高二数学试题精选高二数学解析几何解答题有答案.docx
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高二数学试题精选高二数学解析几何解答题有答案
高二数学解析几何解答题(有答案)
5
解析几何解答题
1、椭圆G的两个焦点为F1、F2,短轴两端点B1、B2,已知
F1、F2、B1、B2四点共圆,且点N(0,3)到椭圆上的点最远距离为
(1)求此时椭圆G的方程;
(2)设斜率为(≠0)的直线与椭圆G相交于不同的两点E、F,Q为EF的中点,问E、F两点能否关于过点P(0,)、Q的直线对称?
若能,求出的取值范围;若不能,请说明理由.
解
(1)根据椭圆的几何性质,线段F1F2与线段B1B2互相垂直平分,故椭圆中心即为该四点外接圆的圆心…………………1分
故该椭圆中即椭圆方程可为………3分
设H(x,)为椭圆上一点,则
……………4分
若,则有最大值…………………5分
由(舍去)(或b2+3b+927,故无解)……………6分
若…………………7分
由∴所求椭圆方程为…………………8分
(1)设,则由两式相减得
……③又直线PQ⊥直线∴直线PQ方程为
将点Q()代入上式得,……④…………………11分
由③④得Q()…………………12分
而Q点必在椭圆内部,
由此得,故当
时,E、F两点关于点P、Q的直线对称14分
2、已知双曲线的左、右顶点分别为,动直线与圆相切,且与双曲线左、右两支的交点分别为
(Ⅰ)求的取值范围,并求的最小值;
(Ⅱ)记直线的斜率为,直线的斜率为,那么,是定值吗?
证明你的结论
解(Ⅰ)与圆相切,……①
由,得,
故的取值范围为
由于,当时,取最小值6分
(Ⅱ)由已知可得的坐标分别为,
,
,
由①,得,为定值12分
3、已知抛物线的焦点为F,点为直线与抛物线准线的交点,直线与抛物线相交于、两点,点A关于轴的对称点为D.
(1)求抛物线的方程。
(2)证明点在直线上;
(3)设,求的面积。
.
解
(1)
设,,,的方程为.
(2)将代人并整理得,
从而
直线的方程为,
即令
所以点在直线上
(3)由①知,
因为,
故,解得
所以的方程为
又由①知故
4、已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,离心率为,点(2,3)、在该椭圆上,线段的中点在直线上,且三点不共线.
(I)求椭圆的方程及直线的斜率;
(Ⅱ)求面积的最大值.
解(I)设椭圆的方程为,
则,得,
所以椭圆的方程为…………………3分
设直线AB的方程为(依题意可知直线的斜率存在),
设,则由,得
由,得,
,设
易知,
由T与P斜率相等可得,即,
所以椭圆的方程为,直线AB的斜率为……………………6分
(II)设直线AB的方程为,即,
由
得,
,………………8分
.
点P到直线AB的距离为
于是的面积为
……………………10分
设,,其中
在区间内,,是减函数;在区间内,,是增函数所以的最大值为于是的最大值为18…………………12分
5、设椭圆的焦点分别为、,直线
交轴于点,且.
(Ⅰ)试求椭圆的方程;
(Ⅱ)过、分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于、、、四点(如图所示),若四边形的面积为,求的直线方程.
解(Ⅰ)由题意,-------1分
为的中点------------2分
即椭圆方程为------------3分
(Ⅱ)当直线与轴垂直时,,此时,
四边形的面积不符合题意故舍掉;------------4分
同理当与轴垂直时,也有四边形的面积不符合题意故舍掉;------------5分
当直线,均与轴不垂直时,设,
代入消去得------------6分
设------------7分
所以,------------8分
所以,------------9分
同理------------11分
所以四边形的面积
由,------------12分
所以直线或
或或---------13分
6、已知抛物线Px2=2p(p0).
(Ⅰ)若抛物线上点到焦点F的距离为.
(ⅰ)求抛物线的方程;
(ⅱ)设抛物线的准线与轴的交点为E,过E作抛物线的切线,求此切线方程;
(Ⅱ)设过焦点F的动直线l交抛物线于A,B两点,连接,并延长分别交抛物线的准线于c,D两点,求证以cD为直径的圆过焦点F.
解(Ⅰ)(ⅰ)由抛物线定义可知,抛物线上点到焦点F的距离与到准线距离相等,即到的距离为3;
∴,解得.
∴抛物线的方程为.4分
(ⅱ)抛物线焦点,抛物线准线与轴交点为,
显然过点的抛物线的切线斜率存在,设为,切线方程为.
由,消得,6分
,解得.7分
∴切线方程为.8分
(Ⅱ)直线的斜率显然存在,设,
设,,
由消得.且.
∴,;
∵,∴直线,
与联立可得,同理得.10分
∵焦点,
∴,,12分
∴
∴以为直径的圆过焦点.14分
7、在平面直角坐标系中,设点,以线段为直径的圆经过原点
(Ⅰ)求动点的轨迹的方程;
(Ⅱ)过点的直线与轨迹交于两点,点关于轴的对称点为,试判断直线是否恒过一定点,并证明你的结论
解(I)由题意可得,2分
所以,即4分
即,即动点的轨迹的方程为5分
(II)设直线的方程为,,则
由消整理得,6分
则,即7分
9分
直线
12分
即
所以,直线恒过定点13分
8、已知椭圆的离心率为,且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆交于两点,且以为直径的圆过椭圆的右顶点,
求面积的最大值.
解(Ⅰ)因为椭圆上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为,
所以,1分
又椭圆的离心率为,即,所以,2分
所以,4分
所以,椭圆的方程为5分
(Ⅱ)方法一不妨设的方程,则的方程为
由得,6分
设,,因为,所以,7分
同理可得,8分
所以,,10分
,12分
设,则,13分
当且仅当时取等号,所以面积的最大值为14分
方法二不妨设直线的方程
由消去得,6分
设,,
则有,①7分
因为以为直径的圆过点,所以
由,
得8分
将代入上式,
得
将①代入上式,解得或(舍)10分
所以(此时直线经过定点,与椭圆有两个交点),
所以
12分
设,
则
所以当时,取得最大值14分
9、过抛物线c上一点作倾斜角互补的两条直线,分别与抛物线交于A、B两点。
(1)求证直线AB的斜率为定值;
(2)已知两点均在抛物线上,若△的面积的最大值为6,求抛物线的方程。
解
(1)不妨设
…………………………………5分
(2)AB的直线方程为
点到AB的距离。
………………………………………7分
………9分
又由且
………………………11分
设为偶函数,故只需考虑,
所以上递增,
当时,
。
故所求抛物线的方程为……………………13分
10、已知椭圆的左焦点是长轴的一个四等分点,点A、B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且不与轴垂直的直线交椭圆于c、D两点,记直线AD、Bc的斜率分别为
(1)当点D到两焦点的距离之和为4,直线轴时,求的值;
(2)求的值。
(Ⅰ)解由题意椭圆的离心率,,所以,
故椭圆方程为,┄┄┄┄┄┄3分
则直线,,
故或,
当点在轴上方时,,
所以,
当点在轴下方时,同理可求得,
综上,为所求.┄┄┄┄┄┄6分
(Ⅱ)解因为,所以,,
椭圆方程为,,直线,
设,
由消得,,
所以┄┄┄┄┄┄8分
故①
由,及,┄┄9分
得,
将①代入上式得,┄┄10分
注意到,得,┄┄11分
所以为所求.┄┄┄┄┄┄12分
11、在平面直角坐标系x中,已知椭圆(a>b>0)的离心率为,其焦点在圆x2+2=1上.
(1)求椭圆的方程;
(2)设A,B,是椭圆上的三点(异于椭圆顶点),且存在锐角θ,使
.
(i)求证直线A与B的斜率之积为定值;
(ii)求A2+B2.
解
(1)依题意,得c=1.于是,a=,b=1.…………………2分
所以所求椭圆的方程为.………………………………4分
(2)(i)设A(x1,1),B(x2,2),则①,②.
又设(x,),因,故……7分
因在椭圆上,故.
整理得.
将①②代入上式,并注意,得.
所以,为定值.………………………………10分
(ii),故.
又,故.
所以,A2+B2==3.………………………16分
12、已知圆的圆心为,一动圆与圆内切,与圆外切。
(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹方程;
(Ⅱ)(Ⅰ)中轨迹上是否存在一点,使得为钝角?
若存在,求出点横坐标的取值范围;若不存在,说明理由.
解(Ⅰ)设动圆P的半径为r,则
两式相加得|P|+|PN|=4|N|
由椭圆定义知,点P的轨迹是以、N为焦点,焦距为,实轴长为4的椭圆
其方程为…………6分
(Ⅱ)假设存在,设(x,)则因为为钝角,所以
,,
又因为点在椭圆上,所以
联立两式得化简得,
解得,所以存在。
……13分
13、已知点是椭圆的右焦点,点、分别是轴、轴上的动点,且满足.若点满足.
(Ⅰ)求点的轨迹的方程;
(Ⅱ)设过点任作一直线与点的轨迹交于、两点,直线、与直线分别交于点、(为坐标原点),试判断是否为定值?
若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.
解(Ⅰ)椭圆右焦点的坐标为,………(1分)
.,
由,得.…………(2分)
设点的坐标为,由,有,
代入,得.………(4分)
(Ⅱ)解法一设直线的方程为,、,
则,.…………(5分)
由,得,同理得.…………(7分)
,,则.……(8分)
由,得,.………(9分)
则.……………(11分)
因此,的值是定值,且定值为.………(12分)
解法二①当时,、,则,.
由得点的坐标为,则.
由得点的坐标为,则.
.……………(6分)
②当不垂直轴时,设直线的方程为,、,同解法一,得.…(8分)
由,得,.…………(9分)
则.…………(11分)
因此,的值是定值,且定值为.…………(12分)
14、在平面直角坐标系中,已知圆B与点,P为圆B上的动点,线段PA的垂直平分线交直线PB于点R,点R的轨迹记为曲线c。
(1)求曲线c的方程;
(2)曲线c与轴正半轴交点记为Q,过原点且不与轴重合的直线与曲线c的交点记为,N,连结Q,QN,分别交直线为常数,且)于点E,F,设E,F的纵坐标分别为,求的值(用表示)。
解
(1)连接,由题意得,,,
所以,…………………………………………………2分
由椭圆定义得,点的轨迹方程是……………………………4分
(2)设,则,的斜率分别为,
则,,……………………………………………6分
所以直线的方程为,直线的方程,8分
令,则,……………………10分
又因为在椭圆,所以,
所以,其中为常数…14分
5
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