人教版九年级数学上《正多边形和圆》练习题含答案.docx
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人教版九年级数学上《正多边形和圆》练习题含答案
24.3正多边形和圆
知识点1正多边形与圆的关系
1.如果一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆,那么这个四边形一定是()
A.矩形B.菱形
C.正方形D.不能确定
2.如图24-3-1所示,已知△ABC是⊙O的内接等腰三角形,顶角∠BAC=36°,弦BD,CE分别平分∠ABC,∠ACB.求证:
五边形AEBCD是正五边形.
图24-3-1
知识点2与正多边形有关的计算
3.如果一个正多边形的中心角为72°,那么这个正多边形的边数是()
A.4B.5C.6D.7
4.若正方形的边长为6,则其内切圆半径的大小为()
A.32B.3C.6D.62
5.2016·南平若正六边形的半径为4,则它的边长等于()
A.4B.2C.23D.43
6.如图24-3-2所示,正六边形ABCDEF内接于⊙O,则∠ADB的度数是()
图24-3-2
A.60°B.45
C.30°D.22.5°
7.正八边形的中心角等于度.
8.将一个边长为1的正八边形补成如图24-3-3所示的正方形,这个正方形的边长等于.(结果保留根号)
图24-3-3
图24-3-4
10.如图24-3-5,已知正五边形ABCDE,M是CD的中点,连接AC,BE,AM.
求证:
(1)AC=BE;
(2)AM⊥CD.
图24-3-5
知识点3与正多边形有关的作图
11.已知⊙O和⊙O上的一点A,作⊙O的内接正方形和内接正六边形(点A为正方形和正六边形的顶点).
12.如图24-3-6所示,⊙O的内接多边形的周长为3,⊙O的外切多边形的周长为
3.4,则下列各数中与此圆的周长最接近的是()
A.6B.8C.10D.1713.若AB是⊙O内接正五边形的一边,AC是⊙O内接正六边形的一边,则∠BAC等
于()
A.120°B.6°
C.114°D.114°或6°
14.若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2,则其内切圆半径的长为()
A.2B.22-2
C.2-2D.2-1
15.2017·达州以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,则该三角形的面积是()
A.22B.23C.2D.3
16.2017·云南如图24-3-7,边长为4的正方形ABCD外切于⊙O,切点分别为E,F,G,H.则图中阴影部分的面积为.
图24-3-7
图24-3-8
正五边形ABCDE,⋯,正n边形ABCDEFG⋯的边AB,BC上的点,且BM=CN,连接OM,
ON.
图24-3-9
(1)求图①中∠MON的度数;
(2)图②中,∠MON的度数是,图③中∠MON的度数是
(3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系(直接写出答案).
教师详解详析
1.C[解析]只有正多边形的外接圆与内切圆才是同心圆,故这个四边形是正方形.故选C.
2.证明:
∵△ABC是等腰三角形,且∠BAC=36°,
∴∠ABC=∠ACB=72°.
又∵BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,
∴∠ABD=∠CBD=∠BCE=∠ACE=36°,
即∠BAC=∠ABD=∠CBD=∠BCE=∠ACE,
︵︵︵︵︵
∴BC=AD=CD=BE=AE,
∴A,E,B,C,D是⊙O的五等分点,
∴五边形AEBCD是正五边形.
3.B[解析]设这个正多边形为正n边形,由题意可知72n=360,解得n=5.故选B.
4.B
5.A[解析]正六边形的中心角为360°÷6=60°,那么外接圆的半径和正六边形的边组成一个等边三角形.因为正六边形的外接圆半径等于4,所以正六边形的边长等于4.
6.C[解析]连接OB,则∠AOB=60°,
1
∴∠ADB=∠AOB=30°.
7.45
8.1+2
[解析]如图,∵△BDE是等腰直角三角形,BE=1,
∴BD=2,
2,
∴正方形的边长等于AB+2BD=1+2.
1
9.24[解析]正六边形的一个内角=×(6-2)×180°=120°,正五边形的一个内角
6
1
=×(5-2)×180°=108°,∴∠BAC=360°-(120°+108°)=132°.∵两个正多边形
5
1的边长相等,即AB=AC,∴∠ABC=2×(180°-132°)=24°.
10.证明:
(1)由五边形ABCDE是正五边形,得AB=AE,∠ABC=∠BAE,AB=BC,
∴△ABC≌△EAB,∴AC=BE.
(2)连接AD,由五边形ABCDE是正五边形,得AB=AE,∠ABC=∠AED,BC=ED,
∴△ABC≌△AED,
∴AC=AD.
又∵M是CD的中点,
∴AM⊥CD.
11.解:
如图所示.
作法:
①作直径AC;
②作直径BD⊥AC,依次连接AB,BC,CD,DA,则四边形ABCD是⊙O的内接正方形;
③分别以点A,C为圆心,OA的长为半径画弧,交⊙O于点E,H和F,G,顺次连接AE,EF,FC,CG,GH,HA,则六边形AEFCGH为⊙O的内接正六边形.
12.C[解析]根据两点之间,线段最短可得圆的周长大于3而小于3.4,选项中只有C满足要求.
13.D[解析]分两种情况考虑:
(1)如图①所示,∵AB是⊙O内接正五边形的一边,∴∠AOB=5=72°.∵AC是
2,∴此直角三角形的斜边长为4,两
14.B[解析]∵等腰直角三角形的外接圆半径为
条直角边的长均为22.如图,根据三角形内切圆的性质可得CD=CE=r,AD=BE=AO
=BO=22-r,∴AB=AO+BO=42-2r=4,解得r=22-2.故选B.
15.A[解析]如图①,∵OC=2,∴OD=1;
如图②,∵OB=2,∴OE=2;
如图③,∵OA=2,∴OD=3,则该三角形的三边长分别为1,2,3.
∵12+
(2)2=(3)2,
∴该三角形是直角三角形
∴该三角形的面积是21×1×2=22.
故选A.
16.2π+4[解析]如图,连接HO,并延长交BC于点P,连接EO,并延长交CD于点M.
∵正方形ABCD外切于⊙O,
∴∠A=∠B=∠AHP=90°,
∴四边形AHPB为矩形,∴∠OPB=90°.
又∵∠OFB=90°,∴点P与点F重合,
∴HF为⊙O的直径,
同理:
EG为⊙O的直径.
由∠D=∠OGD=∠OHD=90°且OH=OG知,四边形DGOH为正方形.同理:
四边形OGCF、四边形OFBE、四边形OEAH均为正方形,∴DH=DG=GC=CF=2,∠HGO=∠FGO=45°,
∴∠HGF=90°,GH=GF=GC2+CF2=22,
1
则阴影部分面积=21S⊙O+S△HGF
11
=2·π·22+2×22×22
=2π+4.
故答案为2π+4.
17.解:
如图,连接OA,作OH⊥AC于点H,则∠OAH=30°
1
在Rt△OAH中,设OA=R,则OH=2R,由勾股定理可得AH=OA2-OH2=R2-(21R)2=213R.
111而△ACE的面积是△OAH面积的6倍,即6×2×23R×2R=483,解得R=8,
即正六边形的边长为8,所以正六边形的周长为48.
18.解:
(1)方法一:
如图①,连接OB,OC.
图①∵正三角形ABC内接于⊙O,
∴∠OBM=∠OCN=30°,∠BOC=120°.又∵BM=CN,OB=OC,
∴△OBM≌△OCN,
∴∠BOM=∠CON,
∴∠MON=∠BOC=120°.方法二:
如图②,连接OA,OB.
图②
∵正三角形ABC内接于⊙O,
,∠AOB=120°
∴AB=BC,∠OAM=∠OBN=30°∵BM=CN,∴AM=BN.
又∵OA=OB,∴△AOM≌△BON,
∴∠AOM=∠BON,
∴∠MON=∠AOB=120°.
360°
(2)90°72°(3)∠MON=.
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