分数除法.docx
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分数除法
1.分数除法
(三)各小节的教材说明和教学建议
1.分数除法(第28~36页)
教材说明
这部分内容是在本册第二单元中分数乘法的基础上教学的。
这是本单元教学的重点。
教材由四道例题和两个练习组成。
四道例题可以分成三段。
第一段通过例1,让学生理解分数除法的运算意义。
我们知道,分数除法的意义和整数除法的意义相同,都定义为乘法的逆运算。
但由于分数乘法的含义有了扩展,分数除法作为它的逆运算,具体含义也自然有了扩展。
因此教学分数除法的意义时,可以用“同数连加”的实际例子引出两道除法题来说明,也可以用“求一个数的几分之几是多少”的实际例子引出两道除法题来说明。
考虑到后一类例子比较难理解一些,所以这里暂不出现,留到以后再进一步认识。
教材选用学生容易理解的前一类实例,引出两个分数除法的问题,从而说明分数除法的意义。
第二段通过例2和例3,引导学生探索分数除法的计算方法。
如何推导分数除法的计算方法,有多种方法。
例如:
方法一:
利用商不变规律进行推导。
以(8/9)÷(2/3)为例。
可以提问:
两数相除,当除数是什么数时计算最简便?
(除数是1)有没有什么办法使除数化成1?
(乘它的倒数)同时又要保持商不变,该怎么办?
(利用商不变规律)即
方法二:
利用等式的基本性质进行推导。
仍以(8/9)÷(2/3)为例。
设商为x,根据分数除法的意义,得方程(2/3)x=8/9,在方程两边同乘3/2,得
x=(8/9)×(3/2)
方法三:
利用逆运算关系和分数的基本性质进行推导。
给出题组
。
启发学生根据除法的意义“猜想”,分数乘法是分子相乘、分母相乘,那么分数除法作为乘法的逆运算,是否可以用分子除以分子、分母除以分母呢?
于是算出前两题:
验证结果说明方法正确。
但接着计算第三题就会发现这种算法的局限性。
怎么办呢?
可以启发学生观察第二题的特点:
分母相同,分子不能整除也不要紧。
有没有什么方法使分母相同呢?
(通分)即
观察商的分子、分母和被除数、除数的分子、分母之间的关系,(5×3)/(8×2)=15/16,就不难得出计算方法。
方法四:
联系实际问题分析、推导。
即教材所采用的方法,这里不再举例。
前三种方法的共同点是,推导过程无须现实情境的说理支撑,也不用直观图示,比较抽象,比较形式化,虽说多数学生能理解,但推导过程没有揭示分数除法计算过程的实际意义,对运用分数除法解决实际问题有些不利。
所以,教材选用了方法四。
在分数除法中,不论哪种情况的计算方法,都可以归结为乘除数的倒数。
但如果开始就举一个数除以分数的例子,计算方法的推导过程比较复杂,学生较难理解。
所以教材安排两道例题分两步进行教学。
先通过例2学习分数除以整数,再通过例3学习一个数除以分数。
然后加以归纳,把分数除法的计算方法统一起来。
两道例题之间的逻辑联系是:
例2
例3
可见,例2是例3的基础,例3是例2的发展。
设置两道例题,起到了分散难点,循序渐进的作用。
第三段通过例4,学习分数混合运算。
这一节的教学重点是一个数除以分数的计算方法。
教学建议
1.重视运算意义的教学。
由于运算意义既是建立计算法则的基础,又是判断在什么场合应用这种运算的依据,所以,明确运算意义就成了计算教学的首要环节。
因此,例1的教学必须引起重视。
此外,在探索计算方法时,还应该注意提醒学生,根据分数除法的意义用乘法验证计算结果是否正确。
这里的“验证”既是探索的必要步骤,也是巩固、加深对运算意义理解的需要。
2.重视算法的探索过程。
计算教学,最省事的教法就是把计算方法和盘托出,直接告诉学生,然后进行大量的训练。
这样教学,尽管也能让学生熟练掌握算法,但学生只知其然,不知其所以然。
为了培养学生的学习能力和探究能力,促进学生的发展,我们应该舍得花时间让学生经历计算方法的探索过程。
这也是课程改革理念在计算教学中的具体体现。
3.注意数学思想方法的渗透。
在这部分教学内容中,有很多地方可以比较自然地渗透数形结合、转化等数学思想方法。
前者主要表现在探索计算方法时直观手段的运用上,无论是折纸实验,还是画线段图,实际上都是用图形语言揭示分数除法计算过程的几何意义。
因此,教师应有意识地引导学生将“图”与“式”对照起来,进行分析和说理。
从而在发挥直观形象思维对于抽象逻辑思维支持作用的同时,让学生逐渐感受数形结合的优势。
后者最典型的体现就是分数除法的计算方法,把除法转化为乘法计算。
这对学生来说,是数学认识上的一次飞跃,原来泾渭分明的两种运算,居然可以转化、统一。
如果再深入分析下去,则不难发现,计算方法推导的每一步,其实都是新、旧知识、方法的转化。
也就是把一个新问题转化为已经解决了的问题,用已有的知识、方法生成新的知识、方法。
教学中,应当让学生充分感受这种转化的美妙与魅力。
4.适当加强口算练习。
由于分数四则计算的数据得到了简化,不出现带分数,且分子、分母都比较小,所以很多分数除法计算题都可以口算,特别是当分子、分母都不超过20时。
理论和实践都能告诉我们,口算练习不仅具有教学法上的优势,如练习密度大、效率高,便于当堂巩固,而且也是计算能力的重要组成部分。
经常练习口算,对学生的知觉、思维和记忆的发展也很有帮助。
因此,结合本节教学的进程,适当加强口算练习,不失为一种减负增效的教学措施。
如果所教班级的学生基础较差,教师可以自制一些“折叠”口算卡,在学生初学阶段使用。
如:
练习时先出示左半部分,待学生说出计算过程后,出示右半部分,让学生看着算式说出计算结果,以降低口算时思维与记忆的难度。
同时,口算题数据的选择,也应逐步递进,由不能约分的到能约分的,由单向约分的到交错约分的。
如:
具体内容的说明和教学建议
1.例1。
编写意图
(1)教材采用了整数与分数对比,乘法与除法对比的方式,揭示出分数除法的意义与整数除法的意义相同。
首先由整数乘法的实际例子“每盒水果糖重100g,3盒有多重?
”引入整数乘法,同时改编成用除法计算的问题,得出两个相应的除法算式。
然后将其中的100g改成1/10kg,引出一个分数乘法算式和两个分数除法算式。
使学生看到这些问题无论涉及整数还是分数,都是已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。
(2)例1下面的“做一做”,让学生根据已知的分数乘法算式,直接写出两个相应的除法算式的商,旨在通过练习,巩固对分数除法意义的认识。
教学建议
(1)教学时,可以先复习一下整数除法的意义,还可以给出一个整数乘法算式让学生写出两个除法算式。
然后出示插图和整数乘法的问题,让学生口头解答。
接下去的教学安排,有多种选择。
可以先改编成两道整数除法的问题,再把100g、300g改写成1/10kg、3/10 kg,分别引出三道分数乘、除法算式。
也可以先将100g改成110kg,引出分数乘法问题。
再让学生分别改成整数、分数的除法问题。
改编时可以小组合作,也可以同桌分工,或者由学生看书,并将课本上三道整数问题,改成分数问题,写在课本上的空白处。
然后,引导学生通过乘法算式与除法算式的对照,整数题组与分数题组的对照,看出整数除法的两个实例与分数除法的两个实例,都是已知积与一个因数,求另一个因数。
由此得出分数除法的意义与整数除法的意义相同,都是乘法的逆运算。
(2)例1下面的“做一做”,可以让学生独立完成,把得数直接填写在课本上。
2.例2。
编写意图
例2以折纸实验为载体,提出了两个问题。
它们的共同点都是把一张纸的4/5平均分。
它们的区别在于,第一个问题要求平均分成2份,算式是(4/5)÷2,被除数的分子能被除数整除,可以用被除数的分子直接除以除数。
第二个问题要求平均分成3份,算式是(4/5)÷3,被除数的分子不能被除数整除,需要转化为乘13。
例题这样设计的意图,一是让学生在折一折,涂一涂的过程中逐步发现分数除法的计算方法;二是诱导学生经历由特殊到一般的探索过程,从中悟出把一个数平均分成几份,就是求这个数的几分之一是多少。
在此基础上,教材提出问题:
“根据上面的折纸实验和算式,你能发现什么规律?
”旨在启发学生通过思考总结出一般的计算方法。
教学建议
教学时,可以先针对探究的需要,进行一些(4/5)×(1/2)之类的口算练习,然后出示例题的第一个问题,让学生拿出课前准备好的纸,自己试着折一折,涂一涂,算一算。
让学生交流各自的折纸方法、计算过程及其算理。
通常学生能够想到两种折纸方法和相应的算法。
教师应引导学生数形结合,对照不同的折法,讲清楚两种计算方法的异同。
它们都是把4/5平均分成两份,求每份是多少。
用
计算,每份就是2个1/5;
用
计算,每份就是4/5的1/2。
还可以让学生比较两种算法,说说哪一种算法适用范围更广,为什么。
以往的教学实践表明,会有学生想到当被除数的分子不能被除数整除时,比如把3/5平均分成2份,或者把4/5平均分成3份,这时用第二种方法计算比较简便。
有了这样的认识基础,就可以让学生独立解决例题的第二个问题。
应当允许学生先折纸,再完成计算,或者先计算,再折纸加以验证。
学习基础较好的班级,或随机生成教学能力较强的教师,也可以将例题的两个问题一次提出,放手让学生自己尝试解决。
这时,折纸可以是探究实验的工具,也可作为验证的手段。
如有学生无须借助实验,直接依据算理得出计算结果,并根据分数除法的意义,用乘法验证,应给予肯定。
3.例3。
编写意图
(1)例3研究一个数除以分数的计算,包括整数除以分数和分数除以分数两种情况。
例题以比较小明、小红两位同学“谁走得快些”为题材,引出整数、分数除以分数的两个算式。
实际上,这里的列式依据是“路程÷时间=速度”的数量关系,与以前不同的只是路程、时间由整数换成了分数。
由于学生对解决“谁走得快些”这类问题比较熟悉,所以由原来学习的整数除法算式,类推出分数除法算式不会感到困难。
因而有利于集中精力投入计算方法的探索与理解。
这里是一个图片其中计算小明平均每小时走的路程“2÷(2/3)”是探索的重点。
教材采用画线段图的直观方式展现推算的思路:
已知2/3小时走了2km,可以先求出1/3小时走了多少千米,算式是2×1/2;
再求1小时即3个1/3小时走了多少千米,算式是2×(1/2)×3。
由于数据简单,便于口算,整个推算过程处在学生思维能力的最近发展区内,加上线段图的直观效果,因此降低了学生探究算法、理解算理的难度。
找到了整数除以分数的计算方法,就可以依此类推,再来解决分数除以分数的计算,即通过(5/6)÷(5/12),求出小红平均每小时走的路程。
最后教材以小精灵提问的方式,引导学生总结分数除法的一般方法,并启发学生用自己的方式加以表示。
(2)第31页上的“做一做”,是为例2和例3配备的巩固练习。
第1题是针对计算方法的关键步骤设计的填空练习,第2题则要求学生独立写出完整的计算过程,两题都由四道小题组成。
两题的前两小题是配合例2的练习,后两小题是配合例3的练习。
教学建议
(1)教学例3前,可以先安排准备题,如:
小明2小时走了6km,平均每小时走多少千米?
通过练习,使学生回忆起路程、时间与速度之间的数量关系,为利用这一关系列出分数除法算式做好准备。
还可以针对算法推导过程的两个关键点,设计填空题,如:
2/3小时有()个1/3小时,1小时有()个1/3小时。
通过练习,为推导做好铺垫。
教学例3时,可以让学生自己列出两个算式。
如果有学生提出,比较谁走得快些,也可以求出他们每分钟走了多少千米,或者都转化为2小时走了多少千米,等等。
教师可以加以引导,比较大小有多种方法,为了研究分数除法,我们就采用求出每小时走多少千米的方法。
然后先探究2÷(2/3)的计算方法。
不妨让学生说说自己的想法:
怎样计算?
怎样画图表示。
如果学生独立画线段图有困难,教师可以作出示范:
先画一条线段表示1小时走的路程,平
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- 分数 除法