α<90°,
∴∠BOE=∠AOE=0.5α,
∵∠BOF=90°,
∴∠EOF=∠BOF﹣∠BOE
=900-0.5α.
【试题】如图,AB∥CD,AE平分∠BAD,CD与AE相交于F,∠CFE=∠E.求证:
AD∥BC.
【分析】可利用平行线的性质以及角平分线的性质得到满足关于AD∥BC的条件:
内错角∠2和∠E相等.
证明:
∵AE平分∠BAD,
∴∠1=∠2,
∵AB∥CD,
∴∠1=∠CFE
∵∠CFE=∠E,
∴∠2=∠E,
∴AD∥BC.
【点评】本题是角平分线的性质以及平行线的判定定理的综合运用.
【拓展】如图,AB∥CD,AE平分∠BAD,CD与AE相交于F,∠CEF=∠F.求证:
AD∥BC.
【分析】可利用平行线的性质以及角平分线的性质得到满足关于AD∥BC的条件:
内错角∠2和∠E相等.
证明:
∵AE平分∠BAD,
∴∠1=∠2,
∵AB∥CD,
∴∠1=∠CFE
∵∠CEF=∠F,
∴∠2=∠E,
∴AD∥BC.
【反思】注意体会拓展与原题(试题内容和解答过程)的区别与联系,再结合图形思考,展开想象,探寻动与静的规律与联系.
【例题】已知:
如图,点B在直线AC上,BE和AD交于F点,∠A=∠ADE,∠C=∠E.
(1)若∠EDC=3∠C,求∠C的度数.
(2)求证:
BE∥CD.
(1)∵∠A=∠ADE,
∴AC∥DE,
∴∠EDC+∠C=180°,
又∵∠EDC=3∠C,
∴4∠C=180°,
即∠C=45°;
(2)∵AC∥DE,
∴∠E=∠ABE,
又∵∠C=∠E,
∴∠C=∠ABE,
∴BE∥CD.
【反思】
(1)要能回答出上面每一步推理的根据,特别要注意逻辑顺序.
(2)本题主要考查了平行线的性质以及判定的运用,解题时应注意判定与性质的区别,不可用错.
【拓展】
已知:
如图,点B在直线AC上,BE和AD交于F点,∠A=∠ADE,∠DCB=∠DEB.
(1)若∠DCB=3∠EDC,求∠DCB的度数.
(2)求证:
BE∥CD.
【例题】如图,D、E在△ABC的边AB上,F点在边BC上,已知∠AGD=∠ACB,∠1=∠2.求证:
CD∥EF.
【拓展1】如图,D、E在△ABC的边AB所在的直线上,F点在边BC所在直线上,已知∠AGD=∠ACB,∠1=∠2.求证:
CD∥EF.
【拓展2】如图,D、E在△ABC的边AB所在的直线上,F点在边BC所在直线上,已知∠AGD=∠ACB,∠1=∠2.求证:
CD∥EF.
【拓展3】如图,D、E在△ABC的边AB所在的直线上,F点在边BC所在直线上,已知∠AGD=∠ACB,∠1=∠2.求证:
CD∥EF
【例题】如图,A、B、C三点在同一直线上,D、E、F也在同一直线上,已知∠A=∠F,∠C=∠D,求证BD∥CE.
【拓展1】如图,A、B、C三点在同一直线上,D、E、F也在同一直线上,已知∠A=∠AFD,∠C=∠D,求证BD∥CE.
【拓展2】如图,A、B、C三点在同一直线上,D、E、F也在同一直线上,已知∠CAF=∠F,∠C=∠D,求证BD∥CE.
【拓展2】如图,A、B、C三点在同一直线上,D、E、F也在同一直线上,已知∠CAF=∠AFD,∠C=∠D,求证BD∥CE.
【例题】如图,直线a∥b,AC⊥BC,∠2=55°,求∠1的度数.
【分析】∠1与∠2均不是“三线八角”的角,因此通过a∥b,想方设法构造“三线八角”,建立∠1、∠2及∠ACB之间的联系,从而求出∠2的度数.
法一:
如下图示,
法二:
(图解)如下图示,
【反思与拓展】
【拓展1】如图,直线a∥b,AC⊥BC,∠2=55°,求∠1的度数.(不可用“三角形内角和定理”)
【拓展2】如图,直线a∥b,AC⊥BC,∠2=55°,求∠1的度数.
8.【例题】已知,如图,DE⊥AC于E,∠AGF=∠ABC,∠1+∠2=180°,试判断BF与AC的位置关系,并说明理由.
理由:
∵∠AGF=∠ABC,
∴BC∥GF
∴∠1=∠3;
又∵∠1+∠2=180°,
∴∠2+∠3=180°,
∴BF∥DE;
∴∠AFB=∠AED
∵DE⊥AC,
∴∠AED=90°
∴∠AFB=90°
∴BF⊥AC.
【点评】本题考查平行线的判定与性质,正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角,并正确运用平行线的判定和性质是正确答题的关键.解题时要注意几何语言书写格式与过程,同时要注意思路与正确解答之间的关系.
【拓展1】已知,如图,DE⊥AC于E,∠AGF=∠ABC,∠1=∠2,试判断BF与AC的位置关系,并说明理由.
【拓展2】已知,如图,DE⊥AC于E,∠AGF=∠ABC,∠1=∠2,试判断BF与AC的位置关系,并说明理由.
【拓展3】已知,如图,DE⊥AC于E,∠AGF=∠ABC,∠BDE=∠BFC,试判断BF与AC的位置关系,并说明理由.
【例题】如图,CD∥AB,∠DCB=70°,∠CBF=20°,∠EFB=130°,
(1)问直线EF与AB有怎样的位置关系?
并加以证明;
(2)若∠CEF=70°,求∠ACB的度数.
【拓展1】如图,CD∥AB,∠DCB=30°,∠CBF=20°,∠EFB=130°,
(1)问直线EF与AB有怎样的位置关系?
并加以证明;
(2)若∠CEF=110°,求∠ACB的度数.
【拓展2】如图,CD∥AB,∠DCB=80°,∠CBF=20°,∠EFB=80°,
(1)问直线EF与AB有怎样的位置关系?
并加以证明;
(2)若∠CEF=70°,求∠ACB的度数.
【试题】如图,已知∠1+∠2=180°,∠B=∠3,求证:
DE∥BC.
【拓展1】如图,已知∠1=∠2,∠DBF=∠DEF,求证:
DE∥BC.
【拓展2】如图,已知∠1=∠2,∠4+∠DEF=1800,求证:
DE∥BC.
【例题】如图,AB∥CD,∠ABE=70°,∠DCE=144°,求∠BEC的度数.
【分析】图中虽有AB∥CD,但无法直接得到“三线八角”,因此必须添加“辅助线”,将已知和所求的角进行联系,想方设法构造出“三线八角”的基本图形,然后根据平行线的性质和判定进行转化.方法有多种:
分别说明如下:
法一:
过E点往右侧作EF∥CD,如下图示:
法二:
过E点往左侧作EF∥CD,如下图示:
法三:
过B点作BF∥CD,交DC的延长线于F,如下图示:
法四:
过C点作CF∥BE交AB的延长线于F,如下图示:
【点评】本题主要考查了平行线的性质和判定,利用已有的平行线,再构造“三线八角”是解题的关键,当然如果学了三角形(或多边形)的内角和,则解法就更多了:
只要能得到“三线八角”均可得解.
【拓展1】如图,AB∥CD,∠ABE=70°,∠DCE=54°,求∠BEC的度数
【拓展2】如图,AB∥CD,∠ABE=35°,∠DCE=110°,求∠BEC的度数.
【拓展3】如图,AB∥CD,∠ABE=40°,∠DCE=20°,求∠BEC的度数.
【试题】已知AB∥CD,∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F.
(1)如图1,若∠E=80°,求∠BFD的度数.
(2)如图2中,∠ABM=1/3∠ABF,∠CDM=1/3∠CDF,写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论.
(3)若∠ABM=1/n∠ABF,∠CDM=1/n∠CDF,设∠E=m°,直接用含有n,m°的代数式表示写出∠M= .
【解析】
(1)首先先求出∠ABE+∠CDE的度数,方法均有4种,下面仅提供一种解法:
如下图示,过E点作EG∥CD,因AB∥CD,所以AB∥EG∥CD,得到∠ABE+∠2=1800,∠CDE+∠1=1800,从而∠ABE+(∠1+∠2)+∠CDE=3600,而∠BED=∠1+∠2=800,所以∠ABE+∠CDE=2800.
再求∠3+∠4的度数,因BF和DF分别平分∠ABE和∠CDE,所以有∠3+∠4=0.5∠ABE+0.5∠CDE=0.5(∠ABE+∠CDE)=1400.
类似上述思路,可求得∠BFD=∠5+∠6=∠3+∠4=1400.如下图示:
(2)如下图示:
类似前面分析,可得到:
∠ABE+∠CDE=3600-∠E,
∠ABF+∠CDF=0.5∠ABE+0.5∠CDE
=0.5(∠ABE+∠CDE)
=…=1800-0.5∠E,
进一步,得到:
∠3+∠4=1/3∠ABF+1/3∠CDF
=1/3(∠ABF+∠CDF)
=1/3(1800-0.5∠E)
=600-1/6∠E.
得到∠BMD=∠7+∠8
=600-1/6∠E.
即6∠BMD+∠E=3600.
(3)与
(2)题类似,如下图示:
类似前面分析,可得到:
∠ABE+∠CDE=3600-∠E,
∠ABF+∠CDF=0.5∠ABE+0.5∠CDE
=0.5(∠ABE+∠CDE)
=…=1800-0.5∠E,
进一步,得到:
∠3+∠4=1/n∠ABF+1/n∠CDF
=1/n(∠ABF+∠CDF)
=1/n(1800-0.5m0)
=1800/n-m0/(2n).
得到∠BMD=∠7+∠8
=1800/n-m0/(2n).
即∠BMD+∠E=(3600-m0)/(2n).
【点评】本题主要考查了平行线的性质和判定的综合应用,关键在于“如何构造”三线八角“.
【拓展】已知AB∥CD,∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F.若∠ABM=1/n∠ABF,∠CDM=1/n∠CDF,设∠E=m°,直接用含有n,m°的代数式表示,写出∠M=
【提示】解法类似,m0/(2n).
【试题】已知:
如图,直线a∥b,直线c与直线a、b分别相交于C、D两点,直线d与直线a、b分别相交于A、B两点,点P在直线AB上运动(不与A、B两点重合).
(1)如图1,当点P在线段AB上运动时,总有:
∠CPD=∠PCA+∠PDB,请说明理由;
(2)如图2,当点P在线段AB的延长线上运动时,∠CPD、∠PCA、∠PDB之间有怎样的数量关系,并说明理由;
(3)如图3,当点P在线段BA的延长线上运动时,∠CPD、∠PCA、∠PDB之间又有怎样的数量关系(只需直接给出结论)?
【图文解析】
前面已有文章分析,此类问题均有4种解法,其各种情况的结论也类似.下面也仅用一种常用方法简析:
每小题均过点P作a的平行线,根据平行线的性质进行求解.
【拓展】已知:
如图,直线a∥b,直线c与直线a、b分别相交于C、D两点,直线d与直线a、b分别相交于A、B两点,点P在直线AB上运动(不与A、B两点重合).当点P在如下图的平面各个区域内运动时,试直接到写出∠CPD、∠PCA、∠PDB之间的数量关系.
如图,∠1=∠BDC,CE⊥AE于E,∠2+∠3=180°,求证:
DA⊥AE
已知,如图,BCE、AFE是直线,AB//CD,∠1=∠2,∠3=∠4,求证:
AD//BE
如图,∠1=∠2,CF⊥AB,DE⊥AB,求证:
FG//BC
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