群的基本知识.docx
- 文档编号:29528047
- 上传时间:2023-07-24
- 格式:DOCX
- 页数:98
- 大小:233.76KB
群的基本知识.docx
《群的基本知识.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《群的基本知识.docx(98页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
群的基本知识
第一章群的基本知识
二十一世纪以来,特别是爱因斯坦(Einstein)发现相对论之后,对称性的研究在物理
学中越来越重要。
对称性帮助人们求得物理问题的解,也帮助人们寻求新的运动规律。
物理学家不仅研究了空间和时间的对称性,而且找到了许多内部对称性,如强作用的SU
(2)同位旋对称,SU(3)色和味的对称,弱电统一的SU
(2)XU
(1)的对称,偶偶核的U(6)动力学对称等等。
从七十年代起,又开展了超对称性的研究。
群论是研究对称性问题的数学基础,因此,它越来越受到物理学工作者的重视。
1.1群
定义1.1设G是一些元素的集合,G{
g,}
{g}
.在G中定义了乘法运算。
如果G
对这种运算满足下面四个条件:
(1))封闭性。
即对任意
f,g
G,若fg
h,必有hG。
(2))结合律。
对任意
f,g,h
G,都有
fgh
f(gh).
(3))有唯一的单位元素。
有
eG,对任意f
G,都有ef
fef
(4))有逆元素。
对任意f
G,有唯一的f1
G,使f1f
ff1e
1
则称G为一个群。
e称为群G的单位元素,f称为f的逆元素。
例1空间反演群。
设E和I对三维实空间
R3中向量r的作用为
Err,Irr
即E是保持r不变的恒等变换,I是使r反演的反演变换,定义群的乘法为从右到左连续
对r作用。
集合
E,I
构成反演群,其乘法表见表1.1.
例2n阶置换群
Sn,又称n阶对称群。
将n个元素的集合X
{1,2,
n}
映为自身的置换
为
12n
P,
m1m2mn
其中m1,m2,
mn是1,2,
n的任意排列,P表示把1映为
m1,2映为
m2,n映为
mn的
映射。
显然置换只与每列的相对符号有关,与第一行符号的顺序无关,如
12344
=
42133
231
。
214
定义两个置换
P'和P的乘积
P'P,为先实行置换P,再实行置换
P',如
123
213
123123
=。
321312
容易看出在这乘法定义下,全部n阶置换构成
Sn群。
Sn群共有
n!
个元素。
例3平面三角形对称群
D3,又称为6阶二面体群。
考虑重心在原点,底边与x轴平行的xy平面上的正三角形ABC,见图1.1(a)。
保持正三角形不变的空间转动操作有
e:
不转,
d:
绕z轴转2
3,f
:
绕z轴转43,
a:
绕轴1转,b:
绕轴2转,
c:
绕轴3转
定义两个转动操作的乘积,如ab为先实行操作b,再实行操作a。
由图1.1b可看出,实行操作b和实行操作ab后ABC位置的变化,且可看出,实行操作ab和实行操作d一样,
因此ab
d。
在上述乘法定义下,保持正三角形不变的全体转动操作构成
D3群。
D3{e,d,
f,a,b,c}
是6阶群,它的乘法表见表1.2.
33
例4定义群的乘法为数的加法,则全体整数构成一个群,0是单位元素,n和n互为逆元素。
同理,全体实数在加法下也构成一个群。
但实数全体在乘法为数乘时,并不构成一个群,因为0没有逆元素。
除去0以外的实数构成一个群。
例5空间平移群
T3。
设a是R中的向量,r是R中任意一向量,定义空间平移
Ta为
Tarra
定义两个平移
Ta和Tb的乘积
TaTb,为先实行平移
Tb,再实行平移
Ta,
TaTbr
Ta(rb)
rba
Tabr
故TaTb
Tab
TbTa
T3群的单位元素是平移零向量T,即不平移,其中是零向量,
Ta和
Ta是互逆元素。
例6三维转动群
SO(3)。
保持
R3中点O不动,设k是过O点的任一轴,绕k轴转角的
转动为
Ck(
)。
定义两个转动
Ck(
)和C(')
的乘积
Ck(
)Ck'(
'),为先实行绕k轴
k'
转角,再实行绕
k'轴转'角。
则绕所有过O点轴的一切转动构成
SO(3)
群。
SO(3)群的
单位元素是转角0,即不转。
绕同一轴k,转角和2的元素
Ck(
),C(')
k'
互为逆元素。
由上述例子可以看出群的元素不但可以是数,而且可以是空间反演、空间转动、空间平移等操作,也可以是置换等等。
当群G的元素个数有限时,G称为有限群。
当G的元素个数为无限时,G称为无限群。
空间反演群、
Sn群、
D3群是有限群,例4至例6是无限群。
有限群G的元素的个数n称为群的阶,有时记为
nG。
反演群是二阶群,
D3是6阶
群,Sn是n!
阶群。
群的乘法,可以是数乘和数的加法,也可以是空间反演、转动等连续两次操作和连续
两次置换等等。
有限群的乘法规则,可以列为乘法表。
无限群的乘法虽然不能列出乘法表,但乘法规则总是确定的。
群的乘法一般不具有可交换性。
即对任意
f,g
G,一般说来fg与gf并不相等。
如
果对任意
f,g
G,有fg
gf,则称G是可交换群或阿贝尔(Abel)群。
从前面例子还可以看出,群G的任何元素可以用指标a标记。
当G是n阶有限群时,
指标a取1,2,
n,群元用
ga(a
1,2,
n)表示。
当G是可数的无限群时,如整数加法
群,a可以取所有整数值,
a0,
1,2,
。
当G是连续的无限群时,如实数加法群,有
时a取全体实数,有时a取多个有序的连续变化的实数:
如在平移群中,a是三个无界的有
序实数
(ax,ay,az),
aaxi
ayj
azk
又如在转动群中,a是3个有界的有序实数,,,其中,是转轴k的方位角,
是转动角度,而且,0
02,0
综上所述,群G是任一个元素,总
可用在一定范围内变化的一个数a标记为ga,给出此范围中任一个数a,就对应群G的一
个元素。
定理1.1(重排定理)设G
{ga},u
G,当a取遍所有可能值时,乘积
uga给出并
且仅仅一次给出G的所有元素。
证明先证G中任意元素g可以写成
uga
的形式。
因为u1
G,所以
u1g
gG,自然有g
ug。
'
'
再证uga当不同时,给出G中不同的元素。
用反证法,设,而ugug',
1
两边左乘u得g
g',这与可以唯一标记G中元素矛盾。
故时,ug
ug'。
于是当改变时,
uga给出并仅一次给出G的所有元素。
定理证毕。
系gau在取遍所有可能值时,也给出并且仅仅一次给出群G的所有元素。
重排定理是关于群的乘法的重要定理。
它指出每一个群元素,在乘法表的每一行(或
每一列)中被列入一次而且仅仅一次。
乘法表的每一行(或每一列)都是群元素的重新排列,不可能有两行(或两列)元素是相同的。
1.2子群和陪集
定义1.2设H是群G的一个子集,若对于与群G同样的乘法运算,H也构成一个群,
则称H为G的子群。
常记为HG。
容易证明,群G的非空子集H是G的子群的充要条件为:
(1)若ha,hH,则hhH,
(2)若h
H,则h1H。
任意一个群G,其单位元素e和G本身都是G的子群,这两种子群称为显然子群和平庸子群。
群G的非显然子群称为固有子群。
若不特别说明,一般说是指固有子群。
例7在定义群的乘法为数的加法时,整数全体构成的群是实数全体构成的群的子群。
例8在x轴方向的平移
{Ta
i}全体构成平移群
T(3)
的一个子群。
x
n
例9绕固定轴k的转动
Ck(
),0
2是SO(3)
群的一个子群。
定义1.3n阶循环群是由元素a的幂
ak组成,k
1,2,
n,并且a
e,记为
n
z{a,a2,
an
e}.
循环群的乘法可以交换,故循环群是阿贝尔群。
从n阶有限群G的任一个元素a出发,
总可以构成G的一个循环子群zk,
称a的阶为k,zk是由a生成的k阶循环群。
因为当ae,e为G的一阶循环子群,这是显
然子群。
当a
e,a2a,如a2
e,则由a生成2阶循环子群。
如
ae,a2
e,,ak1
e,,用重排定理,知
a,a2,
ak
1,ak为G中不同元素。
通过增加
k,再利用重排定理,总可以在k
n中达到ak
e。
因此,从阶有限群的任一元素a出发,
总可以生成一个G的循环子群。
定义1.4设H是群G的子群,H
{h}
。
由固定g
G,g
H,可生成子群H的左
陪集gHghhH,
同样也可生成H的右陪集
HghghH,
有时也将陪集称为旁集。
当H是有限子群时,陪集元素的个数等于H的阶。
定理1.2(陪集定理)设群H是群G的子群,则H的两个左(或右)陪集或者有完全相同的元素,或者没有任何公共元素。
证明设u,v
G,u,v
H,考虑由
u,v生成的H的两个左陪集,
uH{uhh
H},vH
{vhhH}
设左陪集uH和vH有一个公共元素,uhvh
则v1uhh1H
1
根据重排定理,
v1uh
当取遍所有可能值时,
v1uh
给出群H的所有元素一次,并且仅
仅一次,故左陪集
v[v
uh]
uh与左陪集vh重合。
因此当左陪集uH和vH有一个公共
元素时,uH和vH就完全重合。
定理证毕。
同样的证法,也适用于右陪集。
定理1.3(拉格朗日定理)有限群的子群的阶,等于该有限群阶的因子。
证明设G是n阶有限群,H是G的m阶子群。
取u1
G,u1
H,作左陪集
u1H。
如
果包括子群H的左陪集串
H,u1H
不能穷尽整个群G,则取u2
G,u2
H,u2
u1H,作
左陪集
u2H
。
根据陪集定理,
u2H
与H和u1H
完全不重合。
继续这种做法,由于G的阶
有限,故总存在
uj1,使包括子群H的左陪集串
H,u1H,u2H,,uj1H
穷尽了整个G。
即群G的任一元素被包含在此左陪集串中,而左陪集串中又没有相重合的元素,故群G的元素被分成j个左陪集,每个陪集有m个元素。
于是
群G的阶n=(子群H的阶m)j
定理证毕。
系阶为素数的群没有非平庸子群。
上面把群G的元素,分成其子群H的左陪集串的作法,不仅对证明拉格朗日定理有用,而且提供了一种把群G分割为不相交子集的方法。
这是一种很有用的分割群的方法。
同样,也可以把群G分割成其子群的右陪集串。
例10
D3有子群H1
{e,a},H2
{e,b},H3
{e,c}
和H4
{e,d,
f}。
D3可按
H1分成
左陪集串,H1
{e,a},
bH1
{b,
f},
cH1
{c,d}
。
也可按
H4分成右陪集串,
H4{e,d,
f},
H4a
{a,b,c}。
1.3类与不变子群
定义1.5设
f,h是群G的两个元素,若有元素
gG,使gfg1
h,则称元素h与f共
轭。
记为
h~f。
共轨具有对称性,当
h~f,则
f
~h。
且f~f。
1
1
共轨还具有传递性,即当
f1~h,f2~
h,,则有
f1~f2。
因f1
g
hg1,f
ghg1,故
11
22
2
f
1
f1g1g2
2g21
(g1g2
f2(g1
g1)1,
g
)
2
定义1.6群G的所有相互共轨的元素集合组成G的一类。
由于共轭关系具有对称性和传递性,因此一个类被这类中任意一个元素所决定。
只要给出类中任意一个元素f,就可求出f类的所有元素,
f类{f'f'
gfg
1,g
G}。
一个群的单位元素e自成一类,因对任意g
G,有g
eg1
e。
阿贝尔群的每个元
素自成一类,因对任意
f,g
G,有g
fg1
f。
设元素f的阶为m,即fm
e,则
f类所有元素的阶都是m,因(g
fg1)m
gfmg1
e,对任意g
G成立。
1
应该指出,当g取遍群G的所有元素时,gfg可能不止一次地给出f类中的元素。
如fe,g
fg1永远给出单位元素e。
由共轨关系具有传递性可以知道,两个不同的类没有公共元素。
因此可以对群按共轨类
进行分割。
这种对群按共轨类进行的分割,每个类中元素个数不一定相同。
而按子群的陪集对群进行的分割,每个陪集元素的个数是相同的。
按类和按陪集分割群,是分割群的两种重要方式。
定理1.4有限群每类元素的个数等于群阶的因子。
g
证明设G是n阶有限群,g是G的任一个元素,看g类元素的个数。
作G的子群H,
Hg{h
Ghgh
1g},
g
H由G中所有与g对易的元素h组成,即hggh。
g
g
对于g1,g2
G,g1,g2
Hg,,如果
ggg1
ggg1,则
g1,g2必属于
Hg的同一
11
22
gg
2
1
g
左陪集
g1H
。
因为按定义,g1
g1H。
由
ggg1
ggg1可得
11
22
1212
(g1g)g(g1g)1
g,故12
Hg,g
g1H。
g
11
反之,如果
g1,g2属于
Hg的同一左陪集
g1H
,必有g2
g1h,h
H。
于是有
g
22
g
g
gg1
g1hgh1
ggg1
11
g
因此g类中元素的个数,等于群G按H分割陪集的个数,也就是群G的阶的因子。
g类元素个数=
G的阶Hg的阶
定义1.7设H和K是群G的两个子群,若有g
G,使
KgHg1{kghg1hH}
,则称H是K的共轭子群。
由共轭关系的对称性和传递性,知共轭子群也有对称性和传递性。
即若H是K的共轭
子群,则K也是H的共轭子群。
若
H1和H2是K的共轭子群,则
H1和H2也互为共轭子
群。
G的全部子群可分割为共轭子群类。
定义1.8设H是G的子群,若对任意g
G,h
H,有ghg1
H。
即如果H包含
元素h,则它将包含所有与h同类的元素,我们称H是G的不变子群。
定理1.5设H是G的不变子群,对任一固定元素fG,在h取遍H的所有群元时,
1
乘积fhf一次并且仅仅一次给出H的所有元素。
1
1
证明首先证明H的任意元素h具有fhf1的形式。
因为H是不变子群,故
1
fhf
H,令fhf
h,则h
fhf。
而且当h
h
时,fhf1
fhf
1,否则必引起矛盾。
因此当h取遍所有可能的H元
1
素时,fhf一次并且仅仅一次给出H的所有元素。
例11以加法作为群的乘法时,整数加法群是实数加法群的不变子群。
实事上,阿贝尔群的所有子群都是不变子群。
不变子群的左陪集和右陪集是重合的。
因为对G的不变子群H,由g
G,g
H,生
成H的左陪集gH
{ghhH}
和右陪集Hg{hghH}
而由H是G的不变子群知
g1hg
H。
由下式可以看出左陪集的元素
g(g1h
g)也是右
陪集的元素。
g(g1hg)hgHg
故H的左右陪集重合。
因此对不变子群,就不再区分左陪集和右陪集,只说不变子群的陪集就够了。
设H是G的不变子群。
考虑没有公共元素的H的陪集串,H,g1H,g2H,,giH,,,
ijj
假定陪集串穷尽了群G,两个陪集
giH
和gjH
中元素的乘积。
必属于另一陪集。
因
gih
gjh
ggg1h
gjh
gigjhh
gigjh
gkh
gkH
其中h
g1h
gj,h
hh,gk
gigj
j
定义1.9设群G不变子群H生成的陪集串为
H,g1H,g2H,
giH,
,把其中每一个
陪集看成一个新的元素,并由两个陪集中元素相乘的另一个陪集的元素,定义新的元素间的
乘法规则,即
陪集串
H
f0
新元素
g1H
f1
g2H
giH
f2
fi
乘法规则
gih
gjh
gkh
fifjfk
这样得到的群
{f0,
f1,
f2,
fi,
},称为不变子群H的商群,记为
GH。
不变子群H对
应商群G
H的单位元素
f0,每一个陪集
giH
对应商群G
H的一个元素
fi。
陪集
giH和
陪集gjH
的乘积对应
fi和
fj的乘积。
事实上,群
{f0,
f1,
f2,
fi,
}和群
{H,g1H,g2H,
giH,
}同构,它们都可以作为商群
G
H的定义。
例12
D3群的元素可以分为三类,即c类
{e},d类
{d,
f},a类
{a,b,c}
。
恒等转
动e自成一类,绕z轴转2
3和4
3是一类,绕角等分线转角是一类。
因此
D3的子群
H1{e,a},H2
{e,b},H3
{e,c}
,是互为共轭的子群,H4
{e,d,
f}是不变子群。
H4
的陪集串和商群
D3H4
的元素间有以下对应
H4{e,d,f}
f0,aH4
{a,b,c}f1
故商群
D3H4
是二阶循环群
Z2。
1.4群的同构与同态
定义1.10若从群G到群F上,存在一个一一对应的满映射,而且保持群的基本运算规律(乘法)不变;即群G中两个元素乘积的映射,等于两元素映射的乘积,则称群G和
群F同构,记为GF。
映射称为同构映射。
同构映射可由图1.2表示:
其中:
GF
gifi
gjfj
gigjfifj
'
'
'
同构映射,把G的单位元素
g0映为F的单位元素
f0,因对任意fi
G,:
gi
fi。
设:
g0
f0,则有
:
g0gi
gig0gi
f0i
fif0fi
f
00
0
故f'f,
f'必为F的单位元素
f0。
同构映射,还把G的互逆元素
gi,gi
1
映为的互逆
1
元素fj,fj。
由于同构映射是一一满映射,故逆映射1恒存在,1把F映为G,而且1保持群的乘法规律不变,即
1:
FG
figi
fjgj
fifjgigj
所以当群G和群F同构,必有群F与群G同构,FG。
两个同构的群,不仅群的元素间有一一对应关系,而且他们所满足的乘法规律间也有一一对应关系。
因此从数学角度看,两个同构的群具有完全相同的群结构。
作为抽象的群来说,两个
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 基本知识
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)