概率论与数理统计公式大全.docx

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概率论与数理统计公式大全

第1章随机事件及其概率

（6）事件的关系与运算

结合率：

A（BC）=（AB）CA∪（B∪C）=（A∪B）∪C

分配率：

（AB）∪C=（A∪C）∩（B∪C）（A∪B）∩C=（AC）∪（BC）

AiAi

德摩根率：

i1i1ABAB，ABAB

（7）概率的公理化定义

设为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P（A），若满足下列三个条件：

1°0≤P（A）≤1，

2°P（Ω）=1

3°对于两两互不相容的事件A1，A2，,PAiP（Ai）

有i1i1

常称为可列（完全）可加性。

则称P（A）为事件A的概率。

（10）加法

公式

P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）

当P（AB）＝0时，P（A+B）=P（A）+P（B）

（11）减法

公式

P（A-B）=P（A）-P（AB）

当BA时，P（A-B）=P（A）-P（B）当A=Ω时，P（B）=1-P（B）

（12）条件

概率

定义设A、B是两个事件，且P（A）>0，则称P（AB）为事件A发生条件下，事P（A）件B发生的条件概率，记为P（B/A）P（AB）。

P（A）条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。

例如P（Ω/B）=1P（B/A）=1-P（B/A）

（13）乘法

公式

乘法公式：

P（AB）P（A）P（B/A）更一般地，对事件A1，A2，,An，若P（A1A2,An-1）>0，则有

P（A1A2,An）P（A1）P（A2|A1）P（A3|A1A2）,,P（An|A1A2,An1）。

。

（14）独立

性

①两个事件的独立性

设事件A、B满足P（AB）P（A）P（B），则称事件A、B是相互独立的。

若事件A、B相互独立，且P（A）0，则有

P（B|A）P（AB）P（A）P（B）P（B）

P（A）P（A）

若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。

必然事件和不可能事件?

与任何事件都相互独立。

?

与任何事件都互斥。

②多个事件的独立性

设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，

P（AB）=P（A）P（B）；P（BC）=P（B）P（C）；P（CA）=P（C）P（A）并且同时满足P（ABC）=P（A）P（B）P（C）那么A、B、C相互独立。

对于n个事件类似。

（15）全概公式

设事件B1,B2,,Bn满足

1°B1,B2,,Bn两两互不相容，P（Bi）0（i1,2,,n），n

ABi

2°i1，

则有P（A）P（B1）P（A|B1）P（B2）P（A|B2）P（Bn）P（A|Bn）。

（16）贝叶斯公式

设事件B1，B2，,，Bn及A满足

1°B1，B2，,，Bn两两互不相容，P（Bi）>0，i1，2，,，n，n

ABi

2°i1，P（A）0，

则

P（B/A）P（Bi）P（A/Bi），i=1，2，,n。

P（Bi/A）n，i=1，2，,n。

P（Bj）P（A/Bj）

j1此公式即为贝叶斯公式。

P（Bi），（i1，2，,，n），通常叫先验概率。

P（Bi/A），（i1，2，,，n），通常称为后验概率。

贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。

（17）伯努利概型

我们作了n次试验，且满足每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。

这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。

用p表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为1pq，用Pn（k）表

示n重伯努利试验中A出现k（0kn）次的概率，

kknk

Pn（k）Cnpkqnk，k0,1,2,,n。

第二章随机变量及其分布

（1）离散型随机变量的分布律

设离散型随机变量X的可能取值为Xk（k=1,2,,）且取各个值的概率，即事件（X=Xk）的概率为

P（X=xk）=pk，k=1,2,,，则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。

有时也用分布列的形式给出：

X|x1,x2,,xk,

P（Xxk）p1,p2,,pk,。

显然分布律应满足下列条件：

pk1

（1）pk0，k1,2,，

（2）k1。

（2）连续型随机变量的分布密度

设F（x）是随机变量X的分布函数，若存在非负函数f（x），对任意实数x，有

x

F（x）f（x）dx，

则称X为连续型随机变量。

f（x）称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。

密度函数具有下面4个性质：

1°f（x）0。

2°f（x）dx1。

（3）离散与连续型随机变量的关系

P（Xx）P（xXxdx）f（x）dx

积分元f（x）dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P（Xxk）pk在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。

（4）分布函数

设X为随机变量，x是任意实数，则函数

F（x）P（Xx）称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。

P（aXb）F（b）F（a）可以得到X落入区间（a,b]的概率。

分布函数F（x）表示随机变量落入区间（–∞，x]内的概率。

分布函数具有如下性质：

1°0F（x）1,x；

2°F（x）是单调不减的函数，即x1x2时，有F（x1）F（x2）；

3°F（）limF（x）0，F（）limF（x）1；xx

4°F（x0）F（x），即F（x）是右连续的；

5°P（Xx）F（x）F（x0）。

对于离散型随机变量，F（x）pk；

xkx

x对于连续型随机变量，F（x）f（x）dx。

（5）八大分布

0-1分布

P（X=1）=p,P（X=0）=q

二项分布

在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。

事件A发生的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为0,1,2,,n。

P（Xk）Pn（k）Cnkpkqnk，其中q1p,0p1,k0,1,2,,n，则称随机变量X服从参数为n，p的二项分布。

记为X~B（n,p）。

当n1时，P（Xk）pkq1k，k0.1，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。

泊松分布

设随机变量X的分布律为

k

P（Xk）e，0，k0,1,2，

k!

则称随机变量X服从参数为的泊松分布，记为X~（）或者P（）。

泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。

几何分布

均匀分布

P（Xk）qp,k1,2,3,，其中p≥0，q=1-p。

随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G（p）。

设随机变量X的值只落在［a，b］内，其密度函数f（x）在［a，b］上为常数1，即ba

1,f（x）ba,

0,

a≤x≤b

其他，

b）。

0，

x

xa

x

ba

a≤x≤b

F（x）f（x）dx

1，

x>b。

则称随机变量X在［a，b］上服从均匀分布，记为X~U（a，分布函数为

当a≤x1

x1,x2）内的概率为

x2x1

P（x1Xx2）21

ba

指数分布

x0

x0

其中0，则称随机变量X服从参数为的指数分布。

X的分布函数为

1ex,x0,

F（x）记0,住积分公式：

0,x<0。

xnexdxn!

0

正态分布

设随机变量X的密度函数为

1（x）2

12

f（x）e222

其中、0为常数，则称随机变量X服从参数为、的正态分布或高斯

2

（Gauss）分布，记为X~N（,）。

x，

f（x）具有如下性质：

1°f（x）的图形是关于x对称的；

1

2°当x时，f（）1为最大值；

2则（tX2）2的分布函数为

22dt

。

。

若X~N（1,）

F（x）2

参数0

记为

（x）

x，e

1时的正态分布称为标准正态分布，记为X~N（0,1），其密度函数

x2

e2

t2

e2dt

分布函数为

1

。

（x）21

（x）是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。

1

Φ（-x）＝1-Φ（x）且Φ（0）＝。

2X2

如果X~N（,），则~N（0,1）。

P（x1Xx2）

x2

2

x1

1。

离散

型

已知X的分布列为Xx1,x2,

L,xn,L

P（Xxi）p1,p2,L,pn,L

Yg（X）的分布列（yig（xi）互不相等）如下：

Y

P（Yyi）

若有某些g（xi

g（x1）,g（x2）,L,g（xn）,L，

，则应将对应的pi相加作为g（xi）的概率。

1,

连续

型

先利用X的概率密度fX（x）写出Y的分布函数FY（y）＝P（g（X）≤y），再利用变上下限积

分的求导公式求出fY（y）。

第三章二维随机变量及其分布

P{（X,Y）（xi,yj）}pij（i,j1,2,）

为=（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。

联合分

布有时也用下面的概率分布表来表示：

XY

y1

y2

yj

x1

p11

p12

p1j

x2

p21

p22

p2j

xi

pi1

pij

这里pij具有下面两个性质：

（1）pij≥0（i,j=1,2,,）；

（2）pij1.

ij

连续型

对于二维随机向量（X,Y），如果存在非负函数

f（x,y）（x,y），使对任意一个其邻边

分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D={（X,Y）|a

有

P{（X,Y）D}f（x,y）dxdy,

D

则称为连续型随机向量；并称f（x,y）为=（X，Y）的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。

分布密度f（x,y）具有下面两个性质：

（1）f（x,y）≥0;

（2）f（x,y）dxdy1.

（2）二维随机变量的本质

（Xx,Yy）（XxYy）

（3）联合分布函数

设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数

F（x,y）P{Xx,Yy}称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。

分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件

{（1,2）|X

（1）x,Y

（2）y}的概率为函数值的一个实值函数。

分布函数F（x,y）具有以下的基本性质：

（1）0F（x,y）1;

（2）F（x,y）分别对x和y是非减的，即

当x2>x1时，有F（x2,y）≥F（x1,y）;当y2>y1时，有F（x,y2）≥F（x,y1）;

（3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即

F（x,y）F（x0,y）,F（x,y）F（x,y0）;

（4）F（,）F（,y）F（x,）0,F（,）1.

（5）对于x1x2，y1y2，

F（x2，y2）F（x2，y1）F（x1，y2）F（x1，y1）0.

（4）离散型与连续型的关系

P（Xx，Yy）P（xXxdx，yYydy）f（x，y）dxdy

（5）边缘分布

离散型

X的边缘分布为

PiP（Xxi）pij（i,j1,2,）；

j

Y的边缘分布为

PjP（Yyj）pij（i,j1,2,）。

i

连续型

X的边缘分布密度为fX（x）f（x,y）dy；

Y的边缘分布密度为fY（y）f（x,y）dx.

（6）条件分布

离散型

在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为pij

P（Yyj|Xxi）ij；

pi

在已知Y=yj的条件下，X取值的条件分布为pij

P（Xxi|Yyj）ij,

pj

连续型

在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为

f（x|y）ff（x（,yy））；

fY（y）

在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为f（y|x）ff（x（,xy））fX（x）

（7）独立性

一般型

F（X,Y）=FX（x）FY（y）

离散型

pijpipj

有零不独立

连续型

f（x,y）=fX（x）fY（y）直接判断，充要条件：

①可分离变量②正概率密度区间为矩形

二维正态分布

1x122（x1）（y2）y22

12（12）1122

f（x,y）2e1122,21212

＝0

随机变量的函数

若X1,X2,,Xm,Xm+1,,Xn相互独立，h,g为连续函数，则：

h（X1，X2,,Xm）和g（Xm+1,,Xn）相互独立。

特例：

若X与Y独立，则：

h（X）和g（Y）独立。

例如：

若X与Y独立，则：

3X+1和5Y-2独立。

（8）二维均匀分布

服从

（x,y）D

其他

D上的均匀分布，记为（

X，Y）

（9）二维正态分布

设随机向量（X，Y）的分布密度函数为

1x122（x1）（y2）y22

12（12）1122

f（x,y）2e,

21212

其中1,2,10,20,||1是5个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布，

记为（X，Y）～N（1,2,12,22,）.由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，

即X～N（1,12）,Y~N（2,22）.

但是若X～N（1,12）,Y~N（2,22），（X，Y）未必是二维正态分布。

（10）函数分布

Z=X+Y

根据定义计算：

FZ（z）P（Zz）P（XYz）

对于连续型，fZ（z）＝f（x,zx）dx两个独立的正态分布的和仍为正态分布（12,1222）。

n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。

Cii，2Ci2i2

ii

Z=max,min（X1,X2,,Xn）

若X1,X2Xn相互独立，其分布函数分别为Fx1（x），Fx2（x）Fxn（x），则Z=max,min（X1,X2,,Xn）的分布函数为：

Fmax（x）Fx1（x）Fx2（x）Fxn（x）

Fmin（x）1[1Fx1（x）][1Fx2（x）][1Fxn（x）]

布，可以证明它们的平方和

n

2

WXi2

i1

2分布满足可加性：

设

Yi2（ni）,

则

k

ZYi~2（n1n2nk）.

i1

X~N（0,1）,Y~2（n）,

可以证明函数

TX

Y/n

的概率密度为

我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为T～t（n）。

t1（n）t（n）

F分布

设X~2（n1）,Y~2（n2），且X与Y独立，可以证明

X/n1

F1的概率密度函数为

Y/n2

f（y）

n1n2

2

n1n1n2n222

n1

2n211

y2

n1

n2

n1n2

2

y0

我们称随机变量的F分布，记为

0,y0

F服从第一个自由度为n1，第二个自由度为n2F～f（n1,n2）.

F1（n1,n2）

1

F（n2,n1）

第四章随机变量的数字特征

（1）

离散型

连续型

一维

期望

设X是离散型随机变量，其分布

设X是连续型随机变量，其概率密

随机

期望就是平均值

度为f（x），

变量

律为P（Xxk）＝pk，

的数

k=1,2,,,n，

E（X）xf（x）dx

字特

n

征

E（X）xkpk

（要求绝对收敛）

k1

（要求绝对收敛）

函数的期望

Y=g（X）

Y=g（X）

n

E（Y）g（xk）pk

E（Y）g（x）f（x）dx

k1

方差

2

D（X）=E[X-E（X）]2，

D（X）[xkE（X）]2pk

D（X）[xE（X）]2f（x）dx

标准差

k

（X）D（X），

矩

①对于正整数k，称随机变量X

①对于正整数k，称随机变量X的

的k次幂的数学期望为X的k

k次幂的数学期望为X的k阶原点

阶原点矩，记为vk,即

矩

，记为vk,即

νk=E（Xk）=xikpi,

i

ν

kk

k=E（X）=xkf（x）dx,

k=1,2,,.

k=1,2,,.

②对于正整数k，称随机变量X

②对于正整数k，称随机变量X与

与E（X）差的k次幂的数学期

E（X）差的k次幂的数学期望为X

望为X的k阶中心矩，记为k，

的

k阶中心矩，记为k，即

即

k

kE（XE（X））k

kE（XE（X））k

=（xiE（X））kpi，i

k

=（xE（X））kf（x）dx,

k=1,2,,.

k=1,2,,.

切比雪夫不等式

设随机变量X具有数学期望E（X）

=μ，方差D（X）=σ2，则对于

任意正数ε，有下列切比雪夫不等式

2

P（X）2

切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率

P（X

）

的一种估计，它在理论上有重要意义。

（2）

（1）

E（C）=C

期

望

（2）

E（CX）=CE（X）

的

性

nn

质

（3）

E（X+Y）=E（X）+E（Y），

E（CiXi）CiE（Xi）

i1i1

（4）

E（XY）=E（X）E（Y），

充分条件：

X和Y独立；充要条件：

X和Y不相关。

（3）

（1）

D（C）=0；E（C）=C

方

差

（2）

2

D（aX）=a2D（X）；E（aX）=aE（X）

的

性

（3）

2

D（aX+b）=a2D（X）；

E（aX+b）=aE（X）+b

质

（4）

22

D（X）=E（X2）-E2（X）

（5）

D（X±Y）=D（X）+D（Y），充分条件：

X和Y独立；

充要条件：

X和Y不相关。

D（X

±Y）=D（X）+D（Y）±2E[（X-E（X））（Y-E（Y））]，无条件成立。

而E（X+Y）=E（X）+E（Y），无条件成立。

（4）

期望

方差

常分

见布

0-1

分布B（1,p）

p

p（1p）

的望

期和

二项分布B（n,p）

np

np（1p）

方差

泊松分布P（）

几何分布G（p）

1

1p

2

p

p2

超几何分布H（n,M,N）

nM

nM1MNn

1

N

NNN1

均匀分布U（a,b）

ab

（ba）2

2

12

指数分布e（）

1

1

2

正态分布N（,2）

2

2分布

n

2n

t分布

0

n

（n>2）

n2

（5）

期望

n

二

维

E（X）xipi

E（X）xfX（x）dx

随

机

i1

变

量

n

的

数

E（Y）yjpj

E（Y）yfY（y）dy

字

特

j1

征

函数的期望

E[G（X,Y）]＝

E[G（X,Y）]＝

G（xi,yj）pij

ij

G（x,y）f（x,y）dxdy

－－

方差

D（X）[xiE（X）]2pi

D（X）[xE（X）]2fX（x）dx

i

D（Y）[xjE（Y）]2pj

j

D（Y）[yE（Y）]2fY（y）dy