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实变1答案
实变1答案
华中师范大学2008–2009学年第一学期
期末考试试卷(A卷)解答
课程名称实变函数课程编号83410014
任课教师
题型
判断题
叙述题
计算题
解答题
总分
分值
15
15
10
60
100
得分
一、判断题(判断正确、错误,请在括号中填“√”或“×”。
共5小题,每题3分,共5×3=15分)
1、设则集合是可数集合。
(×)
2、Cantor集是中无处稠密的完备集合。
(√)
3、设是可测集,若对任何有理数可测,则在上可测。
(√)
4、若是可测集,则对任何是上的可测集合。
(×)
5、若是上的有界变差函数,则。
(×)
二、叙述题(共5小题,每题3分,共5×3=15分)
1、Bernstein关于两集合对等的定理
答:
Bernstein定理:
若是两集合,如果存在的子集,的子集,使,则.
2、中开集的构造定理
答:
(1)中非空开集是至多可数个互不相交的开区间的并集,反之亦真。
(2)中非空开集是可数个互不相交的半开半闭区间并集。
院(系):
专业:
年级:
学生姓名:
学号:
-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线---------------------------------------------------------
3、Lusin定理
答:
设是可测集上几乎处处有限的可测函数,则,存在闭子集使在上连续,且。
4、Fubini定理
答:
设在上可积,则
(1)对几乎所有的,作为的函数在上可积;
(2)在上可积;
(3)
5、有界闭区间上绝对连续函数的定义
答:
设定义于上,如果对于任意的>0,使于上的任意一组分点,只要,便有,
则称为上的绝对连续函数.,或说在上绝对连续。
三、计算题(共1题,共1×10=10分)
设为全体有理数所成的集合,在上函数定义如下:
求。
解:
因从而几乎处处于。
显然,是上的连续函数,从而在上有界且Riemann可积,故由Riemann积分与Lebesgue积分的关系定理,在上Lebesgue可积且
由于几乎处处于,故由积分的基本性质
第1页(共3页)
3、设都是可测集上的非负可测函数且,用表示集合的特征函数(示性函数)。
证明函数是上的可测函数。
证:
对任意实数,我们有
显然和是上的可测集。
而
由于都是上的非负可测函数,故和可测,从而
也可测。
于是都可测,故是上的可测函数。
4、设是中的可测集,是上的Lebesgue可积函数。
证明:
(1)若于,则存在上的非负简单函数列使得;
(2)存在上的简单函数列使得。
证:
(1)因为非负可测,故在上存在非负简单函数列,使得。
而
,
故由Lebesgue控制收敛定理知。
(2)设分别是的正部和负部,则在上都非负可积,从而应用
(1)的结论知,存在上的非负简单函数列和,使得
令,则是上的简单函数,且由不等式
知。
第2页(共3页)
5、设,证明若在上,则。
证:
先设,则由定义知,即
现任给,若,则,从而
若则取,此时
从而也有故于。
由于,,
由Lebesgue有界收敛定理知
。
6、设函数是中的有界可测集上的Lebesgue可积函数,且。
证明:
(1)是上的连续函数,其中是以原点为中心以为半径的开球。
(2)存在可测集,使得且。
-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线---------------------------------------------------------
证:
(1)设,记,
则且在上单调递增,而
因为在上可积,由积分的绝对连续性知,当时,
,从而。
于是在上是连续函数。
(2)因在闭区间上连续,故由介值定理知存在使得
记,则
且。
第3页(共3页)
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