数学建模金属板切割.docx
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数学建模金属板切割.docx
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数学建模金属板切割
数学模型
姓名:
***129084106
程根129084107
王刚129084124
金属板切割问题
在一个金属板加工车间有一项长期的业务订单,订单要求除周六周日外每天提供如下表所给出尺寸和数量的矩形成品金属板;
编号
长(cm)
宽(cm)
数量(块)
A1
50
36
8
A2
36
24
13
A3
60
20
7
A4
18
15
15
车间将从尺寸为54cm×108cm的大块矩形金属板上切割下订单所要求的小块的金属板。
1)为生产出满足每天的订单要求的金属板,最少可以使用多少块大块金属板?
如订单企业要求每两周供货一次,能否给车间带来更多的利益?
2)裁剪小块的金属板的裁剪方式太多会带来较高的成本,若要求每次裁剪时裁剪方式不超过三种,再考虑问题1)。
3)若大块金属也是从市场上购买的,其价格与面积成正比。
市场上除现有的规格金属板外,还有另外三种规格的的金属板,其尺寸分别为:
48cm×96cm,72cm×120cm,90cm×148cm。
a)若只能使用一种大金属板裁剪,来满足该长期订单的要求,是否需要换一种规格的大金属板?
如更换,换那种规格的,其完成订单要求能节省多少成本。
b)若组合使用这四种大块金属板,其完成订单要求又能节省多少成本。
分析题目,我们可知,大金属板的切割方式有很多种,即使在省材料的情况下也是如此,当然,如果所有的切割方式让我们列举出来,我们就可以把题目转换成线性问题,因为切割方式太多,我们把四个小金属板分类。
四个小金属板可以组成
种,在前面的例子中可以看到每一小金属板种类可能切出不同的数量组合。
通过这种分类方式,把大金属板分成小金属板,将问题转线性规划问题。
通过上述分类将问题给出的大金属板分割,给以每一种切割模式一种变量xi,那么所得到的小金属板就可以用这些变量xi来表示,在要求的小金属板数这一约束条件下通过LINGO程序解出结果。
有上述知问题
(1)直接可以得出。
若分别给变量xi一个系数并赋予成0或1变量,只允许其中三个可以为正整数,其余为零。
通过问题
(1)就可以解决问题
(2)。
对于问题(3),同样的对问题给出的另外三种规格的金属板分割,可分别对每一金属板按照问题
(1)计算,并可将四种金属板的分割当作一个新大金属板的分割,添加价格系数在其中,编写LINGO程序求解。
详细结果见附录
模型的建立
1)a)每天完成订单:
所要求的目标函数:
完成订单要求所用所有切割模式使用的大块金属板数量和,求此和的最小值。
xi的需求约束方程为:
1)a)每天完成订单:
>=xqi
b)每两周供货一次:
E(i)>=10*xq(i)
2)切割模式不超过三种考虑问题1)
a)每天完成订单:
x(i)<=s(i)*m(i),i=1,2,…,29
i<=3
E(i)>=xq(i)
b)每两周供货一次:
x(j)<=s(j)*10*m(j)
i<=3
E(i)>=10*xq(i)
3)E(i)>=xq(i)(注意:
对不同规格的主板有不同的E(i))
(二)模型的求解
在模型求解的过程中,我们调用了Lingo软件,将以上分析所得方程输入,程序见附录。
由运行结果(见附录)可知,
1)最少可使用8块大块金属板;若企业要求每两周供货一次,74块大块金属板可完成任务,如果每天供货一次则需要80块。
74<80,故可以给车间带来更多利益。
2)切割模式不超过3种考虑问题1)最少可使用8块大块金属板;切割的3种模式为W1(3次),W12(1次),W22(4次);若企业要求每两周供货一次,74块大块金属板可完成任务,如果每天供货一次则需要80块。
74<80,故可以给车间带来更多利益。
规格54×108(8)
规格48×96(12)
小金属板模式
W1
W2
W22
W24
小金属板模式
W3
W7
X15
A1
3
0
0
0
A1
0
0
1
A2
0
6
2
2
A2
0
2
1
A3
0
0
2
1
A3
2
2
0
A4
0
0
3
10
A4
0
0
3
规格72×120(5)
规格90×148(3)
小金属板模式
W2
W8
W83
W91
小金属板模式
W5
W16
W102
A1
0
4
2
1
A1
6
6
0
A2
10
0
2
1
A2
2
0
12
A3
0
1
2
2
A3
0
0
1
A4
0
0
2
13
A4
0
6
1
3)a)需要!
由于金属板价格与面积成正比,设价格P=K*S(K>0)。
故使用金属板总面积S越小,越节省成本。
下表是使用各规格金属板完成生产要求所需的最小数量。
通过比较知道规格为90cm×148cm的金属板需求总面积最小,为39960。
故需要更换,可更换规格为90cm×148cm的金属板,可以节约(46656-39960)*K=6696*K的成本。
规格(cm)
最小需求量(块)
面积(m²)
总面积(m²)
54×108
8
5832
46656
48×96
12
4608
55296
72×120
5
8640
43200
90×148
3
13320
39960
下表是各个规格裁剪详情,
b)把每一种规格的金属板的切割模式累加起来,重新赋予序号,通过LINGO程序运行结果制成下表。
可是W143过后全部都是由规格90cm×148cm切割得来的。
故组合四块金属板切割按照材料最省原则只需要使用第四块金属板就可以了。
故可节约的成本与a)中相同。
为(46656-39960)*K=6696*K。
四种板混合
W148
W159
W245
A1
6
6
0
A2
2
0
12
A3
0
0
1
A4
0
6
1
附录(Lingo程序)
1)
model:
sets:
A/1..4/:
xq;
W/1..29/:
x;
zh(A,W):
cost;
endsets
data:
xq=813715;
cost=
3
0
0
0
1
2
1
2
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
2
1
1
1
1
0
6
0
0
4
2
0
0
0
4
2
5
4
3
2
1
0
0
2
0
1
2
1
2
1
2
3
1
1
0
0
2
0
0
0
2
0
0
1
2
0
0
0
0
0
2
1
1
1
1
2
2
1
0
0
0
0
1
0
0
0
2
0
0
0
7
1
0
0
4
8
1
1
1
1
1
0
8
1
3
5
1
4
8
4
1
3
;
enddata
min=@sum(W(j):
x(j));
@for(A(i):
@sum(W(j):
cost(i,j)*x(j))>=xq(i));
@for(W(j):
@gin(x(j)));
end
运行结果:
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
8.000000
Objectivebound:
8.000000
Infeasibilities:
0.000000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
7
VariableValueReducedCost
X
(1)3.0000001.000000
X
(2)1.0000001.000000
X(22)3.0000001.000000
X(24)1.0000001.000000
model:
sets:
A/1..4/:
xq;
W/1..29/:
x;
zh(A,W):
cost;
endsets
data:
xq=813715;
cost=
3
0
0
0
1
2
1
2
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
2
1
1
1
1
0
6
0
0
4
2
0
0
0
4
2
5
4
3
2
1
0
0
2
0
1
2
1
2
1
2
3
1
1
0
0
2
0
0
0
2
0
0
1
2
0
0
0
0
0
2
1
1
1
1
2
2
1
0
0
0
0
1
0
0
0
2
0
0
0
7
1
0
0
4
8
1
1
1
1
1
0
8
1
3
5
1
4
8
4
1
3
;
enddata
min=@sum(W(j):
x(j));
@for(A(i):
@sum(W(j):
cost(i,j)*x(j))>=10*xq(i));
@for(W(j):
@gin(x(j)));
End
运行结果:
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
74.00000
Objectivebound:
74.00000
Infeasibilities:
0.000000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
5
VariableValueReducedCost
X
(1)27.000001.000000
X
(2)9.0000001.000000
X(22)32.000001.000000
X(24)6.0000001.000000
2)
model:
sets:
A/1..4/:
xq;
W/1..29/:
x,s,m;
zh(A,W):
cost;
endsets
data:
xq=813715;
s=
3
3
4
1
4
4
4
1
2
4
4
3
2
2
2
1
2
5
7
2
2
4
4
2
4
2
4
2
4
;
cost=
3
0
0
0
1
2
1
2
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
2
1
1
1
1
0
6
0
0
4
2
0
0
0
4
2
5
4
3
2
1
0
0
2
0
1
2
1
2
1
2
3
1
1
0
0
2
0
0
0
2
0
0
1
2
0
0
0
0
0
2
1
1
1
1
2
2
1
0
0
0
0
1
0
0
0
2
0
0
0
7
1
0
0
4
8
1
1
1
1
1
0
8
1
3
5
1
4
8
4
1
3
;
enddata
min=@sum(W(j):
x(j));
@for(A(i):
@sum(W(j):
cost(i,j)*x(j))>=xq(i));
@for(W(j):
x(j)-s(j)*m(j)<=0);
@sum(W(j):
m(j))<=3;
@for(W(j):
@bin(m(j)));
@for(W(j):
@gin(x(j)));
End
运行结果:
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
8.000000
Objectivebound:
8.000000
Infeasibilities:
0.000000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
204
VariableValueReducedCost
X
(1)3.0000001.000000
X(12)1.0000001.000000
X(22)4.0000001.000000
model:
sets:
A/1..4/:
xq;
W/1..29/:
x,s,m;
zh(A,W):
cost;
endsets
data:
xq=813715;
s=
3
3
4
1
4
4
4
1
2
4
4
3
2
2
2
1
2
5
7
2
2
4
4
2
4
2
4
2
4
;
cost=
3
0
0
0
1
2
1
2
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
2
1
1
1
1
0
6
0
0
4
2
0
0
0
4
2
5
4
3
2
1
0
0
2
0
1
2
1
2
1
2
3
1
1
0
0
2
0
0
0
2
0
0
1
2
0
0
0
0
0
2
1
1
1
1
2
2
1
0
0
0
0
1
0
0
0
2
0
0
0
7
1
0
0
4
8
1
1
1
1
1
0
8
1
3
5
1
4
8
4
1
3
;
enddata
min=@sum(W(j):
x(j));
@for(A(i):
@sum(W(j):
cost(i,j)*x(j))>=10*xq(i));
@for(W(j):
x(j)-s(j)*10*m(j)<=0);
@sum(W(j):
m(j))<=3;
@for(W(j):
@bin(m(j)));
@for(W(j):
@gin(x(j)));
end
运行结果:
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
74.00000
Objectivebound:
74.00000
Infeasibilities:
0.000000
Extendedsolversteps:
3
Totalsolveriterations:
723
VariableValueReducedCost
X
(1)27.000001.000000
X(12)12.000001.000000
X(22)35.000001.000000
3)大块金属板为48cm*96cm规格
model:
sets:
a/1..4/:
ma;
b/1..17/:
da,x;
C(b,a):
cost;
endsets
data:
ma=8,13,7,15;
cost=@ole('D:
\data.xlsx','data31');
enddata
min=@sum(b(i):
x(i));
@for(a(k):
@sum(b(i):
cost(i,k)*x(i))>=ma(k));
@for(b(i):
@gin(x(i)));
end
运行结果:
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
12.00000
Objectivebound:
12.00000
Infeasibilities:
0.000000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
6
VariableValueReducedCost
X(3)1.0000001.000000
X(7)3.0000001.000000
X(15)8.0000001.000000
大块金属板为72cm*120cm规格
model:
sets:
a/1..4/:
ma;
b/1..97/:
da,x;
C(b,a):
cost;
endsets
data:
ma=8,13,7,15;
cost=@ole('D:
\data.xlsx','data32');
enddata
min=@sum(b(i):
x(i));
@for(a(k):
@sum(b(i):
cost(i,k)*x(i))>=ma(k));
@for(b(i):
@gin(x(i)));
end
运行结果:
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
5.000000
Objectivebound:
5.000000
Infeasibilities:
0.000000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
20
VariableValueReducedCost
X
(2)1.0000001.000000
X(8)1.0000001.000000
X(83)2.0000001.000000
X(91)1.0000001.000000
大块金属板为90cm*148cm规格
model:
sets:
a/1..4/:
ma;
b/1..184/:
da,x;
C(b,a):
cost;
endsets
data:
ma=8,13,7,15;
cost=@ole('D:
\data.xlsx','data33');
enddata
min=@sum(b(i):
x(i));
@for(a(k):
@sum(b(i):
cost(i,k)*x(i))>=ma(k));
@for(b(i):
@gin(x(i)));
end
运行结果:
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
3.000000
Objectivebound:
3.000000
Infeasibilities:
0.000000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
19
VariableValueReducedCost
X(5)1.0000001.000000
X(16)1.0000001.000000
X(102)1.0000001.000000
四块金属板组合:
model:
sets:
a/1..4/:
ma;
b/1..327/:
da,x;
C(b,a):
cost;
endsets
data:
ma=8,13,7,15;
cost=@ole('D:
\dataE.xlsx','Ex_1');
enddata
min=@sum(b(i):
x(i));
@for(a(k):
@sum(b(i):
cost(i,k)*x(i))>=ma(k));
@for(b(i):
@gin(x(i)));
end
运行结果:
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
3.000000
Objectivebound:
3.000000
Infeasibilities:
0.000000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
20
VariableValueReducedCost
X(148)1.0000001.000000
X(159)1.0000001.000000
X(245)1.0000001.000000
其他三种大金属块的分割模式汇总
72cm×120cm
W1
A1
A2
A3
A4
W2
1
0
0
0
W3
0
5
0
0
W4
0
0
2
0
W5
0
0
0
16
W6
1
2
0
0
W7
1
0
0
7
W8
0
2
2
0
W9
0
3
1
0
W10
0
1
0
12
W11
0
2
0
10
W12
0
3
0
6
W13
0
4
0
3
W14
0
0
2
6
W15
0
0
1
10
W16
1
1
0
3
W17
0
1
2
2
W18
0
2
1
4
72cm×120cm
A1
A2
A3
A4
A1
A2
A3
A4
W1
4
0
0
0
W50
0
3
2
12
W2
0
10
0
0
W51
0
2
2
12
W3
0
0
6
0
W52
0
1
2
18
W4
0
0
0
32
W53
0
7
1
3
W5
3
2
0
0
W54
0
6
1
7
W6
2
5
0
0
W55
0
5
1
11
W7
1
7
0
0
W56
0
4
1
13
W8
4
0
1
0
W57
0
3
1
17
W9
3
0
2
0
W58
0
2
1
20
W10
2
0
3
0
W59
0
1
1
23
W11
1
0
4
0
W60
3
2
1
0
W12
0
1
5
0
W61
2
2
2
0
W13
0
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4
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- 数学 建模 金属板 切割