小学数学疑难辨析手册.docx
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小学数学疑难辨析手册
小学数学疑难辨析手册
低年级
一、数的概念
[问题1]计数与记数一样吗?
分析与解答:
计数与记数是有区别的。
“计数”就是计算事物的个数。
例如:
桌上放了一堆糖,一粒一粒、两粒两粒或五粒五粒地数就是计数。
“记数”是用书面的形式把数写下来,也就是写数。
例如:
桌上一堆糖,通过数数之后得知有28粒,把“28”这个数写下来就是记数。
[问题2]常见的数字有哪些?
分析与解答:
用来记数的符号叫数字。
数字也叫数码。
常见的数字有三种:
中国数字;阿拉伯数字;罗马数字。
中国数字是我国常用的数字。
分小写、大写两种。
小写是零、一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万、亿等。
大写是零、壹、贰、叁、肆、伍、陆、柒、捌、玖、拾、佰、仟、万、亿等。
阿拉伯数字是1、2、3、4、5、6、7、8、9、0,这是现在世界各国通用的数字,也是数学中常用的数字。
罗马数字是罗马人创造的记数符号。
共有七个:
Ⅰ表示1,Ⅴ表示5,Ⅹ表示10,L表示50,C表示100,D表示500,M表示1000。
由于罗马数字记数不方便,现在已很少使用。
[问题3]位数与数位有什么不同?
分析与解答:
把数字按要求排列在一定的位置上,这些数字就组成一个数。
我们把每个数字所占的计数单位的位置叫做数位。
在十进制的计数单位中,从右往左,数位的名称依次是个位、十位、百位、千位、万位……。
数字所在的数位不同,它所表示的数值也不同。
例如:
“5”在十位上表示5个十,在百位上表示5个百,在万位上就表示5个万。
位数是指一个数所占数位的个数。
例如:
“3”含有一个数位是一位数,“28”含有两个数位“个位”和“十位”,是两位数,“5769”含有4个数位(个位、十位、百位和千位),是4位数。
最小的一位数是1,最大的一位数是9;最小的两位数是10,最大的两位数是99;最小的三位数是100,最大的三位数是999;……一般地说,一个数中,含有几个数位的数叫做几位数(其最左端的数字不是0)。
例如465231这个数占有6个数位,是六位数。
因此,数位和位数是两个完全不同的概念。
[问题4]怎样填写“>”“<”或“=”?
分析与解答:
在对两个数进行比较时,通常需要用“>”“<”或“=”这些数学符号来表示它们之间的大小关系或相等关系。
确定好两个数之间的大小关系后,怎样正确地填写这些数学符号呢?
我们可以通过下面这首儿歌来帮忙。
“大嘴巴对大数,小嘴巴对小数,两数相等填等于。
”这里,通过形象的语言把“>”称为大嘴巴,把“<”称为小嘴巴。
例如:
54与36进行比较,54是大数,36是小数,因此“大嘴巴”应对着“54”,即54>36,再如:
16与48比较,16是小数,48是大数,所以“小嘴巴”应对着16,即:
16<48,两数相等,如31○31,则填“=”,即:
31
31。
[问题5]“几个”和“第几个”是一回事吗?
分析与解答:
“几个”和“第几个”不是一回事。
例如:
1.见图1—1“3个”苹果涂了颜色:
表示“一共有3个”苹果徐了颜色。
2.见图1-2从左边起,“第3个”苹果涂了颜色:
表示“从左边数起,第三个”苹果涂了颜色。
涂颜色的苹果只有1个。
所以,“几个”和“第几个”它们的含义是完全不同的。
[问题6]把“四十六”写成“4106”为什么错了?
分析与解答:
把“四十六”错写成“4106”是由于没有弄清写数的规则。
“四十六”是由四个10和六个1组成的。
写数时在十位上写“4”,在个位上写“6”。
如下图:
应该写成“46”。
写数时,要防止把“四十六”看作是:
“四、十、六”,在写数时就单纯地根据“4、10、6”的顺序写成“4106”。
“4106”是由四个1千、一个1百和六个1组成的,所以,不能把“四十六”写成“4106”。
[问题7]怎样比较16、61、69、6这四个数的大小?
分析与解答:
比较这些数的大小时,可以分两步进行。
1.如果几个数的位数不同,那么位数多的数就大。
例如:
16、61、69、6这四个数中16、61、69都是两位数,而6是一位数,所以6是这四个数中最小的数。
2.如果几个数的位数相同,就从最高位开始比较。
最高位上的数字较大的那个数就大。
如果最高位上的数字相同,就比较下一位上的数字,下一位上的数字较大的那个数就大,如果这一位上的数字也相同,就比较再下一位上的数字……一直比较下去,如果所有各位上的数字都相同,那么这些数就相等。
例如:
16、61、69,它们都是两位数,就从最高位十位开始比较,“16”的十位上是“1”,“61”和“69”十位上都是“6”,“1<6”所以“16”是这三个数中最小的数。
“61”和“69”的十位上都是“6”,就要比较它们个位上的数字。
“61”的个位上是“1”,“69”个位上是“9”,“1<9”,所以“61<69”。
根据上述分析,16、61、69、6这四个数,从小到大排列,可以写成:
6<16<61<69。
[问题8]“5050”该怎么读?
分析与解答:
根据万以内数的读法规则:
1.从高位起,按数位顺序读。
2.千位上是几就读几千,百位上是几就读几百,十位上是几就读几十,个位上是几就读几。
3.数中间有一个或两个0,都只读一个零。
4.数的末尾不管有几个0,都不读。
“5050”这个数,千位上是5,百位上有一个0,十位上是5,个位有一个0,根据读法规则,这个数读作五千零五十。
[问题9]“八千零七十”是怎样进行写数的?
分析与解答:
根据万以内数的写法规则:
1.从高位起,按照数位顺序写。
2.几千就在千位上写几,几百就在百位上写几,几十就在十位上写几,几个就在个位上写几。
3.中间或末尾哪一位上一个也没有,就在哪一位上写“0”,用“0”占位。
因此,写“八千零七十”这个数时,可以这样进行:
“八千”就在千位上写“8”;百位上没有,写上“0”占位;“七十”,在十位上写“7”;个位上一个也没有,用“0”占位。
所以,“八千零七十”这个数的写法是:
也就是“八千零七十”,写成“8070”。
[问题10]用5、5、0、0这4个数字组成四位数:
1.组成不用读出0的四位数;2.组成读出一次0的四位数。
你会写出这些数吗?
分析与解答:
1.组成不用读出零的四位数,可以这样想:
根据万以内数的读法规则,数的末尾不管有几个0,都不读。
我们可以把两个0都放在数的末尾。
所以,用5、5、0、0这四个数组成的不用读出0的四位数分“5500”,读作:
五千五百。
2.组成读出一次0的四位数,可以这样想:
(1)根据万以内数的读法规则:
数中间有一个或两个0,都只读一个零。
因此,用5、5、0、0这四个数组成只读一次零的四位数是“5005”,读作:
五千零五。
(2)根据万以内数的读法规则:
数中间有一个或两个0,都只读一个零;数的末尾不管有几个0,都不读。
用5、5、0、0这四个数还可组成的只读一次零的四位数是:
“5050”,读作:
五千零五十。
所以,组成读出一次0的四位数有两个,它们是:
5005和5050。
[问题11]2735=()+()+()+()该怎样进行填数?
分析与解答:
根据教材的编写,在低年级阶段这类题目是按照数的组成来填数的。
2735中有几个千、几个百、几个十和几个一?
2735这个数,千位上是2,表示2个千,是2000;百位上是7,表示七个百,是700;十位上是3,表示三个10,是30;个位上是5,表示五个1,是5。
所以2735是由二个千(2000)、七个百(700)、三个10(30)和五个1(5)组成。
因此填数的答案是:
2735=(2000)+(700)+(30)+(5)
[问题12]“除以”和“除”有什么区别?
分析与解答:
“除以”和“除”是两个数学术语,它们所表达的含义是不一样的。
在除法算式中,例如“54÷9”如果先读被除数后读除数时,就可按算式的先后顺序,读作:
“54除以9”。
如果先读除数后读被除数时,应读作“9除54”。
在解答文字题时,要注意“除”和“除以”的区别,不然就会列错解答算式。
例如:
“8除64”算式是64÷8不可列成“8÷64”。
[问题13]为什么在除法算式中,余数一定要比除数小?
分析与解答:
在除法运算中,余数一定要比除数小。
如果余数大于除数或者等于除数,说明还要继续除。
余数是10,大于除数8,说明商3不合适,应改商4,余数是2。
余数是8,与除数8相等。
因为8除8等于1,说明这道除法竖式正好除尽,所以商3不合适,应改商为4。
正确的除法竖式:
[问题14]括号在算式中有何作用?
分析与解答:
括号在算式中是用来改变运算顺序的。
例如:
“7×2+8”要先乘再加,添上括号,算式变成“7×(2+8)”,就改变了运算顺序,要先加再乘。
通常遇到以下两种情况时,需加括号。
(1)在同级运算中需改变从左往右运算顺序时,则需在先算的部分,加上括号。
例如:
18减去5与6的和,差是多少?
根据题意是18减去“5+6”的和,要先算和,所以解答算式是:
18-(5+6)=7
(2)需在改变先乘除后加减的运算顺序时,在需要先算的部分,添上括号。
例如:
4加8的和除以2得多少?
解答算式是:
(4+8)÷2=6。
如不用括号,把解答算式列成:
4+8÷2=8,这就错了。
所以,在列式时要正确地使用括号。
[问题15]怎样认识钟面上的时间?
分析与解答:
观察图1-3的钟面可看到钟面上有12个数:
(1~12),每两个数中间有5个小格,每一小格表示为一分钟,一共有60小格。
钟面上还有三根针,最短的针是时针,比较长的针是分针,又细又长的针是秒针。
时针走过数字几,就是几时多,多了多少分,就要看分针。
图1-4
(1):
时针刚走过数字1,所以是1时多。
多多少要看分针,从12走到6,走了30格,所以是1时30分。
图1-4
(2):
时针正好走到数字8,并且分针指向12,所以是8时。
图1-4(3):
时针走过10,是10时多,分针从12走到3走了15格,所以是10时15分。
二、数的运算
[问题16]怎样记住10以内数的组成?
分析与解答:
10以内数的组成是让学生自己动手用学具(如小棒、小方块、塑料图片等)来分一分,让学生借助学具亲手操作来理解分的规律,再通过一定数量的练习帮助学生记住。
例如:
9的组成,可以先通过学具操作得出右图8种分法。
再引导学生观察、分析找到规律。
因为8和1合起来是9,可以想到1和8合起来也是9。
7和2合起来是9,可以想到2和7合起来也是9。
6和3合起来是9,可以想到3和6合起来也是9。
5和4合起来是9,可以想到4和5合起来也是9。
所以只要记住右图4组就可以记住9这个数的组成。
[问题17]怎样口算10以内数的减法?
分析与解答:
口算10以内数的减法时,一般按2~10数的组成做减法。
例如:
7-2=()。
这样想:
7可以分成2和5,所以7-2=5。
[注意]还可以用“想加法做减法”来计算。
例如:
7-2=()。
可以这样想:
因为2+5=7,所以7-2=5。
[问题18]7+()=13怎样进行填数?
分析与解答:
7+()=13,可以这样想:
因为7+6=13,所以()里填6。
[注意]还可以这样想:
先想几和已知的加数凑成10,再用几加上和的个位上的数,7+()=13。
想:
7和3凑成10,3加上13个位上的3,3+3=6,所以()里填6。
[问题19]怎样的图表示的算式为“6+3”或“3+6”?
分析与解答:
一般情况下,可以用集合圈形式出现的图来表示。
例如:
1.
图1-5的意思是:
把两个小集合圈里的苹果“合并”到一个大集合圈里,大集合圈里一共有几个苹果?
用加法计算。
算式是:
6+3=9或3+6=9。
2.
图1-6的意思是:
把左边的6只苹果和右边的3只苹果“合并”在一起,求合起来一共有几个苹果?
用加法计算。
算式是:
6+3=9或3+6=9。
[问题20]怎样用5、10、15这三个数写出两道加法算式和两道减法算式?
分析与解答:
可以这样想:
三个数中最大的数是15,它正好是其余两数5和10的和,这样就可写出两道加法算式。
5+10=1510+5=15
因为“总数-部分数=另一部分数”,根据写出的加法算式,就可得出另外两个减法算式。
15-5=1015-10=5
所以,5、10、15这三个数写出的两道加法算式和两道减法算式是:
5+10=1510+5=15
15-5=1015-10=5
[问题21]根据图意,你能列出算式吗?
分析与解答:
图1-7的图意是:
左边有4个△,右边有5个△,求一共有几个△?
要求一共有多少个△,就要把左边的△和右边的△合起来,所以用加法计算。
算式是:
4+5=9或5+4=9
[问题22]怎样的图表示的算式为7-4?
分析与解答:
在现在使用的小学数学课本中,一般用“虚线”或“撇”表示去掉。
可以用以下几种图表示“7-4”:
1.
图1-8的意思是:
原来有7个圆,用虚线圈掉4个(就是去掉4个),还剩3个,所以用减法计算。
算式是:
7-4=3。
2.
图1-9的意思是:
原来有7个圆,撇掉4个(就是去掉4个),还剩3个,所以用减法计算。
算式是:
7-4=3。
3.
图1-10的意思是:
原来有7个圆,拿走(箭头向外表示去掉)4个,还剩3个,所以用减法计算。
算式是:
7-4=3。
[问题23]根据图意(见图1-11),应该怎样列式?
分析与解答:
根据现行教材的规定,在看图列式中,“虚线”和“撇”都表示去掉。
当一幅图中既有“虚线”又有“撇”,这表示是分两次进行减法计算。
这幅图的算式应是连减算式。
从图中可看出共有9个△,去掉虚线中的4个△,再去掉3个打撇的△,所以算式是:
9-4-3=2
或9-3-4=2
[问题24]你会根据图意思考(见图1-12),列出算式吗?
分析与解答:
这幅图的图意是:
有10只苹果,平均放在2个盘子里,每盘可以放几只苹果?
也就是问:
把10平均分成2份,每份是几?
这是平均分,应该用除法计算。
算式是:
10÷2=5(只)
[问题25]图1-13的算式应该怎么列?
分析与解答:
根据现行教材的规定,在看图列式中,虚线表示去掉,所以这幅图用减法计算。
做减法首先要知道总数,个位上有7粒珠子,表示7个1。
十位上有4粒珠子,表示4个10,所以总数是47。
虚线框掉几就减几,个位上虚线框掉了3粒珠子,表示去掉了3个1。
计数器个位上还剩4粒珠子,十位上有4粒珠子,说明总数47去掉3还剩44。
所以算式是:
47-3=44
[问题26]9+7=()怎么思考?
分析与解答:
计算20以内的进位加法一般用“凑十法”。
9+7=()的口算过程:
把7分成1和6,9和1凑成10,10加6等于16。
如下式所示:
[问题27]16-9=□怎么思考?
分析与解答:
这是一道20以内的退位减法,一般是用“想加法做减法”的思考方法进行口算。
16-9=□的口算过程:
想9+□=16,因为9+7=16,所以16-9=7。
[注意]20以内的退位减法还可以这样想:
例如16-9的口算过程可以这样想:
把16看成10+6,先用10去减9得1,再把得到的1和6相加得7,所以16-9=7。
[问题28]3+9+7=□,怎样口算简便?
分析与解答:
3加9再加7是连加法,口算时一般应按从左往右的顺序进行计算。
先算3加9的和,再用所得的和加7,最后求出3加9再加7的和。
如:
计算连加时,为了使计算又准确又快捷,还可以这样想,根据题中加数的特点,先把能够凑成10的两个数相加,如3和7相加得10,10再加9得19。
用这样的方法计算比按从左往右顺序计算的速度快。
[问题29]怎样口算“28+5”?
分析与解答:
口算两位数加一位数的进位加法时,先算个位上的数加个位上的数得十几,再加几十。
口算“28+5”,可以这样想:
先算个位上的8加5得13,再算20+13得33。
如:
[问题30]怎样口算“34-7”?
分析与解答:
口算两位数减一位数的退位减法时,个位上的数不够减,需向十位退1到个位上作10。
这样,十位上减少1个十,个位上却增加了10个1,然后再减。
口算“34-7”,可以这样想:
个位上4减7不够减,需向十位退1到个位上作10。
这样,十位上减少1,3剩下2,个位上增加了10,4+10=14,14-7=7,剩下的20加7得27。
如:
[问题31]怎样正确口算百以内的进位加法“57+26”?
分析与解答:
口算“57+26”时,这样想:
把26分成20和6,57先加上20得77,77再加6得83。
也就是:
57+20=77,77+6=83
[注意]百以内的进位加法口算“57+26”,还可以这样想:
先把其中的一个加数看作整十数,如把57看成60,把60与另一个加数26相加,60+26=86,再减去多加的3(60-57=3),86-3=83。
或者先把26看成30,把30与另一个加数57相加,30+57=87,再减去多加的4(30-26=4),87-4=83。
[问题32]怎样正确口算百以内的退位减法“62-29”?
分析与解答:
62-29=()的口算过程是:
先把减数29分成20和9,62先减20得42,42再减9得33。
如:
[注意]口算百以内退位减法,如62-29,也可以这样想:
先把减数看成整十数“30”,62-30=32,再加上多减去的1(30-29=1),32+1=33。
[问题33]两位数加两位数的进位加法如何进行笔算?
分析与解答:
两位数加两位数的进位加法的计算方法是:
1.相同数位上的数对齐。
2.从个位加起。
3.个位相加满10,要向十位进1。
例如:
48+27=?
想:
个位上8加7得15,满10向十位进1,个位上写5。
十位上4加2再加进上来的1得7,7写在十位上。
如图:
所以,完整的笔算算式是:
48+27=75
[问题34]两位数减两位数的退位减法如何进行笔算?
分析与解答:
两位数减两位数的退位减法的计算方法是:
1.相同数位上的数对齐。
2.从个位减起。
3.个位不够减,从十位退1,在个位上加10再减。
例如:
64-28=?
想:
个位上4减8个够减,从十位退1,个位上作10,10加个位上的4得14,14减8得6,6写在个位上。
十位上16退1还剩5,5减2得3,3写在十位上。
如图:
所以,完整的笔算算式是:
64-28=36
[问题35]怎样提高笔算加法的正确率?
分析与解答:
学生在笔算加法时,除20以内口算不熟练外,还有以下错误,造成计算的错误。
(1)数字抄错。
即写竖式时,把数字或计算结果抄错。
例如:
这道题把加数23错抄成32,正确得数是69。
(2)写竖式时,相同数位上的数没有对齐,使不同数位上的数相加了。
例如:
4+57=97
这道题第一个加数“4”在个位上,计算时,应和“57”个位上的“7”对齐,再相加,正确得数是61。
(3)做进位加法,“满十进一”时,忘记向前一位进一。
例如:
483+32=415
此题十位上8加3得11,忘记向百位进1,正确得数是515。
(4)进上来的一位数忘了加上。
例如:
325+165=480
个位相加满十,向十位进1,十位上的数2加6等于8,忘记加进上来的1,此题正确得数是490。
做笔算加法时,要避免发生上面几种错误,计算的正确率就可以提高。
[问题36]1000-457=()怎样进行笔算?
分析与解答:
计算时,个位上0减7不够减,从十位退1,可是十位、百位上都是0,则要从千位退1作10个百;10个百退1个百到十位作10个十,百位上还剩9个百;10个十退1个十到个位作10个一,十位还剩9个十。
像这样要连续退位的减法,计算时特别要注意,不要把已退到下一位的“1”计算在内。
注意:
连续退位后,可以把“1000”各个数位上的数看成下面右边算式上面()内的数。
右边算式:
个位上10-7=3;十位上9-5=4;百位上9-4=5;千位上是0。
所以得数是543。
[问题37]5627-716=4911应怎样进行验算?
分析与解答:
一般用以下方法验算:
把所得的差和减数相加,如果得数与被减数相等,说明原来的减法计算是正确的。
验算时,也可以利用原来的竖式,把差和减数相加。
方法如下:
还可以这样验算:
被减数减去差,得数与减数相等,则计算正确。
方法如下:
[问题38]1583+706=2289应怎样进行验算?
分析与解答:
1.用调换加数位置,再加一遍的方法进行验算。
例如:
1583+706=2289
2.用原来的竖式,把每位上的数从下往上再加一遍进行验算。
例如:
(这种验算过程不要求写出来,只要求用口算方法进行。
)
3.用所得的和减去其中的一个加数等于另一个加数的方法进行验算:
例如:
[问题39]“2+2+2+2+2”怎样改写成乘法算式?
分析与解答:
求几个相同加数的和的算式可以改写成乘法算式。
写乘法算式时先看相同加数是几,作被乘数,再数有几个这样的相同加数,作乘数,中间写上乘号“×”。
如:
加法算式:
2+2+2+2+2=10改写成乘法算式是:
[问题40]容易混淆难记的乘法口诀有哪些?
分析与解答:
根据历年来低年级学生学习乘法口诀的情况。
容易混淆难记的乘法口诀有:
1.容易混淆的乘法口诀:
7×8=56和6×9=54;4×6=24和6×7=42;5×9=45和6×9=54;4×7=28和3×6=18等。
2.较难记的口诀:
4×9=36、6×8=48、7×9=63、4×8=32等。
避免出现上面两种差错的办法是:
(1)要理解每句口诀的意义。
(2)对上面这些乘法口诀的应用要适当增加练习量。
[问题41]“六()四十二”怎样把口诀填完整?
分析与解答:
六()四十二,这句口诀告诉了我们积是“42”,乘数或被乘数是“6”,要填出()里的数,就要想6的乘法口诀:
五六三十、六六三十六、六七四十二,所以()里该填“七”。
即:
六(七)四十二。
如果口诀已很熟练,就可直接把口诀中的数填上。
[问题42]33÷4=__……__时怎样思考?
分析与解答:
要求写出商和余数。
这样思考,想除数与几相乘的积最接近被除数,且小于被除数。
计算33÷4时想:
4和几相乘的积最接近33,而且小于33。
“四八三十二”最接近于33,并且小于33,所以33÷4=8……1。
注意:
填数后,要检查余数一定要比除数小。
[问题43]怎样用图表示算式3×4的意义?
分析与解答:
1.3×4这个算式表示4个3连加时,就是求“4个3是多少”?
可以用下图表示:
2.3×4表示3的4倍是多少时。
例如:
第一排有3个△,第二排△的个数是第一排的4倍,第二排有几个△?
可以用下图表示:
[问题44]“4×()<30,()里最大能填几”,填数时怎样思考?
分析与解答:
填数时可以这样思考:
想4的乘法口诀,四六二十四、四七二十八、四八三十二,其中“四七二十八”最接近30,并且小于30,而四八三十二虽然也接近30,但是32大于30,因此,()里应填“7”。
[问题45]怎样用乘法算式表示4个7连加?
分析与解答:
4个7连加,“4”表示相同加数的个数,“7”表示相同加数。
列乘法算式时,相同加数写在乘号的前面,作被乘数。
相同加数的个数
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