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克莱姆法则及证明
第7节克莱姆(Cramer)法则
1.线性方程组
〃元线性方程组是指形式为:
位牡忑十伉右冷十…•十捡心=鸟
&祖厲+皈2乃+…+幺站="
(1)
的方程组,其中坯/2,''',忌代表尬个未知虽,朋是方程的个数,(j=l2--,m.j=12…,刃)称为方程组的系数,巧°=lj也)称为常数项。
线性方程组的一个解是指由沟个数5心,…心组成的有序数组(5工2「禺),当"个未知量珂,抵,…,忌分别用5,E,…,Q代入后,式
(1)中每个等式都成为恒等式。
方程组
(1)的解的全体称为它的解集合,如果两个线性方程组有相同的解集合,就称它们是同解方程组。
为了求解一个线性方程组,必须讨论以下一些问题:
(1).这个方程组有没有解?
(2).如果这个方程组有解,有多少个解?
(3).在方程组有解时,解之间的关系,并求出全部解。
本节讨论方程的个数与未知量的个数相等(即加二心的情形。
二、克莱姆法则
定理1(克莱姆法则)如果线性方程组
2]]巧+如勺+…+Q切耳=对
@21忑十°筮心十…’十^”兀=玄
鬥內+喩2心+…+血兀=乞
(2)
的系数行列式:
其中2是把。
中第'列换成常数项虬妇''仏所得的行列式,即
隧]
…^-1
叫1…
%
也1
…砌Z
他5+1"■
◎
…验J
弧41
@=12…,力
分析:
左理一共有3个结论:
「方程组有解:
/解是唯一的;31解由公式(3)给出。
因此证明的步骤是:
兀==12/
第一,把°代入方程组,验证它确实是解。
这样就证明了方程组
有解,并且(3)是一个解,即证明了结论r与3=
第二,证明如果无二勺心二勺,…,兀二。
是方程组
(2)的一个解,那么一立有C]=2工2=2,…,q=2
DDo这就证明了解的唯一性,即证明了结论2°。
证明:
先回忆行列式的一个性质,设〃阶行列式°一,则有:
丫術為.=4+验竝・=
工喩4址=4碣2吗2+…4■细去
严当i=丿时;
(0当宀时。
(D当i=J时;
|0当宀时。
n
接下来证明泄理。
首先,证明(3)确实是
(2)的解•将行列式Y按第3列展开得:
现把岭
9
其中吗是行列式D中元素位卩的代数余子式CJ=l,2/-,«)o
代入第上个方程的左端,得:
@灯菩+Q鬆菩+…•+Q&菩二言9駄D\+©朋2+…•+
=£[%加】1十輕I+…十皿)十玉2(外血十◎血十…十沁)
+…+细(俎血+妬4“+…+女4J]
冷因(知41+知血+,,,+叫A)十為(%禺十%2甩+,,,+
+…+氏(^141+%处…+仏血)]
=”4讥
这说明将(3)代入第必3=1,2,…,尬)个方程后,得到了一个恒等式,所以(3)是
(2)的一个解。
其次,设矿勺廿勺‘…是方程组
(2)的一个解,那么,将Li代入Q)后,得到"个恒等式:
卜勿5十函巾十…十怂A=玄
(4)
0佝+购2巾+'''+◎“=虬
用系数行列式的第迩=1,2,…,©列的代数余子式依次去乘(4)中弘个恒等式,得到:
f
^nAci+知4巾+…+=Mi
朗1念5+朗2^2心+"'+^2»4iC»=血2血
冷i4a+^4^2+…十也4仇=乞
将此弘个等式相加,得:
(如&十也1血十…十智&)5十(如血十十…十色2&{辺十…十
(细A十如禺11+%A)q=Mi+^i+,,,+Mi
d
从而有:
CiD~Di,Ci~1,2,'罚。
这就是说,如果(“疋2,'‘‘,q)是方程组
(2)的-个解,那么-定霁咱小25所以方程组只有一个解。
三、齐次线性方程组
在线性方程组中,有一种特殊的线性方程组,即常数项全为零的方程组,称为齐次线性方程组。
显然,齐次线性方程组总是有解的,因为=00=1,2,•••,«)就是它的解,这个解
称为零解;其他的,即可不全为零的解(如果还有的话),称为非零解。
所以,对于齐次线性方程组,需要讨论的问题,不是有没有解,而是有没有非零解。
这个问题与齐次线性方程组解的个数是有密切关系的。
如果一个齐次线性方程组只有零解,那么这个方程组就只有唯一解;反之,如果某个齐次线性方程组有唯一解,那么由于零解是一个解,所以这个方程组不可能有非零解。
对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组,应用克莱姆法则,有推论1如果齐次线性方程组
1刊內+%花+…+如耳=0
a勿兀十az码十•••+a缶召=0
(5)
%1珂+禺2勺+…+a猱无=0
的系数行列式不等于零,那么(5)只有零解。
推论2齐次线性方程组
1
刊內+%花+…+如耳=0
a勿无十冷十’…十a加召=0
%1珂+禺2兀2+•••+«嫁无=0
有非零解的必要条件是它的系数行列式等于零。
四、例子
例1解线性方程组
[3可+勺一毛+\=~3
1^1_怎+兀+2召=4
2x1+x2+2x3-x4=7x1+2巧+q=£
解:
方程组的系数行列式:
31-11
3
1
-3
1
3
1
-1
-3
1
-1
4
2
=-39
2=
1
-1
1
4
2
1
7
-1
2
1
2
7
1
0
6
1
1
0
2
6
所以这个线性方程组的唯一解为:
^=^=1,x5=^=3,x4=^-=-1
1DD3DD
例2解线性方程组
2勺一a2+3x5+2无=6
3t\-3a2+3x3+2x4=5
3xj-x2-电+2x4=3
Bx、_阳十3兀-帀=4
解:
方程组的系数行列式:
所以这个线性方和组的唯一解为:
例3已知三次曲线厂(㈤5*咛+眄"*也/在四个点x=±"=空处的
值分别为:
/O)=/(-!
)=/⑵=6,/(-2)=-6,试求其系数術卫1,如角。
解:
将三次曲线在4点处的值代入夷方程,得到关于知的®旳的线性方程组:
rtx0+a1十a2十Oj=6
「°十礙-1)十勺(-1)2十勺(-1『=6
aQ十幻2十6t222十^23=6
么0+&i(-2)十&2(-2)2+勺(-2)3=-6
它的系数行列式是范徳蒙行列式:
-8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
-1
(-D3
1
-1
1
-1
1
2
22
23
1
2
4
8
1
_2
(-2)2
(-2)3
1
-2
4
-8
=72^0
例4如果齐次线性方程组
有非零解,那么以上必须满足什么条件?
解:
由克莱姆法则知,齐次线性方程组有非零解的必要条件是其系数行列式等于零,因此有
12
D=
11
11
满足的条件为3+1)2=牡
注用克莱姆法则求解系数行列式不等于零的〃元非齐次线性方程组,需要讣算〃+1个"阶行列式,它的计算工作量很大。
实际上关于数字系数的线性方程组(包括系数行列式等于零及方程个数和未知量个数不相同的线性方程组)的解法,一般都采用后续章节介绍的方法来求解。
克莱姆法则主要是在理论上具有重要的意义,特别是它明确地揭示了方程组的解和系数之间的关系。
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