最新冀教版精选冀教初中数学八上《161轴对称》word教案 1docx.docx

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第十二章轴对称

12.1轴对称

12.2作轴对称图形

一、知识点

1、轴对称:

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另外一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形关于直线对称也称轴对称。

2、关于某条直线对称的两个图形是全等形。

3、如果两个图形关于某一条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

4、两个图形关于某一直线对称，如果它们的对应线段（或延长线）相交，那么交点在对称轴上。

5、如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

（1）轴对称包含两层含义：

一是有两个图形，能够完全重合，即形状、大小完全相同。

二是对重合的方式有限制，也就是它们的位置关系必段满足一个条件，把它们沿某一条下线对折能够重合。

（2）全等的图形不一定是轴对称的。

两轴对称的图形一定是全等的。

（3）轴对称逆定理的作用是判定两个图形是否关于某一直线对称，它是作对称图形的主要依据。

6、轴对称图形：

如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这直线线是它的对称轴。

7、轴对称的定义：

（1）、有两个图形，能够完全重合，即形都状大小都相同。

（2）、对重合的方式有限制，也就是它们的位置关系必须满足一个条件：

把它们沿某一直线对折后，能够重合，全等的图形不一定是轴对称的，而轴对称的图形一定是全等的。

8、如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称，它是作对称图形的主要依据。

9、轴对称和对称轴图形的区别和联系：

区别：

（1）轴对称是说两个图形的位置关系，轴对称图形是说一个特殊形状的图形。

（2）、轴对称涉及两个图形，轴对称图形是对一个图形说的。

联系：

（1）定义中都有一条直线，都要沿这条直线折叠重合。

（2）如果把轴对称图形沿着对称轴分成两部分，那么这两个图形就是关于这条直线成轴对称，那么它就是一个轴对称图形，经常遇到的轴对称图形有：

等腰三角形、线段、角、正方形、等腰梯形等。

12.1轴对称练习：

1、如图所示：

AB＞AC,∠BAC的平分线与BC的垂直平分线交于点D，自点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F,求证：

BE=CF

A

EGC

BF

D

2、如图：

在四边形ABCD中，AC、BD交于O，且AB=AD,BC=DC，试问：

AC、BD有何关系？

为什么?

A

解：

AC垂直平分BD。

BOD

C

3、粮食部门要修建一个储运仓库，如图所示，按照设计要求：

储运仓库到两城市A、B的距离必须相等，且到两条高速公路a和b的距离相等，储运仓库P应修在什么位置？

在图上标出它的位置。

a

o·B

·A

b

12.2作轴对称图形

1、作轴对称图形概述

给出一个图形和一条直线，即可作出这个图形关于这条直线的轴对称图形，由所给出的直线（对称轴）位置的不同，得到的轴对称图形的位置也不同，在作图时，始终要注意：

任一对对应点的连线段被对称轴垂直平分。

2、作一个图形关于某一直线的对称图形的方法。

由于几何图形都可以看成由若干个点组成的，所以只要做出这些点关于对称轴的对称点，再连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形，因为两点确定一条直线，所以对于直线形（如三角形、四边形等），只要作出图形中的一个特殊点（一般情况下取顶点或线段的端点）的对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。

3、平面直角坐标系中关于坐标轴对称的点的坐标的物征

在平面直角坐标系中，点P（x,y）与它关于X轴对称点的坐标，其横坐标不变，纵坐标为相反数。

点P（x,y）与它关于Y轴对称点的坐标，其纵坐标不变，横坐标为相反数。

作轴对称图形的练习

1、如图所示：

已知在

ABC中，AB=AC==10,DE垂直平分AB，垂足为E，DE交AC于D，若

DBC的周长为16，求BC的长及

ABC的周长。

分析：

DB=AD,所以DB+AD=AC,所以A

ED

BC

2、下列图形中不是对称图形的是（D）

A、线段

B、相交直线

C、有公共端点

D、有公共端点的两条不相等线段

3、全等和对称的关系是（B）

A、全等必对称B、对称必全等C、全等一定不对称D、对称不定全等。

4、不重合两点的对称轴是（）。

5、如图：

某同学打台球时想通过击黑球A，使其撞击桌边MN后反弹，来击中白球B，请在图中标明，黑球撞在MN上哪一点才达到目的？

（以球心A、B来代表两球）·A

B·

MN

分析:

作点A关于MN的对称点A’，连接BA’与MN交于P，连接PA，则点P就是要求的点。

则经AP撞击MN，必沿PB反弹击中白球B。

一变：

如图：

在∠AOB的内部有一点p，如何在OA和OB上各取一点Q、R，使

PRQ的周长最小。

B

·p

OA

分析：

作点P关于OA的对称点，P’，作点P关于OB的对称点P’’,连接P’P’’,交OA于点R，交OB于点Q，PR、PQ，则

PRQ的周长最小。

二变：

某班举行文艺晚会，桌子摆成两直列，如图中的AO、BO,AO桌面上摆满了糖果，BO桌面上摆满了桔子，坐在C处的学生小亮先拿糖果再拿桔子，然后回到坐位上，请你帮他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？

AO

·

B

分析：

因为这两列桌子的交角没有明确，所以应分两种情况：

一种是交角小于90度时，如图:

O

A

·PB

以OA为轴作点P的对称点P’，以BC为轴作P点的对称点p’’点，连接p’p’’点，交OA、OB于，M、N，连接PMN所以由P—M—N—P最短。

如果OA、OB交于直角，则直接到O取完再回到P点就可以了。

变三：

再一条大河流中，有一形如三角形的小岛，如图所示，岸与小岛有一桥相连，现在准备在小岛的各设立一个水质取样点，水利部门在岸边设立一个观测站，每天有专人从观测站步行去三个取样点取样，然后带回去化验，请问：

三个取样点分别设在什么位置，才能使得每天取样所用的时间最短？

A

小岛

BDC

观测站E

分析：

设观测点为E,桥与小岛相连点为D，小岛的三边分别为：

AB、AC、BC，作D关于AB的对称点D’，作D关于AC的对称点C’’,连接C’C’’，与AB、AC交于M、N，则：

D、M、N为所求。

12.3等腰三角形

1、等腰三角形的定义

有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底，两腰所夹的角叫顶角，底边与腰的夹角叫底角。

2、三角形的角平分线、中线、和高

3、三形全等的判定和性质

4、三角形内角和及三边关系定理

5、等腰三角形性质定理

等腰三角形的两底角相等。

6、等腰三角形的性质定理：

推论一：

等腰三角形的顶角平分线平分底边并且垂直于义边。

即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

推论二：

等边三角形三个内角都相等，并且每个角都等于60度。

推论的作用：

可证明角相等、线段相等或垂直。

7、等腰三角形三线合一：

等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、底边上的高相等相互重合。

只要知道其中一个结论，就可以得出其他两个结论。

8、等腰直角三角形的两个底角相等且都等于45度。

9、等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角，或直角，但顶角可为钝角或直角。

10、等腰三角形三边之间的关系：

设腰长为a度长为b，则

11、等腰三角形三角之间的关系:

设顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180-2∠B

12、等腰三角形的判定定理：

如果一个三角形两个底角相等，那么它所对的边也相等。

（简写成等角对等边）

A、该定理的作用：

是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据。

B、注意：

该定理不能叙述为：

如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等，因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用底角、和腰的名词。

只有等腰三角形才有底角、腰的概念。

13、等腰三角形判定定理的推论：

推论一：

三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论二：

有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形。

推论三：

在直角三角形中，如果有一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

14、等边三角形的判定方法

A、运用定义：

三条边相等

B、三个角相等

C、有一个角是60度的等腰三角形。

等腰三角形练习：

（解读）

1、

如图所示：

在

ABC中，AB=AC,D在BC上，且，AD=BD，AC=CD求∠BA

BDC

设：

∠B为X度。

5X=180，所以∠B=36

2、等腰三角形的周长是30，一边长是12，求另两边长。

分两种情况讨论

3、如图，AB=AC，BD=CD,AD的延长线交BC于点E，求证：

AE⊥BC。

A

D

BEC

4、如图所示，O为等边三角形ABC内的一点，

OCB=

OBC,求

A

BC

5、探究题

在三角形ABC中，AD为BC的中线，E为AC上的一点，BE与AD交于F，若AE=EF，求证：

AC=BF

A

BDC

分析：

证AC=BF，可利用三角形全等，而它们所在的三角形，不全等，故想到可将它们移到一个三角形中，利用等角对对边来求证。

延长AD至M，使DM=AD，连接BM，就可以证出。

6、辩析题：

D是等腰三角形ABC底边上的一点，它到两腰AB、AC的距离分别为DE和DF，如图：

当D在什么位置时，DE=DF？

并说明理由。

A

EF

BC

分析：

要使DE=DF需使三角形BFD和三角形DFC全等。

所以应在BC的中点即可。

7、难题:

在

ABC中，AB=AC，∠BAC=80度，P为

ABC内的一点，若∠PBC=10度，∠PCB=30度，求∠PAB的度数。

A

EBC

AA

BC

分析：

以BC为边做一等边三角形，连接AE、则BE=EC=BC，E在BC的中垂线上，所以∠AEB=∠AEC=30度。

求出

ABE

PBC则角PAB=70度。

单元梳理与能力整合

1、轴对称的应用

在中考命题中，此类问题只是一道选择题，只要求判断是不是轴对称图形和有几条对称轴。

如l圆、正方形、三角形、平行四边形、图标、文字，符号等。

2、线段的垂直平分线

如图：

是三角形ABC中

BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F，试说明：

BAF=

AFC的理由。

A

E

BDCF

分析：

因为EF是AD的垂直平分线，所以

DAF=

ADF,而

ADF=

+

而

DAF=

DAC+

所以：

结论可证。

3、等腰三角形的热点问题

如图所示：

AD是三角形ABC的角平分线，BE⊥AD交AD的延长线与E，EF∥AC,交AB与F，求证：

AF=FB

A

F

BDC

E

4、等腰三角型的综合应用

如图：

在三角形ABC中，AB=AC，AE⊥AB于E，在BC上截取CD=CA，连接AD，若AD=BD，则∠DAE的度数是多少？

A

BC

DE

分析：

5∠B=180度，所以∠B=36度，又因为：

∠ADC=∠DAC，所以∠ADC=∠DAC=72度，所以∠DAE=90-72=18度。

5、运用线段垂直平分线的性质与判定解题

如图：

AB=AC，DE垂直平分AB交AB与D,交AC与E，若三角形ABC的周长为28，BC=8,求三角形的周长。

A

DE

BC

6、与轴对称有关的作图

如图：

已知∠AOB与线段CD，求作一点P，使点p到CD的两端点距离相等且到∠AOB两边的距离也相等。

B

CD

OA

分析：

这个点一定在CD的垂直平分线与∠BOA的角分线的交点上。

7、构造直角坐标系中的轴对称

证明：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

如图：

在直角坐标系中作A关于X轴、Y轴的对称点A’,A’’，连接OA,OA’,OA’’,则X轴为AA’的的垂直平分线。

OA=OA’，且∠AOX=XOA’同理OA=OA＇＇∠ＹＯA＝∠ＹＯＡ＇＇，所以∠AOX＋XOA’＋∠ＹＯA＋∠ＹＯＡ＇＇＝180度，所以Ａ＇＇、O、Ａ＇在同一直线上。

所以

∠ＹＯA+∠AOX=90度。

所以∠A’’AA’=90度。

所以可证。

y

A’A

Ox

A’’

8、与坐标有关的对称问题

如图：

三角形ABC的三个顶点坐标分别为A（-1,5）,B（-4,2）,C（-2,1）,作出与三角形ABC关于y轴的对称的三角形A’B’C’.

9、转化思想

如图：

在三角形ABC中BA=BC，∠B=120度，AB的垂直平分线交AC于D，求证：

AD=

DCFB

AC

D

分析：

连接DF，则∠DFC=90度，又因为∠C=30度，所以可证.

10、如图：

在三角形ABC中，AB=AC,E为AC上的一点，ED⊥BC于D,交BA的延长线于F,求证：

AE=AF.F

A

E

BC

分析：

∠F+∠B=90度，∠C+∠AEF=90度，∠B=∠C所以∠F=∠AEF,所以可证。

11，数形结合

一艘轮船，由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75度，又航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60度，若小岛周围3.8海里内有暗礁，问该船一直向东航行有无触礁的危险。

12分类讨论

等腰三角形一腰上的高与另一腰上的夹角为30度，则顶角的度数是（60或120度）

分析;应分这个等腰三角形是锐角三形和钝角三角形来讨论。

13、方程思想

如图：

三角形ABC是等腰三角形，分别向三角形ABC外作等边三角形ADB和三角形ACE，若∠DAE=∠DBC，求三角形ABC三个内角的度数。

A

DE

BC