高等数学公式大全.docx
- 文档编号:2954011
- 上传时间:2022-11-16
- 格式:DOCX
- 页数:141
- 大小:274.09KB
高等数学公式大全.docx
《高等数学公式大全.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高等数学公式大全.docx(141页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
高等数学公式大全
考研数学知识点-高等数学
一.函数的概念
1.用变上、下限积分表示的函数
公式1.lim
x→0
sinx
x
=1
连续,
x
0
ϕ2(x)
1
12
v→0
1
n→∞
⎛
nu
→
则
dy
dx
=f[ϕ2(x)]ϕ2(x)−f[ϕ1(x)]ϕ1(x)
4.用无穷小重要性质和等价无穷小代换
5.用泰勒公式(比用等价无穷小更深刻)(数学一和
2.两个无穷小的比较
数学二)
设limf(x)=0,limg(x)=0,且lim
f(x)
g(x)
=l
xn
2
2!
n!
(1)l=0,称f(x)是比g(x)高阶的无穷小,记以
f(x)=0[g(x)],称g(x)是比f(x)低阶的无穷
sinx=x−
3
3!
5!
n
x2n+1
(2n+1)!
+0(x2n+1
)
小。
(2)l≠0,称f(x)与g(x)是同阶无穷小。
cosx=1−
2
2!
4!
n
x2n
(2n)!
+0(x2n)
(3)l=1,称f(x)与g(x)是等价无穷小,记以
ln(1+x)=x−
2
23
n
n
+0(xn)
f(x)~g(x)
3.常见的等价无穷小
当x→0时
sinx~x,tanx~x,arcsinx~x,arctanx~x
32n+1
arctanx=x−+0x2n+1
352n+1
(1+x)〈=1+〈x+〈(〈−1)x2+⊄+〈(〈−1)⊄[〈−(n−1)]xn+0(xn)
2!
n!
1−cosx~
12
2
6.洛必达法则
(1+x)〈
−1~〈x
法则1.(
0
0
型)设
(1)limf(x)=0,limg(x)=0
二.求极限的方法
1.利用极限的四则运算和幂指数运算法则
2.两个准则
准则1.单调有界数列极限一定存在
(1)若xn+1≤xn(n为正整数)又xn≥m(n为正
n→∞
(2)若xn+1≥xn(n为正整数)又xn≤M(n为正
n→∞
准则2.(夹逼定理)设g(x)≤f(x)≤h(x)
(2)x变化过程中,f′(x),g′(x)皆存在
(3)lim=A(或∞)
则lim=A(或∞)
(注:
如果lim不存在且不是无穷大量情形,则
不能得出lim不存在且不是无穷大量情形)
若limg(x)=A,limh(x)=A,则limf(x)=A
法则2.
∞
∞
型)设
(1)limf(x)=∞,limg(x)=∞
3.两个重要公式
1
(2)x变化过程中,f′(x),g′(x)皆存在
Editedby杨凯钧2005年10月
∫f(t)dt,其中f(t)连续,则dx=f(x)
dy
(1)y=
∫ϕ()f(t)dt,其中ϕ(x),ϕ(x)可导,f(t)
(2)y=
x
公式2.lim⎜1+
⎝
lim(1+v)v=e
1⎞
1⎞
⎛
⎟=e;ulim∞⎜1+⎟=e;
n⎠⎝u⎠
′′
()
xxn
当x→0时,e=1+x++⊄++0x
xx5
++⊄+(−1)
xx4
+−⊄+(−1)
xx3
+−⊄+(−1)
n+1x
(
)
xx5
+−⊄+(−1)
n+1x
x,ex−1~x,ln(1+x)~x,
整数),则limxn=A存在,且A≥m
f′(x)
g′(x)
f(x)
g(x)
整数),则limxn=A存在,且A≤M
f′(x)
g′(x)
f(x)
g(x)
(
考研数学知识点-高等数学
(3)lim=A(或∞)
则lim=A(或∞)
7.利用导数定义求极限
值,如果对于区间[a,b]上的任一点x,总有f(x)≤M,
则称M为函数f(x)在[a,b]上的最大值。
同样可以定义最
小值m。
定理3.(介值定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上
基本公式:
lim
∆x→0
f(x0+∆x)−f(x0)
∆x
=f′(x0)[如果
连续,且其最大值和最小值分别为M和m,则对于介于m
和M之间的任何实数c,在[a,b]上至少存在一个⎩,使
存在]
8.利用定积分定义求极限
得
f(⎩)=c
基本公式
1
lim
n→∞n
n
[如果存在]
推论:
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)
三.函数的间断点的分类
函数的间断点分为两类:
(1)第一类间断点
设x0是函数y=f(x)的间断点。
如果f(x)在间断点
x0处的左、右极限都存在,则称x0是f(x)的第一类间断
与f(b)异号,则在(a,b)内至少存在一个点⎩,使得
f(⎩)=0
这个推论也称为零点定理
五.导数与微分计算
1.导数与微分表
点。
第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。
(c)′=0
d(c)=0
〈
〈−1〈
〈−1
dx(〈实常数)
(2)第二类间断点
第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断
(sinx)′=cosx
dsinx=cosxdx
点。
常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。
(cosx)′=−sinx
(tanx)′=sec2x
dcosx=−sinxdx
dtanx=sec2xdx
四.闭区间上连续函数的性质
在闭区间[a,b]上连续的函数f(x),有以下几个基本
性质。
这些性质以后都要用到。
定理1.(有界定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上
(cotx)′=−csc2x
(secx)′=secxtanx
(cscx)′=−cscxcotx
dcotx=−csc2xdx
dsecx=secxtanxdx
dcscx=−cscxcotxdx
连续,则f(x)必在[a,b]上有界。
定理2.(最大值和最小值定理)如果函数f(x)在闭
(logax)′=
dlogax=
1
xlna
dx
xlna
(a>0,a≠1)
(a>0,a≠1)
区间[a,b]上连续,则在这个区间上一定存在最大值M和
(lnx)′=1
x
dlnx=
1
x
dx
最小值m。
其中最大值M和最小值m的定义如下:
定义设f(x0)=M是区间[a,b]上某点x0处的函数
2
(ax)′=axlna(a>0,a≠1)
dax=axlnadx(a>0,a≠1)
Editedby杨凯钧2005年10月
f′(x)
g′(x)
f(x)
g(x)
⎛k⎞
∑=k1f⎜⎝n⎟⎠=∫0f(x)dx
1
(x)′=〈x
()=〈x
(〈实常数)dx
考研数学知识点-高等数学
x
x
x
⎭′(t)存在,且ϕ′(t)≠0,则
(arcsinx)′=
1
1−x
2
darcsinx=
1
1−x
2
dx
dy
dx
=
⎭′(t)
ϕ′(t)
(ϕ′(t)≠0)
22
1
1−x2
1
1+x2
1+x
′
1
x2+a2
1
1
dx
1−x2
dx
1
dx
二阶导数
⎡dy⎤⎡dy⎤
dy1
dx2dxdtdx[ϕ′(t)]3
dt
5.反函数求导法则
设y=f(x)的反函数x=g(y),两者皆可导,且
dln(x+x2+a2)=
2
1
2
dx
f′(x)≠0
′
22
dln(x+x2−a2)=
2.四则运算法则
1
x2−a2
1
2
dx
则
二阶导数g′′(y)==
11
⎡1⎤
d⎢⎥
dydxdy
dx
[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x)
[f(x)⋅g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
=−
f′′(x)
3
=−
f′′[g(y)]
{f′[g(y)]}3
(f′(x)≠0)
′
⎢g(x)⎥=g2(x)
3.复合函数运算法则
(g(x)≠0)
6.隐函数运算法则
设y=y(x)是由方程F(x,y)=0所确定,求y′的方
设y=f(u),u=ϕ(x),如果ϕ(x)在x处可导,f(u)
在对应点u处可导,则复合函数y=f[ϕ(x)]在x处可导,
且有
法如下:
把F(x,y)=0两边的各项对x求导,把y看作中间变
量,用复合函数求导公式计算,然后再解出y′的表达式(允
dy
dx
dydu
dudx
许出现y变量)
对应地dy=f′(u)du=f′[ϕ(x)]ϕ′(x)dx
由于公式dy=f′(u)du不管u是自变量或中间变量
都成立。
因此称为一阶微分形式不变性。
4.由参数方程确定函数的运算法则
7.对数求导法则
先对所给函数式的两边取对数,然后再用隐函数求导
方法得出导数y′。
对数求导法主要用于:
①幂指函数求导数
②多个函数连乘除或开方求导数
设x=ϕ(t),y=⎭(t)确定函数y=y(x),其中ϕ′(t),
g
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高等数学 公式 大全