广义积分的收敛判别法.docx

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广义积分的收敛判别法

第二节广义积分的收敛判别法

上一节我们讨论了广义积分的计算,在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo方法求其近似值.对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件—积分收敛，否则其结果毫无意义。

因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的．

定理9.1（Cauchy收敛原理）f（x）在［a,+^）上的广义积分f（x）dx收敛的充分

a

必要条件是：

0,存在A>0,使得b,b>A时，恒有

证明：

对limf（x）dx0使用柯西收敛原理立即得此结论．

bb

同样对瑕积分f（x）dx（b为瑕点）,我们有

a

定理9.2（瑕积分的Cauchy收敛原理）设函数f（x）在［a,b）上有定义，在其任何闭子区间［a,b-］上常义可积，则瑕积分af（x）dx收敛的充要条件是：

0,

0,只要0

定义9.5如果广义积分|f（x）|dx收敛，我们称广义积分f（x）dx绝对收敛（也

aa

称f（x）在［a,+）上绝对可积］;如f（x）dx收敛而非绝对收敛，则称f（x）dx条

aa

件收敛，也称f（x）在［a,+）上条件可积.

由于A,A/a，均有

因此，由Cauchy收敛原理，我们得到下列定理.

定理9.3如果广义积分f（x）dx绝对收敛，则广义积分f（x）dx必收敛.

aa它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。

对其它形式的广义积分，类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及性质.下面我们先介绍当被积函数非负时，广义积分收敛的一些判别法.

比较判别法：

定理9.4（无限区间上的广义积分）设在［a,+）上恒有0f（x）k（x）,（k为正常

数）

则当（x）dx收敛时，f（x）dx也收敛；

当f（x）dx发散时，（x）dx也发散.

aa

证明：

由Cauchy收敛原理马上得结论成立.

对瑕积分有类似的结论判别法

定理9.5设f（x）,g（x）均为［a,b）上的非负函数，b为两个函数的奇点，如存在一个正常数k,使

0f（x）kg（x）,x［a,b）,贝S

bb

1）如g（x）dx收敛，则f（a）dx也收敛。

aa

bb

2）女口f（x）dx发散，则g（x）dx也发散.

aa

比较判别法在实际应用时，我们常常用下列极限形式.

定理9.6如果f（x）,g（x）是［a,+）上的非负函数，且lim丄凶I,贝S

xg（x）

（1）如果0l,且g（x）dx收敛，则积分f（x）dx也收敛.

（2）如果0l,且g（x）dx发散，则积分f（x）dx也发散.

aa

证明：

如果liml0,贝肉于0（l0）,存在A,

xg（x）

当xA时，0|丄^l

g（x）

即（l）g（x）f（x）（l）g（x）成立.显然f（x）dx与g（x）dx同时收敛或同

aa

时发散，在l=0或l二时，可类似地讨论.

使用同样的方法，我们有

bb

定理9.7对以b为唯一瑕点的两个瑕积分f（x）dx与g（x）dx如果f（x）,g（x）

aa

是非负函数，且lim3l,贝S

xbg（x）

bb

（1）当0l，且g（x）dx收敛时，则f（x）dx也收敛.

aa

（2）当0I

kK

，且g（x）dx发散时，则f（x）dx也发散.

aa

1

对无限区间上的广义积分中，取丄dx作比较标准，则得到下列Cauchy判别法:

-xp

设f（x）是［a,+）的函数，在其任意闭区间上可积，那么:

cc

定理9.8若0f（x）-4,p>1,那么积分f（x）dx收敛，如f（x）二,p1,

xpaxp

则积分f（x）dx发散.

a'*

其极限形式为

p>1）,则积分f（x）dx收敛.

定理9.9如limxpf（x）l（0l

x

例9.8判断下列广义积分的收敛性。

（1）1

1

ln（1-）

x

m

x.ndx1x

定理9.10设x=a是f（x）在［a,b）上的唯一奇点，在其任意闭区间上可积,那么

瑕积分的Cauchy判断法的极限形式为

例9.9判别下列瑕积分的敛散性。

1

由P知瑕积分收敛.

2

⑵0与2都是被积函数的瑕点.

dx

再讨论

散.

1

pq

sinxcosx

_dx

所以当q<1时，瑕积分—pdxq收敛，

4sinpxcosqx

_dx

当q1时，瑕积分2——p—发散.

4sinpxcosqx

dx

综上所述，当p<1且q<1时，瑕积分02—pdxq收敛；其他情况发散.

0sinpxcosqx

1

例9.10求证：

若瑕积分0f（x）dx收敛，且当x0时函数f（x）单调趋向于+,则

limxf（x）=0.

x0

证明：

不妨设x（0,1],f（x）0,且f（x）在（0,1）上单调减少。

1

已知0f（x）dx收敛，由柯西收敛准则，有

0,0（<1）,0x有

x

xf（t）dt

2

从而

0

或

0

即limxf（x）=0.

x0

例9.11

1

求证瑕积分

0[x（1

1

dx（>0）,当

cosx）]

1

v-时收敛

3

当

1

-时发散.

3

3

3

证明：

T

limx

=lim

x0[x（1cosx）]x031cosx

=lim

x0

1

1cosx

2

2x

1

所以当3<1时，即<丄时，

瑕积分收敛.

当31,即卩

-时，瑕积分发散.

3

3

前面讨论的是非负函数的反常积分的收敛性，为了能对一般函数的反常积分的敛散

性进行讨论，我们先给出下面的重要结果.

定理9.12（积分第二中值定理）设g（x）在［a,b］上可积，f（x）在［a,b］上单调，则存

在E［a,b］使

b

af（x）g（x）dx=g（a）af（x）dxg（b）af（x）dx

为了证明定理9.12，我们先讨论下列特殊情况.

引理9.1设f（x）在［a,b］上单调下降并且非负，函数g（x）在［a,b］上可积，则存在

c［a,b］，使

bc

af（x）g（x）dx=f（a）ag（x）dx

x

证明：

作辅助函数（x）二f（a）g（t）dt,对［a,b］的任一分法

a

P:

a=xo

我们有

Xi

xf（x）g（x）dx

xi1

bn

af（x）g（x）dx=

i1

由此得到

b"xi

|af（x）g（x）dx—f（人1）g（x）dx|

n

=|

i1

ai1xi1

x

xi[f（x）f（Xi1）]g（x）dx|

xi1

这里L

i（f）△Xi

是|g（x）|在［a,b］的上界，wi（f）是f（x）在xi1,xi上的振幅，从这个估计式

可知，当P|0时,应当有

我们来证明为此，引入记号

x

G（x）=ag（t）dt

a

并作如下变换

n

=心打心人）G（XjJ]

i1

（G（x°）G（a）0）

n

=f（Xii）G（Xi）

i1

n

=f（Xii）G（Xi）

i1

n

=f（Xii）G（Xi）

i1

n

f（Xi1）G（Xj1）

i1

n1

f（Xi）G（Xi）

i0

n1

f（Xi）G（Xi）

i1

n

=[f（Xi1）f（Xi）]G（Xi）f（Xn）G（Xn）

i1

因为f（Xi1）

f（Xi）0,

f（Xn）

0,

所以

=

n

[f（Xi1）

i1

f（Xi）]G（x）

f（Xn）G（Xn）

n

{[f（Xi1）

i1

f（Xi）]

=

f（a）minG（x）

X[a,b]

同样可证

我们证明了不等式

即

现令|p|0,取极限，就得到

因此，存在c[a,b]，使得

b

（c）=f（x）g（x）dx（因为（x）在]a,b]上是连续函数）a

bc

也就是f（x）g（x）dx=f（a）g（x）dx证毕

aa

F面我们证明定理9.12

b

f（b）cg（x）dx,

c

f（x）g（x）dx=f（a）ag（x）dx

对f（x）单调上升的情形，可作类似讨论

使用积分第二中值定理，我们得到下列一般函数的广义积分敛散性的判别法定理9.13若下列两个条件之一满足，则f（x）g（x）dx收敛

a

（1）（Abel判别法）f（x）dx收敛，g（x）在［a,］上单调有界；

a

）上单调,

Cauchy收

A

（2）（Dirichlet判别法）设F（A）=f（x）dx在［a,］上有界,g（x）在［a,

a

且limg（x）=0.

x

证明：

（1）0,设|g（x）|Mx［a,），因f（x）dx收敛，由

a

敛原理，代a,使A,AA时，有

由积分第二中值定理，我们得到

再由Cauchy收敛原理知f（x）g（x）dx收敛

a

A,A,a,显然有

（2）设M为F（A）在［a,+）上的一个上界，则

同时，因为limg（x）=0，所以存在Aa,当x>A）时，有x

g（x）|<

4M

于是，对A,AA有

—+—=

22

由Cauchy收敛原理知f（x）g（x）dx收敛

a

例9.12讨论广义积分C0SXdx的敛散性，

1x

1

解：

令f（x）=—,g（x）=cosx

x

则当x时，f（x）单调下降且趋于零，

A

F（A）=1cosxdx=sinAsin1在［a,）上有界.

由Dirichlet判别法知co空dx收敛，

1x

另一方面

因1—dx发散，1cos2xdx收敛

12x12x

从而非负函数的广义积分Co^dx发散

12x

由比较判别法知1叵凶dx发散，

1x

所以沁dx条件收敛

1x

）上单调有界,

解：

由上一题知，广义积分cosxdx收敛，而arctanx在［a,+

1x

cosx

所以由Abel判别法知arctanxdx收敛。

1x

另一方面，当x［3,）时，有

前面已证

Lc°sx|dx发散

由比较判别法知

1

|cosxarctanx|dx发散，所以cosxarctanxdx条件收敛.

1

x1x

对瑕积分也有下列形式的Abel判别法和Dirichlet判别法

b

定理9.14若下列两个条件之一满足，则f（x）g（x）dx收敛：

（b为唯一瑕点）

a

b

（1）（Abel判别法）f（x）dx收敛，g（x）在［a,b）上单调有界

a

b

（2）（Dirichlet判别法）F（）=f（x）dx在［a,b）上有界，g（x）在

a

（0,ba］上单调，且limg（x）0.

xb

证明：

（1）只须用第二中值定理估计

2）的证明.

解：

对于0

11

由—dx收敛知

0xp

绝对收敛敛

对于0p<2,因为函数f（x）=x2p，当x0时单调趋于0,而函数

g（x）=

1sin—

x

满足

所以积分

•1sinpTdx收敛.x

但在这种情况下,

dx是发散的,

1sinxxp

事实上

因为

.1sin1当0时，上式无极限，所以积分0—dx发散.

x

区间上的广义积分.

习题9.2

1、

论下列积分的敛散性（包括绝对收敛,

条件收敛，发散）

（1）

InInx.,

sinxdx；

Inxsinx2dx；

-dx；

2.2匕入,

cosxsinx

⑷

（5）

iInx

°x21

dx;

1

0xp1（1x）q1Inxdx;

p1q1

1Xx,

dx

0Inx

dx;

（8）

（9）

p1x

xedx;

xp1

—dx;

x

（10）

（11）

（12）

sinx

esin2x

q

xsinx,厂dx

1x

sin（x丄）

dx;

（p0）；

（p0）•

0时，函数f（x）单调趋于+,则

1

2.证明：

若瑕积分°f（x）dx收敛，且当xlimxf（x）=0.

x0

3.若函数f（x）在［a,）有连续导数flx）,且无穷积分f（x）dx与f/（x）dx都收敛，则limf（x）=0.

ax

4.设f（x）在［a,）上可导，且单调减少，limf（x）=0,求证：

x

f（x）dx收敛xfz（x）dx收敛.

aa

5.证明：

若函数f（x）在［a,）上一致连续，且无穷积分f（x）dx收敛，则

limf（x）=0.

x

6.求证：

若无穷积分f（x）dx收敛，函数f（x）在［a,）内单调，则

a

7.计算下列广义二重积分的值.

（1）

半^,其中D=（x,y）|xy1,x11;dxpyq

dxdy

y2i1x2y2

2

exdx1.

/22\»1

e（xy）dxdy,并由此证明

（1）

;:

+dxdy,0mI（x,y）lM

x2y21（x

Fbdxdy

0mI（x,y）|M.

2

pq

sinxcosx

4

1f（x）=o（―）.

x