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第一专题小学数学教育概述
第一专题 小学数学教育概述
第一单元 数学科学与学科
本单元主要讨论:
数学的研究对象、数学的主要特征、数学的发展过程和数学学科与数学科学的关系。
1.1.1数学的研究对象
关于数学的研究对象问题,数学家、哲学家、数学教育家都有自己的认识和看法。
下面介绍几种比较有代表性的认识:
(恩格斯)
恩格斯在《反杜林论》中指出“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系,所以是非常现实的材料”。
这是对数学研究对象的一种经典的解释,是一种十分概括和深刻的解释。
数学是对现实世界的事物在数量关系和空间形式方面的抽象,数学来源于人们的生产和生活实践,反过来又为人们的社会实践和日常生活服务,是人类从事各项活动不可缺少的工具。
一种受到普遍关注的观点认为:
数学是关于客观世界的模式的科学。
数学通过揭示各种隐藏着的模式,帮助我们理解周围的世界。
无论是数、关系、形状、推理,还是概率、数理统计,都是人类发展进程中对客观世界某些侧面的数学把握的反映。
数学思维是从抽象开始的,人们用数学的方法认识周围世界时,可以忽视某些无关因素,而思考更为本质的问题。
这样的过程,数学家称之为定量思维。
人们从实际中提炼数学问题,抽象化为数学模型,再回到现实中进行检验。
从这个意义上,数学作为一种技术或一种模型。
如今的数学远非只是算术和几何,而是由许多部分组成的一门学科。
它处理各种数据、度量和科学观察;进行推理、演绎和证明;形成关于各种自然现象、人类行为和社会体系的数学模型。
如从计划一次长途汽车旅行到一些大型管理问题,安排航空交通或设计投资组合。
“做数学”的方法远非只是计算或演绎;还包括观察模式,验证猜想和估计结果。
(格劳斯的观点)
另一种观点认为:
数学是关于客观世界的数学化的过程。
数学家们发现,在数学研究过程中,一个基本的数学过程的循环,它反复出现,形成了最基本的模式,这就是抽象、符号和应用。
而这与人类的基本认识规律是一致的。
(弗赖登塔尔的“数学化”观点)。
1.1.2数学的主要特征
一般认为数学科学具有以下特征:
抽象性、严谨性、广泛的应用性;除此之外,数学还具有形式化、简单化和符号化等特征。
数学的抽象性是指数学来源于实践,是现实世界的事物在数量关系和空间形式上的抽象,在表现形式和处理方法上都具有抽象的特征。
从最简单的数学概念,到比较复杂的函数和图形,都具有抽象性的特征。
数学中的抽象又有不同的水平和不同的层次。
代数中用字母表示数,相对数字是一种较高层次的抽象,字母可以表示一定范围内的任何数。
在研究方法上,从有限的量,到无限的量,也是一种抽象的过程。
认识无限的变化过程,比较有限的数量的运算过程要抽象得多。
数学的抽象过程是随着人们的认识水平的提高不断深化的。
你能举出这样的几个例子吗?
如自然数就是现实中具体数量的抽象,4这个数可以代表4只羊,4棵树,一年的季度数,一匹马的腿的数量等。
一切数量上具有4的特征的事物都可以用4这个数来表示。
因此,4这个抽象的符号抛弃了事物的其他特性,只保留数量这一特征。
数学的严谨性是指数学中每一个定理、定律都要经过严格的证明才能得以成立。
数学的语言和思考过程都要求具有严谨性,合乎逻辑。
数学的证明要从公理出发,经过严格的推导过程,得出合乎逻辑的结论。
平面几何的论证与推理就是这种严谨性的突出代表。
当然小学数学教学中,由于学生的年龄特点,并不要求每一个结论都用严格的逻辑证明来实现。
但在思考方式上也应体现逻辑性。
数学具有广泛的应用性。
由于数学的抽象特征,使其应用的范围十分广泛。
特别是现代科学技术飞速发展的今天,数学的应用越来越广。
不仅在自然科学中得到广泛的应用,而且在许多社会科学领域也越来越多地用到数学的原理和方法。
随着计算机技术的发展,数学的应用会更加广泛。
除此之外,数学还具有形式化、简单化和符号化等特征。
数学的形式化表现在数学在处理问题时,往往脱离具体的内容,用一种形式的方法解题。
如四则运算的运算法则,面积和体积的计算公式。
数学的简单化表现在用数学方法处理和表达事物时,往往要摒弃许多具体的特性,而用一种简单的形式表现出来。
“数学化”的过程是将现实的问题变成数学问题的一种简单化的过程。
数学的符号化表现在引用符号来表示数学中的概念和方法,将符号作为一种语言在数学研究过程中运用也是的一个特征。
1.1.3数学的发展过程
数学的发展过程可分为5个时期:
萌芽时期、初等数学时期、变量数学时期、近代数学时期和现代数学时期。
萌芽时期(公元前五世纪以前)数学的萌芽时期开始于几个文明古国,包括古巴比仑、埃及和中国。
这个时期,由于生产力的逐步发展,人们要对获取和生活资料做出量的估计,于是就产生了自然数、分数和四则运算。
而由于测量土地的需要,逐步形成了对几何概念的认识和几何方法的研究。
如埃及由于尼罗河的泛滥,两岸田地经常被冲刷而分不清界线,需要重新测量,就促进了几何学的发展这一时期数学的发展十分缓慢,形成的知识也是片断的、零碎的和缺乏逻辑的,没有严密的体系。
初等数学时期(公元前五世纪到十七世纪中叶)这一时期由于生产力的发展,促进了数学的发展,逐步创立了系统的初等数学体系。
(欧几里德)
欧几里德在前人研究的基础上完成了《几何原本》,在这本书中建立了一套严格的论证体系,用公理、定义和严密的逻辑方法进行论证。
这标志着数学从具体的实验阶段过渡到抽象的理论阶段,数学逐步成为一门独立的演绎学科。
在这一时期出现了阿拉伯数字,对数学的发展产生了相当大的影响。
中国的数学取得了辉煌的成就,在公元前2世纪左右成书《周髀算经》中就有关于勾股定理的记载。
公元一世纪左右成书的《九章算术》中,已有一元方程组的解法和正负数加减法等内容。
标志着中国古代已经形成了一定的数学体系。
这一时期的主要特点是建立了初等数学体系;开始运用比较科学的计数方法;运用较严格的数学论证方法。
变量数学时期(十七世纪中叶到十九世纪初)17世纪初,欧洲开始进入资本主义社会,只有初等数学的方法满足不了社会日益发展的需要。
于是就开始研究变量数学,研究函数的变化规律。
解析几何和微积分的出现是变量数学发展的重要标志。
(牛顿)
(笛卡尔)
笛卡尔创立的直角坐标系,对变量数学的发展提供有力的工具。
有了变量,运动进入了数学,有了变量和运动的观念,为微积分的建立提供了条件。
牛顿和莱布尼兹同时建立的微积分学,是这一时期数学发展的最辉煌的成就,对近代数学的发展起非常重要的作用。
这一阶段概率论和影射几何等数学分支的出现,也使数学涉及的内容更加丰富,数学的应用更加广泛。
近代数学时期(十九世纪初到二次世界大战)十九世纪20年代以后,数学发生的一系列重要的变化,数学的研究领域也在不断扩展。
俄国的罗巴切夫斯基创立的非欧几何,使几何学的研究有了新的进展。
近世代数、拓扑学、概率论等新的研究领域的发展,使数学科学研究面貌一新,数学进入了近代数学时期。
非欧几何否定了欧氏几何的平行公理的演绎系统,为几何学的研究开创了更广阔的领域。
近世代数将代数学的研究对象扩展为向量、矩阵等等,转向了对代数系统结构本身的研究。
这些都使数学的研究更加深入,数学所解决问题的范围更加广泛。
现代数学时期(二次世界大战以后)二次世界大战以后,世界发生的巨大的变化,特别是在科学技术方面出现了突飞猛进的发展。
空间技术的发展,计算机的出现和飞速发展,都为人类社会的发展带来的前所未有的变化。
现代科学技术的飞速发展,对数学科学的要求不断提高,一方面要求用新数学方法解决科学技术上的新问题,另一方面数学方法也应用于更加广阔的领域。
以往的数学只是应用于物理学、天文学、化学、工程学等领域,而现代科学技术的发展,数学还应用于生物学、神经系统、思维规律和语言学等学科的研究。
计算机的发展对数学自身的发展和广泛的运用起了重要作用,改变了数学的整个面貌。
1.1.4数学科学与数学学科的关系
数学科学是以研究客观世界的数量关系和空间形式的规律为目的,具有严谨的科学体系和逻辑的系统方法。
数学学科是以培养学生,使学生了解数学,形成一定的数学素养为目的,是学生全面发展教育的一个组成部分。
数学科学与数学学科之间既有联系,又有区别。
数学科学与数学学科的联系:
作为学科的小学数学是数学科学的一部分,包括算术、几何初步、代数初步和统计初步知识,以及与这些知识有关的技能和方法等,这些内容与数学科学有密切的关系。
它们源于数学科学,遵循数学自身的科学性,同科学数学相似的之处。
如数学本身的抽象性、形式化、符号化等特征,在学科数学中都有不同程度的反映。
正是这些才保持了数学学科的基本性质。
数学科学与数学学科的区别主要体现在以下几个方面:
第一,科学的数学是对数学的理论与方法的系统阐述,一般从基本的概念和原理出发,全面完整地、系统地表述某一个数学领域的内容和方法。
而作为学科的数学考虑学生的心理特点和认识规律,从学生的学习需要和可能出发,安排和呈现有关的内容和方法。
因此,学科的数学一般要从学生的生活实际出发,让学生充分感知所学的内容和方法。
如对于数学概念的认识,不是从数概念体系论述,而是从学生熟悉的实际,通过具体的实物,让学生通过操作、演示等方式直观具体地学习。
第二,作为科学的数学,对所有的定理、公式、法则等都要进行严格的论证和推导,以保证其逻辑性和严谨性。
而作为学科的数学,从学生的接受能力出发,往往不做严格的论证,只是通过列举的方式,用归纳的方法得出结论。
让学生具体地认识有关的原理。
[▲一个例子]
第三,作为科学的数学,可以完全按照数学自身的理论体系和逻辑顺序安排,尽量使内容完整、系统和科学化。
而作为学科的数学,在不影响内容的科学性的前提下,应当考虑儿童的认知规律,一些内容的呈现顺序和编排方式可作适当的调整。
[▲一个例子]
第二单元 数学教育的作用与特征
本单元,我们从三个角度来理解数学教育的作用与特征:
公民的素养、学生的发展和数学的应用。
1.2.1从公民的素养看数学教育
从公民的素养看数学教育,可以从三个角度来认识:
数学与生活、国际通用性和公民的必备素养。
数学与人们的生活有非常密切的联系。
在日常生活中人们离不开数学。
(分吃蛋糕)
购物是典型的运用数学的例子,估计和计算时间也是人们常常需要的,确定位置也与数学中的方向和距离有关。
可以说,数学在人们生活中是无处不在的,是日常生活必不可少的工具。
无论人们从事什么职业,都不同程度地会用到数学的知识与技能,以及数学的思考方法。
特别是随计算机的普及与发展,这种需要更是与日俱增。
[▲生活中的数学实例]
数学具有国际通用性。
世界各国都重视“本国语言”、“外语”和“数学”三门课,把它们列为衡量一个人智力的最好的标准,我国也是如此。
数学教育在我国具有很长的历史,作为一门普及性的学科,作为的课程列入普通学校的教育中,是从清末开始的,以后数学在小学教育中的地位逐步确立下来。
作为一个公民,掌握一定的数学知识和技能是必须的,数学成为公民素养的一个重要的组成问题。
也可以说,不具备一定的数学知识和技能,就不能成为合格的公民,不能很好地适应社会的发展对人的素质的需求。
特别是科学技术飞速发展的今天,有更多的领域需要数学的知识和技能。
离开数学人们几乎寸步难行。
1.2.2从学生的思维发展看数学教育
数学具有抽象性和严谨性的特点,有助于发展学生的抽象思维能力和逻辑思维能力。
数学的形式化和符号化,有利于学生将现实世界的现象用数学的模式表示。
数学教育是促进学生思维发展的重要途径。
数学本身的抽象性和严谨性,以及在解题过程中所需要的方法和技巧,都对学生的思维训练有帮助。
数学教育的训练功能成为认识数学教育重要的一个重要的方面。
如,数学解题能力的训练,学生数学意识的培养,平面几何教学内容近年来所受到的挑战,都是对数学单纯的训练功能的一种挑战。
这些问题应当引起重视和思考。
另外,小学数学在学生发展中的作用不只是体现在思维水平的发展上,对数学概念的形成过程的认识,对数学与现实事物联系的认识,以及数学在社会中作用的认识等都是促进学生发展的重要组织部分。
1.2.3 从数学的应用看数学教育
数学与人们生活和科学技术有密切的联系,数学与其他学科也存在广泛的联系从数学的这一特点看数学教育,更加突出这一学科在整个基础教育中的重要地位。
应当把数学教育放在一个广泛的背景中来理解,从数学的广泛应用性和数学与其他学科的密切联系的角度看数学学科的设计和实施,就会超越数学自身的内容与方法,在更广泛的背景下认识数学和数学学科。
学生应当了解数学与其他学科的联系,了解数学在其他学科中的应用。
了解数学在自己的日常生活中的运用。
数学的抽象性,并不影响数学与现实和与相关学科的联系。
而且正是由于数学的抽象性,才使得数学的应用更广泛。
在数学教育中,也只有让学生更多地了解数学与其他学科的联系,才能使学生真正认识数学的价值和数学作为一个工具的力量。
例如以下两个实例:
1.TheSuspensefulTurkey(悬挂的火鸡)
(悬挂的火鸡)
Afterrewritingthefollowingriddle:
(先读一遍下面的谜语:
)
Themiddle3/5ofSHOWS,(SHOWS的中间3/5,)
Thefirst1/3ofDOODLE,(DOODLE前面的1/3,)
Thefirst3/5ofYOURS,(YOURS前面的3/5,)
Thefirst1/2ofKEEPSAKE,(KEEPSAKE前面的1/2,)
Themiddle1/5ofTRAPS,(TRAPE中间的1/5,)
Thefirst6/6ofTURKEY,(TURKEY前的6/6)
Themiddle1/2ofPINS,(PINS中间的1/2)
Thefirst8/11ofSUSPENSEFUL,(SUSPENSEFUL前面的8/11)
senduswhatyouthinkwouldbeagoodanswer.(告诉我们你认为那种方法最好。
)
2.TheWrightFlights(怀特兄弟的飞行)
TheWrightbrotherseachhadtwoflightsonthatfamousdayoffirstflightatKittyHawk,NorthCarolina.Orvilleflew120feetand585feetwhileWilburflew340feetand852feet.UsingtheaveragedistanceflownbytheWrightbrothersthatday,howmanyflightswouldittaketotravelaroundtheworld?
Assumetheworldisaspherewithacircumferenceof25,000miles,thatyouflyalongthatcircumference,andthatlandingandrefuelingarenotaconsideration.
(在那个著名的日子,怀特兄弟在北卡洛尼那洲的KittyHawk城每人进行了两次飞行。
奥维利飞了120英尺和585英尺,维博飞了340英尺和852英尺。
用怀特兄弟的平均飞行距离,环绕地球一周需要飞多少次?
假设地球是一个球形,周长是25000英里,现在你要沿着周长飞,不考虑着陆和加油,你需要飞多少次?
)
第三单元 数学教育的改革与发展
本单元通过介绍国外数学教育改革的特点与趋势、国内数学教育进程来透视基础教育改革的动向和趋势。
1.3.1国外数学教育改革
我们先来回顾一下国外教育改革的进程:
新数学运动、回到基础、80年代以来,以此体会数学教育改革的特点与趋势。
新数学运动。
二战后,国际的政治、经济发展进入一个新的阶段。
国际上的竞争也日趋激烈。
1957年,苏联的第一颗人造卫星上天,使美国人感到了教育改革的迫切性。
这就成为进行新数学改革运动的直接原因。
(第一颗人造卫星上天)
而新数学运动的更深层的主要原因,是“大学数学课程和中学数学课程的严重脱节”(梁鉴添,1980,页34)。
随着普及义务教育的推行,越来越多的人接受中等和高等教育。
因而,需要改变以往的那种精英式的教育。
这就需要从教育的目标、内容和方法等多方面进行全面的反思与改革。
新数学运动就是在这样一个大的背景下提出和发展起来的。
以至成为二战后国际数学教育改革的一个重要的标志。
“新数学”或者叫数学教育现代化的特点,主要表现在数学教育思想和数学教育的内容结构上的转变。
在教育思想上,重视学生能力的培养,重视学生学习数学的知识结构,表现数学科学的最新进展。
在教学内容的改革方面表现出这样几个特点。
一是精简和调整传统的数学内容,如自繁琐的计算,脱离实际的问题等。
二是增加现代数学的内容,如集合、函数、统计等。
三是强调教授学科的基本结构。
“回到基础”。
由于新数学运动受到越来越多人的批评,从总体上是一次失败的改革。
从70年代起人们提出要“回到基础”,重新重视对学生的基础知识和基本技能的培养。
但我们可以发现,这种“回到基础”并不是对以往做法的简单重复,而是在对新数学运动进行反思的基础上的一种再思考。
在重视学生基础的同时,也将改革过程中的一些观念渗透到其中。
例如美国全国数学监察议事会1975年认为基本的数学技能包括十个主要项目:
●解答在陌生情况之下所产生的数学问题;
●把数学知识应用到日常生活中;
●审察所得到的答案是否合理;
●估计数量、长度、距离、重量等的近似值;
●进行整数、小数、分数和百分数的四则运算;
●认识简单的几何图形和性质;
●以公制和英制量度各种分量;
●制作和理解简单图表;
●认识概率在预测偶然事件发生的用途;
●认识计算机在社会上的种种用途,并且知道计算机所能做到的和所不能做到的事情。
80年代以来,对数学教育的改革又提出许多新问题和新的思考。
诸如“大众数学”的提出和发展、“问题解决”的深入研究、计算机(计算器)在数学教育中的作用等方面的问题,都越来越受到人们的重视和研究。
同时,在世界范围内对数学教育的全面评价也引起人们的充分重视。
从80年代起,国际教育评价组织(IEA)对数学教育进行了三次大规模的评估。
使人们对国际数学教育的发展情况有一个总体的认识。
东亚地区,特别是华人地区在数学教育方面所取得的成就,也受到人们的重视和研究。
这期间先后发表的1987年英国的Cockroft报告(Mathematicscounts)(文献),中译为《数学算数》)、1989年美国的《人人关心数学教育的未来》(Everybodycounts)(文献)在数学教育的改革起了重要的作用。
80年代以来国际数学教育改革与发展表现为以下几个特征:
第一、提倡大众数学的理念
大众数学的提出的主要背景:
一是普及教育发展的需要。
数学常常与人才的选拔联系在一起。
成为选择尖子生的一个重要的依据。
学习数学的主要目标就是为升学和找到好的工作做准备。
数学好也作为衡量一个的实力的重要标志。
而随着普及教育的提出,更多的人有接受教育的机会,为更多的人而学的数学就成为人们所关心的课题。
大量的学生不是为了学习数学专业而学习数学,而是人事一般的工作和日常生活的需要而学习数学。
因此,学校应该为大部分学生的这种需要设计和实施数学教育;二是"新数学"后的"回到基础"的推动。
人们对新数学运动的反思,自然会提出学校数学应该是什么样的?
学生应该学习什么样的数学。
是只有少数人能懂的数学?
还是多数人能学会的数学?
是培养数学家的数学,还是为普通公民的数学?
大众数学所要解决的问题是:
学校数学是否应当为大多数学人而设;为大多数人的数学是什么样的数学;如何设计为大多数人的数学课程。
大众数学的主要特征是:
“人人学习有用的数学”;“不同的人学习不同的数学”;“把数学作为人们日常生活中交流信息的手段的工具来学”。
第二、强调培养学生的一般数学素养,让学生学习有价值的数学
数学作为一门学科有自己独特的内容与目标,如计算、解题、图形的认识与推理等,这些是其他学科代替不了的。
这些内容当然是数学教育的重要组成部分。
但数学教育同时也是基础教育的重要组成部分,更应完成提高学生一般能力和提高学生整体素质的任务。
《美国学校数学课程与评价标准》中对数学教育目标的表述,比较重视培养学生一般的数学素养。
除基础知识和技能外,还包括作为解决问题的数学;作为交流的数学;作为推理的数学和数学的联系等方面的目标。
这些目标不只是对学生学习数学有用,而且对于学生将来走上社会做任何事情都是有价值的。
“一个理想的数学课程不仅要包括数学内容的掌握与理解及数学能力的培养与发展,而且还要通过教育达到个人的、职业的,及至人类整体的目的,如自尊心的发展、合作心、合作的态度与科学的精神等。
学校应该这种目的来组织数学教学,使课堂处于合作而不是竞争的气氛。
”而最有价值的数学应当包括数学领域内的最基础的东西,如基本的数概念与运算,几何的初步知识,概率统计的初步知识,数学的思考方法,以及与学生以往的经验和知识有密切的联系,能使学生有兴趣参与的内容,有利于建立学生的数学感的内容。
第三、重视计算机(器)等现代科学技术和手段在数学教育中的运用
二十世纪50年代以来,计算机等现代技术手段的运用为数学的发展起了重要作用,对数学教育也产生的极大的影响。
充分考虑计算机和计算器在中小学数学教育的作用,是当前数学教育改革不可回避的问题。
许多国家的课程改革文件中,都对这一问题有明确的阐述。
(▲《义务教育国家数学课程标准》)
(计算机和计算器在数学教育中应用)
计算机和计算器的出现,使人们重新认识计算在中小学数学教育中的地位和作用。
把用计算器计算作为数学体系中的一个重要部分,让学生遇到具体问题时从整个数学体系之中考虑和认识计算的问题。
首先就应当让学生了解为什么要计算,选择什么方法进行计算。
学生就会将计算与实际问题情境联系起来。
如美国1989年《学校数学课程与评价标准》中对计算问题有一段论述,反映对计算与数学教育的观念。
(见下图)
按这种观念认识数学,认识计算在数学教育中的作用,就可以看到,首先应当让学生理解的是面对具体的情形,确定是否需要计算。
然后再确定需要什么样的计算方法。
口算、笔算、计算器、计算机和估算都是供学生选择的方式,都可以起到算出结果的目的。
1.3.2国内数学教育进程
一般来说,影响数学课程发展的问题主要有以下一些:
(一)社会政治、经济的政策与发展状况,对课程性质、目标与结构会产生很大的影响。
不同历史时期,在小学数学教学的目标、内容的选择与确定上,都表现出不同的特点。
建国初期的过渡性课程,“大跃进”期间出现的“改革”,“文革”期间的停滞,改革开放后的发展。
都表现了社会因素对教育,进而对小学数学课程的影响。
这是关系到课程能否正常地、稳步地发展的一个重要因素。
同时也制约小学数学课程的目标的确定的内容的选择等问题。
(二)教育内部的改革也会某种程度上对小学数学课程产生影响。
教育内部的改革也会从某种程度上对小学数学课程产生影响。
小学数学课程作为教育系统的一个组成部分,受社会大环境影响的同时,也会与教育内部的改革息息相关。
58年的“教育
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