高中数学《任意角的三角函数》教学设计新人教A版必修4.docx
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高中数学《任意角的三角函数》教学设计新人教A版必修4.docx
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高中数学《任意角的三角函数》教学设计新人教A版必修4
2019-2020年高中数学《任意角的三角函数》教学设计新人教A版必修4
一、内容与内容解析
三角函数是函数的一个特例,是函数概念的下位概念,与指数函数、对数函数具有相同的地位,但是在具体的定义方式上又有所不同,应该按照概念的体系将之纳入到原有的认知结构中,揭示彼此之间的关系,认识新概念的本质属性。
因此本课时的教学重点是:
通过概念的同化与精致过程,帮助学生理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义,并在这个过程中突出单位圆的作用。
二、目标和目标解析
1.借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。
(能根据任意角的三角函数的定义求出具体的角的各三角函数值,能根据定义探究出三角函数值在各个象限的符号。
)
2.在定义的学习过程中渗透数形结合的思想。
(根据角的终边与单位圆的交点的坐标写出角的各三角函数值,及各三角函数的定义域,利用单位圆的几何特征写出正弦、余弦的值域。
)
3.在概念同化和精致的过程中发展学生研究问题的能力。
(知道概念所在的体系,知道任意角的三角函数与锐角三角函数、函数、指、对数函数等之间的关系,利用单位圆的几何特征研究三角函数的方法。
)
三、教学问题诊断分析
在概念教学过程中要注意学生已有知识经验的作用,发挥其正迁移,防止其负迁移。
本课时研究的是任意角的三角函数,学生在初中阶段曾经研究过锐角三角函数,其研究范围是锐角;其研究方法是几何的,没有坐标系的参与;其研究目的是为解直角三角形服务。
以上三点都是与本课时不同的,因此在教学过程中要发展学生的已有认知经验,发挥其正迁移。
具体而言要做到:
明确研究范围的变化,开阔学生的视野,并揭示由此带来的新问题,激发学生的学习兴趣;借助单位圆在坐标系中进行研究,要先将锐角的三角函数问题置于坐标系中,帮助学生利用坐标系借助单位圆重新认识锐角三角函数,这样做激活了学生的已有知识经验,并且用新的视角认识已有知识经验,复习了旧知识,同时为新的研究内容做好铺垫;第三,由于研究范围的改变,更加突出了任意角的三角函数是为研究客观世界中大量存在的周期性现象服务的。
这些都是在本课时的学习之后应该取得的认知方面的进步。
认识一个函数,关键是认识函数的三要素。
在学生学习过的函数中,一次、二次、反比例或者用图、表表示的对应法则的函数,其三要素是比较容易找到的,指、对函数的学习就需要一定的基础,同样在任意角的三角函数学习过程中也可能在自变量和对应法则上出现问题,应该注意明确任意角的三角函数的三要素,比如正弦函数y=sinα中自变量是角α,并且α∈R,对应法则是一个角与其正弦值对应,至于这个值怎么计算,在此处是规定为角α终边与单位圆交点的纵坐标,通过例2可以看出,也可以利用比值定义。
对于一次函数、二次函数也需要将自变量的值进行计算得到函数值,这一点本质上是统一的,要引导学生类比理解。
此外,由于学生对角度制的应用已经很熟练,而对弧度制的应用比较陌生,所以在理解函数的定义域是实数集时可能会出现问题,这需要教师的引导,同时也需要时间适应。
综合上述分析,本课时的教学难点是:
引导学生将任意角的三角函数的定义同化,帮助学生真正理解定义。
四、教学支持条件分析
利用几何画板改变角的位置,认识角的终边位于不同象限时如何定义角的三角函数值,充实学生的直观感知材料,帮助学生形成比较全面的认知。
五、教学过程设计
问题1 本章研究的问题是三角函数,函数的研究离不开平面直角坐标系,这在第一节中已经有所感受。
现在请你回忆初中学过的锐角三角函数的定义,并思考一个问题:
如果将锐角置于平面直角坐标系中,如何用直角坐标系中角的终边上的点的坐标表示锐角三角函数呢?
(设计意图:
将已有知识坐标化,分化难点。
用新的观点再认识学生的已有知识经验,发挥其正迁移作用,同时使本课时的学习与学生的已有知识经验紧密联系,使知识有一个熟悉的起点,扎实的固着点。
)
预计的回答:
学生可以回忆出初中学过的锐角三角函数的定义,但是在用坐标语言表述时可能会出现困难——即使将角置于坐标系中但是仍然习惯用三角形边的比值表示锐角三角函数,需要教师引导学生将之转换为用终边上的点的坐标表示锐角三角函数。
解答过程:
(1)再现锐角三角函数的定义:
如图1,在直角△POM中,∠M是直角,那么
。
(2)坐标化:
如图2,建立平面直角坐标系,设点P的坐标为(x,y),那么,于是
。
问题2 回忆弧度制中1弧度角的几何解释,它是借助于单位圆给出的,能否从中得到启示将上述定义的形式化简,化简的依据是什么?
写出最简单的形式。
(设计意图:
引入单位圆。
深化对单位圆作用的认识,用数学的简洁美引导学生进行研究,为定义的拓展奠定基础。
该问题与问题1结合,分步推进,降低难度,基本尊重教材的处理方式。
)
预计的困难:
由于学生只接触过一次单位圆,对它所能起的作用只有一般的了解,所以需要教师的引导。
也可以引导学生从形式上对上述定义化简,使得分母为1,之后通过分母的几何意义将之与单位圆结合起来。
解答过程:
单位圆中定义锐角三角函数:
如图3,线段OP=1,点P的坐标为(x,y),那么锐角α的三角函数可以用坐标表示为:
。
(说明:
单位圆的定义建议在弧度制一节中给出。
)
依据:
三角形相似,比值与具体的点的位置没有关系。
问题3:
上述定义是借助于单位圆,利用角的终边与单位圆的交点的坐标给出的,它可以推广到任意角的三角函数,请你写出任意角的三角函数的定义。
分小组分别写出角α的终边位于第二、三、四象限和x轴、y轴上时的三角函数。
(设计意图:
具体认识任意角的三角函数,突现本课时的研究重点。
如果问题太一般化,如设计为:
上述定义可以推广到任意角的三角函数,请写出任意角的三角函数的定义。
那么学生不知道“上述定义”是指哪个,而且不明白任意角该如何取。
所以在问题设计中再次强调要借助于单位圆,利用坐标,限定学生的思维,以免太发散。
再者在一般要求“写出任意角的三角函数”之后,又提出具体的活动方式:
分小组针对不同位置的角分别写出其三角函数。
这样将问题具体化,学生容易着手解决。
写出定义的过程也是巩固推广的过程,而且这样做尽可能避免出现学生用计算器算cosπ的现象。
)
活动形式:
由学生分组独立完成之后再展示交流,形成具体而全面的认识。
学生可能会在写出任意角的三角函数的定义时出现困难,教师的帮助不要具体,而是在思维上引导——用坐标表示,并引导学生正确认识三角函数的定义域。
预计的答案:
如图4,针对其中的图
(1)
(2)(3)学生写出
,针对其中的图(4)学生写出
,针对其中的图(5)学生写出,tanα无意义。
结论:
给出三角函数的定义:
(略)。
问题4:
根据上述过程,你能写出三角函数的定义域吗?
你能用函数的定义对三角函数进行分析吗?
(设计意图:
顺势而为形成定义,并将三角函数的定义进行同化,通过这样的活动强化学生对任意角三角函数定义的理解,达到对概念的初步精致。
)
预计的困难:
学生对三角函数的自变量认识可能会存在问题。
教师的引导:
引导学生利用单位圆的几何意义解释正弦、余弦的值域。
预计的答案:
设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)。
例1求的正弦、余弦和正切值。
(设计意图:
巩固对定义的理解。
)
分析:
根据定义求解,先利用锐角三角函数知识求出点P的坐标,再根据定义求解。
解:
如图5,可知在RTΔOPC中,∠OPC=30o,所以OC=,CP=,所以点P的坐标是。
根据定义可得:
练习1 (P15练习3)完成下列表格中的前两列:
例2 已知角α的终边经过点P(-3,-4),求角α的正弦、余弦和正切值。
(设计意图:
通过问题的转化,进一步加深对定义的理解。
)
分析:
通过相似求出角α的终边与单位圆的交点坐标,之后再根据定义求解。
解:
如图6,由已知可得:
|OP0|=。
设角α的终边与单位圆交于点P(x,y),分别过点P和P0作x轴的垂线MP,M0P0,则
又|OP|=1,
根据∽Δ,可得
,即,
所以,。
所以
。
(说明:
上述书写过程基本与例1统一,这样可以将该题目的求解思路同化,降低学习难度。
)
问题5 通过本课时的学习你有哪些收获,请从知识、思想方法经验等方面进行小结。
此外你还有哪些需要质疑之处。
(设计意图:
引导学生小结,并进一步思考。
通过质疑引导学生全面认识三角函数,虽然在课堂上不研究其他3个三角函数,但是可以让学生有一个全面的认识,培养思维的严谨性。
通过三角函数定义的一般化,引导学生用辩证的观点认识事物,理解三角函数。
)
小结:
知识:
(略);
思想方法:
(略);
经验:
用函数的观点认识三角函数,用单位圆的几何特征研究三角函数。
拓展1:
3个数可以形成6个比值,为什么只对其中的三个比值进行定义和研究,其他3个比值又能对应什么函数呢?
有兴趣的同学可以自己查阅资料进行研究。
拓展2:
通过求解例2,你能发现还可以怎么定义任意角的三角函数呢?
请阅读教材的旁白。
这是三角函数定义的等价定义。
六、目标检测设计
1.P15练习1,2,3;
(设计意图:
初步应用定义和等价定义。
)
2.习题1.2A组2。
(设计意图:
培养学生类比、对比解决问题能力。
)
3.完成教材P13的探究,之后完成P15练习4,6,把结果填在书上。
(设计意图:
将作业作为课堂教学的延伸,培养学生自主学习的能力和习惯。
)
七.设计思路
1.突出单位圆的作用。
具体表现在三个方面:
第一是将锐角三角函数坐标化,引入单位圆;第二是利用单位圆写出任意角的三角函数;第三是利用单位圆写出定义域及正弦、余弦的值域;第四是在例2的解决过程中建立单位圆与一般定义的关系。
2.用函数同化三角函数。
给出任意角的三角函数的定义之后,用函数的定义对三角函数进行分析,将之纳入到已有的认知结构中,并使得原有认知结构发生顺应变化。
3.力求在数学的自然、必要和学生的认知之间寻找平衡点。
根据听课时出现的问题,在本教学设计中采取了下列处理方式。
(1)先坐标化再引入单位圆,降低认知台阶。
从锐角三角函数到任意角三角函数这一段的处理基本尊重教材,这是因为在听课过程中发现如果将“坐标化”与“单位圆”两个问题同时抛给学生,虽然能体现出做这两个工作的必要性,但是跨度较大,学生感到困难,解决问题的过程费时费力,不但不能使学生感受到学习的必要性,反而制约了学生的思维。
(2)将问题分解、具体化,通过具体认识一般。
在形成任意角的三角函数的定义时将问题解剖,并采取分组合作的组织方式,旨在将抽象的问题具体化,降低难度。
让学生根据角的不同位置写出定义,特别是对于象限角也进行了相同的处理办法,这是因为学生的思维从具体问题开始,而且要形成“初始效应”,在新概念学习伊始就使得它植根于学生的已有认知结构中,并形成强烈的意识——用新定义解决问题,而不再用计算器或其他办法。
(3)解题思路求同,强化定义的作用。
例1、例2两个题目的解决思路都是相同的:
先求出角的终边与单位圆交点的坐标,之后再根据定义求解。
差别在于求角的终边与单位圆交点的坐标的具体方法不同,这些求法都是学生已经具备的技能。
据此建议教材中将例2的解题过程修改,将利用相似求线段长的计算前置,分步完成即降低了难度,又统一了思路,突出了定义的作用。
(4)将作业作为课堂教学的有效延伸,给学生思考的空间。
作业中的第3项的设计,其意是使得学生的作业不但有模仿的,更有需要独立思考的,培养学生的能力
2019-2020年高中数学《任意角的三角函数》教案1新人教A版必修4
一、教学目标:
1、知识与技能
(1)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号);
(2)理解任意角的三角函数不同的定义方法;(3)了解如何利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来;(4)掌握并能初步运用公式一;(5)树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.
2、过程与方法
初中学过:
锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题,总结方法,巩固练习.
3、情态与价值
任意角的三角函数可以有不同的定义方法,而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值”来定义,这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广,有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数,但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响,“从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突,而且“比值”需要通过运算才能得到,这与函数值是一个确定的实数也有不同,这些都会影响学生对三角函数概念的理解.
本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系,也表明了这两个函数之间的关系.
二、教学重、难点
重点:
任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号);终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一).
难点:
任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号);三角函数线的正确理解.
三、学法与教学用具
任意角的三角函数可以有不同的定义方法,本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系,也表明了这两个函数之间的关系.
另外,这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接,数形结合更加紧密,这就为后续内容的学习带来方便,也使三角函数更加好用了.
教学用具:
投影机、三角板、圆规、计算器
四、教学设想
第一课时任意角的三角函数
(一)
y
P(a,b)
r
OM
【创设情境】
提问:
锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示?
借助右图直角三角形,复习回顾.
引入:
锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数。
数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?
如图,设锐角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,那
么它的终边在第一象限.在的终边上任取一点,它与原点的距离.过作轴的垂线,垂足为,则线段的长度为,线段的长度为.则;
;.
思考:
对于确定的角,这三个比值是否会随点在的终边上的位置的改变而改变呢?
显然,我们可以将点取在使线段的长的特殊位置上,这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数:
;;.
思考:
上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后,我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改,以利推广到任意角呢?
本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.
【探究新知】
1.探究:
结合上述锐角的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?
显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:
在直角坐标系中,我们称以原点为圆心,以单位长度为半径的圆.
2.思考:
如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?
如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:
(1)叫做的正弦(sine),记做,即;
(2)叫做的余弦(cossine),记做,即;
(3)叫做的正切(tangent),记做,即.
注意:
当α是锐角时,此定义与初中定义相同(指出对边,邻边,斜边所在);当α不是锐角时,也能够找出三角函数,因为,既然有角,就必然有终边,终边就必然与单位圆有交点,从而就必然能够最终算出三角函数值.
3.思考:
如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?
前面我们已经知道,三角函数的值与点在终边上的位置无关,仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离,那么,,
.所以,三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.
4.例题讲评
例1.求的正弦、余弦和正切值.
例2.已知角的终边过点,求角的正弦、余弦和正切值.
教材给出这两个例题,主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝试其他方法:
如例2:
设则.
于是,,.
5.巩固练习第1,2,3题
6.探究:
请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表;再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中:
三角函数
定义域
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
角度制
弧度制
7.例题讲评
例3.求证:
当且仅当不等式组成立时,角为第三象限角.
8.思考:
根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系?
显然:
终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:
(其中)
9.例题讲评
例4.确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证:
(1);
(2);(3);(4)
例5.求下列三角函数值:
(1);
(2);(3)
利用公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为求到(或到)角的三角函数值.另外可以直接利用计算器求三角函数值,但要注意角度制的问题.
10.巩固练习第4,5,6,7题
11.学习小结
(1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同?
(2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗?
(3)请写出各三角函数的定义域;
(4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?
你在解题时会准确熟练应用公式一吗?
五、评价设计
1.作业:
习题1.2A组第1,2题.
2.比较角概念推广以后,三角函数定义的变化.思考公式一的本质是什么?
要做到熟练应用.另外,关于三角函数值在各象限的符号要熟练掌握,知道推导方法.
第二课时任意角的三角函数
(二)
【复习回顾】
1、三角函数的定义;
2、三角函数在各象限角的符号;
3、三角函数在轴上角的值;
4、诱导公式
(一):
终边相同的角的同一三角函数的值相等;
5、三角函数的定义域.
要求:
记忆.并指出,三角函数没有定义的地方一定是在轴上角,所以,凡是碰到轴上角时,要结合定义进行分析;并要求在理解的基础上记忆.
【探究新知】
1.引入:
角是一个图形概念,也是一个数量概念(弧度数).作为角的函数——三角函数是一个数量概念(比值),但它是否也是一个图形概念呢?
换句话说,能否用几何方式来表示三角函数呢?
2.[边描述边画]以坐标原点为圆心,以单位长度1为半径画一个圆,这个圆就叫做单位圆(注意:
这个单位长度不一定就是1厘米或1米).当角为第一象限角时,则其终边与单位圆必有一个交点,过点作轴交轴于点,则请你观察:
根据三角函数的定义:
;
随着在第一象限内转动,、是否也跟着变化?
3.思考:
(1)为了去掉上述等式中的绝对值符号,能否给线段、规定一个适当的方向,使它们的取值与点的坐标一致?
(2)你能借助单位圆,找到一条如、一样的线段来表示角的正切值吗?
我们知道,指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角的终边不在坐标轴时,以为始点、为终点,规定:
当线段与轴同向时,的方向为正向,且有正值;当线段与轴反向时,的方向为负向,且有正值;其中为点的横坐标.这样,无论那种情况都有
同理,当角的终边不在轴上时,以为始点、为终点,规定:
当线段与轴同向时,的方向为正向,且有正值;当线段与轴反向
时,的方向为负向,且有正值;其中为点的横坐标.这样,无论那种情况都有
4.像这种被看作带有方向的线段,叫做有向线段(directlinesegment).
5.如何用有向线段来表示角的正切呢?
如上图,过点作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与的终边交于点,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段,我们有
我们把这三条与单位圆有关的有向线段,分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线.
6.探究:
(1)当角的终边在第二、第三、第四象限时,你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗?
(2)当的终边与轴或轴重合时,又是怎样的情形呢?
7.例题讲解
例1.已知,试比较的大小.
处理:
师生共同分析解答,目的体会三角函数线的用处和实质.
8.练习第1,2,3,4题
9学习小结
(1)了解有向线段的概念.
(2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段,将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.
(3)体会三角函数线的简单应用.
【评价设计】
1.作业:
比较下列各三角函数值的大小(不能使用计算器)
(1)、
(2)、(3)、
2.练习三角函数线的作图.
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