轴对称图形性质及应用.docx

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轴对称图形性质及应用

轴对称图形的性质及应用

假如把一个图形沿着某一条直线对折过来，在直线两旁的部分能够完整重合，那么这

个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，能够重合的点互为对称点．

轴对称图形拥有以下的性质：

（1）轴对称图形的两部分是全等的；

（2）对称轴是连

结两个对称点的线段的垂直均分线．

在几何证题、解题时，假如是轴对称图形，则常常要添设对称轴以便充足利用轴对称

图形的性质．比如，等腰三角形常常添设顶角均分线；矩形和等腰梯形问题常常添设对边

中点连线和两底中点连线；正方形，菱形问题常常添设对角线等等．

此外，假如碰到的图形不是轴对称图形，则常选择某直线为对称轴，补添为轴对称图

形，或将轴一侧的图形经过翻折反射到另一侧，以实现条件的相对集中．

例1已知直线l外有必定点P，试在l上求两点A，B，使ABm（定长），且

PAPB最短．

剖析：

当把P点沿l方向平移至C（如图1），使PCm，那么问题就转变成在l上

求一点B，使CBPB为最短．

作法：

过P作PC//l，使PCm，作P对于l的对称点P，连结CP交l于B．在

l上作ABm，点A，B为所求之两点．

证：

在l上另任取ABm，连PA，PA，PB，CB，AP，BP，则PAPA，

PBPB，又PABC为平行四边形，∴CBPA．∵CB＋BP＞CP，

∴PA＋PB＞PA＋PB．

例2如图2，△ABC中，P为∠A外角均分线上一点，求证：

PB＋PC＞AB＋AC．

-1-

剖析：

因为角均分线是角的对称轴，作AC对于AP的轴对称图形AD，连结DP，CP，

则DP＝CP，BD＝AB＋AC．这样，把AB＋AC，AC，PB，PC集中到△BDP中，进而由

PB＋PD＞BD，可得PB＋PC＞AB＋AC．

证：

（略）．

评论：

经过变成轴对称图形后，起到相对集中条件的作用，又有将折线化直的作用（如

AB＋AC化直为BD）．

例3等腰梯形的对角线相互垂直，且它的中位线等于m，求此梯形的高．

解：

如图3．设等腰梯形AD∥BC，AB＝DC，对角线AC与BD订交于O，且AC⊥BD，

中位线EF＝m.过AD，BC的中点M，N作直线，由等腰梯形ABCD对于直线MN成轴对称图形，∴O点在MN上，且OA＝OD，OB＝OC，AM＝DM，BN＝CN．又AC⊥BD，故△AOD和△BOC均为等腰直角三角形．2OM＝AD，2ON＝BC．∵AD＋BC＝2EF＝2m，

∴2OM＋2ON＝2m．

∴OM＋ON＝m，即梯形高MN＝m．

例4凸四边形EFGH的四个极点分别在边长为a的正方形ABCD的四条边上．求证：

EFGH的周长不小于22a．

-2-

证：

如图4，连结AA2，EE3．正方形ABCD和正方形A1BCD1对于BC对称；EFGH

FGH

对于BC对称；ABCD

和ABCD

对于

CD

对称；EFGH

和EF

G

H

对于

和E111

11

21

1

1

111

21

1

2

CD1对称；A2B1CD1和A2B2C1D1对于A2D1

对称，E2F1G1H2和E3F2G2H2

对于A2D1对称．

AA222a，又AEA2E3

EE3AA222a

EFFGGHHEEFFG1G1H2H2E3≥EE3AA222a

例5假如一个四边形对于它的两组对边中点的两条连线成轴对称，则此四边形为矩

形．

已知：

如图5．四边形ABCD中，M，F，N，E分别为各边的中点，且MN，EF为它

的对称轴．

求证：

ABCD是矩形．

剖析：

欲证ABCD是矩形，第一证明它是平行四边形，再证明它有一个直角即可．

证：

∵四边形ABCD对于EF成轴对称，∴DC⊥EF，AB⊥EF，∴AB∥DC．同理

AD∥BC．∴ABCD是平行四边形．∴DC＝AB．

-3-

DC

，AF

AB

AD∥EF，

又∵DE

．∴DEAF，∴ADEF为平行四边形．∴

2

2

而DE⊥EF，∴DE⊥AD，∠D＝90o．∴ABCD是矩形．

轴对称应用举例

山东徐传军

生活中好多图形的形状都有一个共同的特征———轴对称．在平时生活中利用轴对称的性质能解决好多问题，下边举例说明．

一、确立方向

例1如图1，四边形ABCD是长方形的弹子球台面，有黑白两

球分别位于E、F两点的地点，试问，如何撞击黑球E，才能使黑球

先碰撞台边DC，反弹后再击中白球F？

解：

作E点对于直线CD的对称点E′，连结FE′，与CD的交点P即为撞击点，点P

即为所求．

例2如图2，甲车从A处沿公路L向右行驶，乙车从B处出

发，乙车行驶的速度与甲车行驶的速度同样，乙车要在最短的时间追上甲车，请问乙车行驶的方向？

解：

作AB的垂直均分线EF，交直线L于点C，乙车沿着BC方向行驶即可．二、确立点的地点找最小值

例3如图3，AB∥CD，AC⊥CD，在AC上找一点Ｅ,使得BE+DE最小．

解：

作点B对于AC的对称点B′,连结DB′，交AC于点E，点E就是要找的点．

-4-

例4如图4，点A是总邮局，想在公路L1上建一分局D，在公路L2上建一分局E，

使AD+DE+EA的和最小．

解：

作点A对于L1和L2的对称点B、C．连结BC，交L1于点D，交L2于点E．点

D、E就是要找的点．

三、与其余学科联合

唐代某地建筑了一座十佛寺，完工时，太守在庙门右边写了一副上联“万瓦千砖百匠

造成十佛寺”，望有人对出下联，且表达恰到好处，你能对出下联来吗?

春联中有数字万、千、百、十，几个月过去了，无人能对，有个文人李生经过，感觉

庙前没有下联不像话，十分感触．一连几日在庙前冥思苦想，未能对出下联，有次在庙前

漫步，看见一条大船由远而来，船夫正用力的摇橹，这时李生突发灵感，对出了下联

———“一舟二橹四人摇过八仙桥”．

太守再次经过此庙时，看到下联，连连夸赞“妙妙妙”．这副春联数字对数字，事物对

事物，对称美这样的和睦．可见，对称美在文学方面也有生动深刻的表现．

生活中的轴对称无处不在,只需你擅长察看,将会发现此间所蕴涵的丰富的文化价值和

对称美给人带来的耐人回味的享受．

用轴对称解本质问题

山东于秀坤

在我们本质生活中，很多问题设计到轴对称的应用，下边介绍几例.

例1要在河岸所在直线l上修一水泵站，分别向河岸同侧的A、B两村送水，请你设

计水泵站应修在哪处，所用管道最短？

剖析：

设水泵站修在C点，本题的本质是求折线AC+BC的最短长度，可作出A点关

于直线l的对称点A′，如图1，依据对称性，AC+BC=A′C+BC，因此连结BA′交直线l于点

C，点C即是水泵站的地点，因为此时折线长AC+CB化成线段A′B的长，依据两点之间

线段最短的道理即可确立点C是水泵的地点．

-5-

图1图2

例2如图2，角形铁架∠MON小于60°，A、D是OM、ON上的点，为本质应用的需要，须在OM和ON上各找点B、C，使AB+BC+CD最小，问应如何找？

剖析：

学习了轴对称，能够利用对称性化折为直的道理，分别作出点A、点D对于

ON、OM的对称点A′、D′，连结A′D′与ON、OM交于B、C，则点B、C即是所求的点．

例3如图3，EFGH是一个长方形的弹子球台面，有黑白两球分别位于A、B两点的

地点．

（1）试问：

如何撞击黑球A，使黑球A先碰撞台边EF反弹后再撞击白球B？

（2）如何撞击黑球A，使黑球先碰撞台边GH反弹后再击台边EF，最后击白球B？

图3

剖析：

利用轴对称的性质，分别作出B点对于EF的对称点，A点对于HG的对称点，问题得解．

解：

（1）①作点B对于EF的对称点B′，②连结AB′交EF于C点，则沿AC撞击A，球A必沿BC反弹击中白球B（如图4）．

-6-

图4图5

（2）如图5，作法近似

（1）．

例4如图5，小河畔有两个乡村，要在河对岸建一自来水厂向A村与B村供水，要

切合条件：

（1）若要使厂部到A、B的距离相等，则应选在哪儿？

（2）若要使厂部到A村、B村的水管最省料，应建在什么地方？

图5图6图7

解：

（1）如图6，取线段AB的中点G，过中点G作AB的垂线,交EF于P，则P到A、

B的距离相等．

（2）如图7，作点A对于河岸EF的对称点A′，连结A′B交EF于P，则P到A、B

的距离和最短．

用轴对称知识解决打台球一题

山东于秀坤

题目：

小强和小勇利用课本上学过的知识来进行台球竞赛．

（1）小强把白球放在如图1所示的地点，想经过击打白球

撞击黑球，使黑球撞AC边后反弹进F洞；想一想看小强这样击打，

黑球能进F洞吗？

请绘图的方法考证你的判断，并说明原因．

图1

（2）小勇想经过击打白球撞击黑球，使黑球至多撞台球桌边一次后进A洞，请你猜

想小勇有几种方案？

并分别在下边的台球桌上画出表示图，解说你的原因．

-7-

剖析：

本题是一道操作型研究题，主要依据轴对称的知识的相关进行研究．第

（1）题可

以经过击打AC边使球反弹进F洞．第

（2）题有多种方法．击球入洞需要对每一杆的角度进

行适合的估量，本质上等同于几何角度的计算，两者有着亲密的关系．要想至多撞台球桌

边一次击黑球于F洞．方案能够有以下状况：

（1）不击台球桌边，直接用白球撞击黑球;

（2）

经过白球击CF边反弹再撞击黑球进A洞；（3）用白球撞击DF边反弹撞击黑球进F洞．要

想正确撞击黑球，一定找准击球的方向角度，正确估量击球的方向．在数学上，能够借助

轴对称的知识来解决问题．

解:

（1）如图2，将白球与黑球视为两点，过这两点画直线交台球桌边AC于M，过点M

作法线MN⊥AC，在MN右边∠F′MN=∠PMN，因为射线MF′过F洞，知黑球经过一次反弹后必进入F洞．

图2

（2）方案1：

如图3，视白球、黑球为两点P，G，使A、G、P在同向来线上．

方案2：

如图4，延伸AC到H点，使AC=CH，连结GH交FC于点K，依据轴对称

的知识可知，用白球沿GK方向撞击边CF反弹后可进行A洞．

方案3：

如图5，延伸AD到M点，使MD=AD，连结GM交DF于N，依据轴对称知

识可知，沿GN方向用白球撞击黑球经反弹后可进入A洞．

-8-

图3图4图5

最短线路问题

河北欧阳庆红吴立稳

同学们，对于最短线路问题你必定很陌生吧?

运动着的车、船、飞机，包含人们每日走路都要碰到这样的问题．古今中外的任何旅游者总希望追求最正确的旅游路线，尽量走近

道，少走冤枉路．我们把这种求近道的问题统称最短线路问题．此外，从某种意义上说，一笔划问题也属于这种问题，这种问题在生产、科研、生活中应用宽泛．请同学们看下边几个生活中的最短线路问题．

一、两点一线问题

例1如图1，某同学打台球时想绕过黑球，经过击黑球

A，使主球A撞击桌边MN

后反弹，来击中白球B．请在图中注明，黑球撞在MN上哪一点才能达到目的？

（以球心A、

B来代表两球）?

剖析：

要撞击黑球A，使黑球A先撞击台边MN上的P点后

B

A

反弹击中白球B，需∠APN=∠BPM，如图2，可作点A对于MN

的对称点A’，连结A’B交MN于点P，则P点即为所求作的点．

M

P

N

图1

作法:

（图2）：

⑴作点A对于MN的对称点A’；

⑵连结A’B，交MN于P．则经AP撞击台边MN，必沿PB反弹击中白球B．

∴点P就是所要求的点．

-9-

说明：

本题黑球A，白球B在MN的同侧，直接确立撞

A

击点的地点不简单，但若

A、B在MN的异侧，击球路线就

B

B

简单确立了．本题可利用轴对称的特点将

A点转变到MN的

P

N

M

另一侧，设为A’，连结A’B即可确立撞击点．

A’

图2

二、一点两线问题

例2在一条大的河流中有一形如三角形的小岛

（如图3），岸与小岛有一桥相连．现准备在小岛的三边

小

上各建立一个水质取样点．水利部门在岸边建立了一个

岛

观察站，每日有专人从观察站步行去三个取样点取样，

而后带回去化验．请问，三个取样点应分别设在什么位观察点

置，才能使得每日取样所用时间最短

（假定速度必定）?

图3

剖析：

本题要求时间最短，而速度必定，因此可转变成求最短行程．如图

4，小桥

为必走之路，因此简单获得

D为

边上的取样点．重点是确立此外两边上的取样点，这

BC

是线段之和最小的问题，我们的想法是将三条线段拼起来，对于线段最短，我们有“两点之间，线段最短”，利用对称即可使问题获得解决．

分析：

如图4，作点D对于AB的对称点F；点D关A

FMN

于AC的对称点G，连结FG，交AB于M，交AC于N．

∴D、M、N即所求三个取样点．（请同学们试着证一证）．

B

D

C

E

三、同类变式

图4

DE

G

例3某班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图５中的AO，BO），AO桌面上摆满

了糖果，BO桌面上摆满了桔子，坐在C处的学生小亮先拿糖果再拿桔子，而后回到座位，

请你帮他设一条行走路线，使其所走的总行程最短？

剖析：

本题是轴对称的特别应用，需分两种状况议论：

①∠AOB小于90°；②∠AOB等于90°。

-10-

A

O

D

O

A

O

F

A

C

C

G

C

B

B

E

B

图5

图6

图7

分析：

①如图

6，∠AOB小于90°

1．作点C对于AO的对称点D，作点C对于BO的对称点E；

2．连结DE交AO于F，交BO于G；

则小亮的行走路线为C

FG

C

②如图7，∠AOB等于90°，此时从点

C沿直线走到O处，再直线返回

C处．

四、拓展引申

例4如图8所示，甲、乙两个单位分别位于一条关闭街道两旁，现准备合作修筑一座过街天桥．问：

桥建在哪处才能使甲到乙的路线最短？

（桥一定与街道垂直）

A

甲

桥关闭街道

图8

B

乙

剖析：

本题的重点是要想方法把中间的一段“桥”去掉，而后连结甲、乙之间线段，

此中要用到轴对称的性质．

分析：

（1）作关闭街道中线（即过街道的中点，平行于街道的直线）a，

（2）作B对于a的对称点B’；

（3）连结A’B，作线段A’B的垂直均分线a’；

（4）设a’交街道凑近A点的一侧于P点；

（5）过点P作垂直于街道的天桥PQ．

PQ即为所求（如图9）．

-11-

说明：

你能应用轴对称知识:

证明所选的点P于点Q组成的是最短路线吗？

a’

AB’

P

a

Q

图9B

轴对称在建筑布局中的应用

山东孙新东

同学们都知道四合院吧，四合院在我国是一种比较有特点的建筑形式，这种建筑的布局是以南北纵轴对称部署和关闭独立的院落为基本特点的．其实，不只是四合院，建筑上的好多布局问题都要用到轴对称的知识．下边举几个例子：

例1如图1，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在此中建一凉亭供人们瞌睡，使凉亭中心到三条马路的距离相等，试确立凉亭的中心地点．

剖析：

因为凉亭中心到三条马路的距离相等，

则凉亭的

图1

中心应在三条马路所围成的三角形的三条内角均分线的交

点处．

解：

画出三角形三内角均分线，它们的交点即为凉亭的中心．

例2如图2，在铁路l的同侧有A，B两个工厂，要在铁路边建一个货场

C，货场

应建在什么地方，才能使

A，B两厂到货场C的距离之和最短．

A

B

A

B

l

l

-12

-

C

B

图2

图3

剖析：

不如假定A，B在l的异端，依据“两点之间线段最短”的结论，只需连结A，

B，AB和l的交点就是所要确立的C点，而本题A，B两个工厂在l的同侧，因此很容

易想到把“同侧”转变成“异侧”．

解：

（1）找点B对于l的对称点B．

（2）连结AB，交l于C，则点C就是要在路边建的货场

C的最适合的地址．（见

图3）

例3如图4，OX，OY是两条公路，在两条公路夹角的内部有一油库

A，此刻想在

两条公路上建两个加油站，为使运油的油罐车从油库出发先

A1

X

到一加油站，再到另一加油站，最后回到油库的行程最短，

B

问两加油站应如何选址．

B1

A

剖析：

上述问题可化为：

在锐角

XOY内部有一个点A,

O

C1

Y

C

试作一个三角形,以A为一个极点,

此外两个极点分别在

A2

图4

OX,OY上，且使其周长最小．

解：

如图4，取A对于OX，OY的对称点A1，A2．连结A1，A2交OX，OY于B，

C．则B，C两点即为所求．

数学是基础学科，也是应用学科．在用中学，在学顶用，只有这样，才能学好数学，

才能提升自己的数学水平．

对称以后解方程

山东韩天武

求相关最小值问题，常常利用对称的思想转移点的地点，改变思想角度，再利用（直

线）一次函数的分析式求得最小值点的坐标，真实表现出“数形联合”的数学思想．

例1已知两点A（0，2），B（4，1），点P是x轴上的一点，且PA＋PB的值最小，

-13-

求点P的坐标．

剖析：

如图1，在座标系中先标出点A、B的地点，在x轴上要确立一点P，使PA＋

PB最小，先作出点A对于x轴的对称点A′，连结A′B，与x轴交于点P，依据“两点之间，

线段最短”的道理，点P就是要求的点（假如另取一点P′，则P′A＋P′B>PA＋PB，这些都

应当考虑到）．

解：

取点A对于x轴的对称点A′，因为直线A′B经过点A′（０，－２）与点B（４，

2

，

b

１），设直线A′B的分析式为y=kx+b，则可得方程组

4kb.

1

b

2，

解得

3.

k

4

因此y

3

8

x2，当y=0

时，x．

4

3

因此点P的坐标为

8，．

0

3

例2某公路的同一侧有

A、B、C三个乡村，要在公路边建一货站

D，向A、B、C

三个乡村送农用物质，路线是D→A→B→C→D或D→C→B→A→D．将A、B、C三点画在平面直角坐标系中，如

图2，x轴为公路，货站要建在公路边上，且要保证送货行程最短，请画出点D的地点，并求出点D的坐标．

剖析：

假定点D已确立，送货行程之和为DA＋AB＋BC＋

CD，因为点A、B、C的地点已确立，因此AB＋BC是固定的，

只需DA＋CD最小就能够保证送货行程最短．利用对称思想，可取点A对于x轴的对称点

-14-

A′，连结A′C，交x