第五专题矩阵的数值特征行列式范数条件数迹秩相对特征根讲解学习.docx
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第五专题矩阵的数值特征行列式范数条件数迹秩相对特征根讲解学习
第五专题矩阵的数值特征
(行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数)
一、行列式
已知Apxq,Bqxp,则|lp+AB|=|lq+BA|
证明一:
参照课本194页,例4.3.
证明二:
利用AB和BA有相同的非零特征值的性质;从而lp+AB,lq+BA中不等于1的特征值的数目相同,大小相同;其余特征值都等于1。
行列式是特征值的乘积,因此|Ip+AB|和|Iq+BA|
等于特征值(不等于1)的乘积,所以二者相等。
二、矩阵的迹
矩阵的迹相对其它数值特征简单些,然而,它在许多领域,如数值计算,逼近论,以及统计估计等都有相当多的应用,许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。
下面讨论有关迹的一些性质和不等式。
nn
定义:
tr(A)aiii,etrA=exp(trA)
i1i1
性质:
1.tr(AB)tr(A)tr(B),线性性质;
2.tr(AT)tr(A);
3.tr(AB)tr(BA);
1
4.tr(P1AP)tr(A);
5.tr(xHAx)tr(AxxH),x为向量;nn
6.tr(A)i,tr(Ak)ik;
i1i1
从Schur定理(或Jordan标准形)和(4)证明;
7.A0,则tr(A)0,且等号成立的充要条件是A=0;
8.AB(即AB0),则tr(A)tr(B),且等号成
立的充要条件是A=B(ABi(A)i(B));
9.对于n阶方阵A,若存在正整数k,使得Ak=0,则tr(A)=0(从Schur定理或Jordan标准形证明)。
若干基本不等式
对于两个mxn复矩阵A和B,tr(AHB)是mxn
维酉空间上的内积,也就是将它们按列依次排成的两个mn维列向量的内积,利用Cauchy-schwarz不等式
2
[x,y]w[x,x].[y,y]
得
定理:
对任意两个mxn复矩阵A和B
|tr(AHB)|2wtr(冲A)•tr(BHB)
这里等号成立的充要条件是A=cB,c为一常数。
特别当A和B为实对称阵或Hermit矩阵时
0弓tr(AB)|览r(A2)Jtr(B2)
定理:
设A和B为两个n阶Hermite阵,且A>0?
B>0贝U
0
2i(B)表示B的最大特征值。
证明:
tr(AB)=tr(A1/2BA1/2)>Q又因为
A1/2[MB)I-B]A1/2>Q所以^B)tr(A)承1/2BA1/2,得
tr(AB)=tr(A1/2BA1/2)<(MB)A)
=MB)tr(A) 推论: 设A为Hermite矩阵,且A>0,贝Utr(A)tr(A-1)初 另外,关于矩阵的迹的不等式还有很多,请参考《矩阵论中不等式》。 三、矩阵的秩 矩阵的秩的概念是由Sylvester于1861年引进的它是矩阵的最重要的数字特征之一。 下面讨论有关矩阵秩的一些性质和不等式。 定义: 矩阵A的秩定义为它的行(或列)向量的最大无关组所包含的向量的个数。 记为rank(A)性质: 1.rank(AB)min(rank(A),rank(B)); 2.rank(AB)rank(A,B)rank(A)rank(B); 3.rank(AAH)rank(AH)rank(A); 4.rank(A)rank(XA)rank(AY)rank(XAY),其中X列满秩,Y行满秩(消去法则)。 定理(Sylvester): 设A禾口B分别为rn^n禾口nXl矩阵,则 rank(A)rank(B)nrank(AB)min(rank(A),rank(B)) Sylveste定理是关于两个矩阵乘积的秩的不等式。 其等号成立的充要条件请参考王松桂编写的《矩阵论中不等式》,三个矩阵乘积的秩的不等式也一并参考上述文献。 四、相对特征根 定义: 设A和B均为P阶实对称阵,B>0,方程|A-入B=0的根称为A相对于B的特征根。 性质: |A-入B=0等价于|B-1/2AB-1/2-川=0 (因为B>0,所以B1/2>0) 注: 求A相对于B的特征根问题转化为求B-1/2AB-1/2的特征根问题或AB-1的特征根。 因B-1/2ab-1/2是实对称阵,所以特征根为实数。 定义: 使(A-入B)li=O的非零向量li称为对应于入的A相对于B的特征向量。 性质: 1设l是相对于入的AB-1的特征向量,则 AB-1l=刀或A(B-1I)=B(B-1l) B-1I为对应入的A相对于B的特征向量 (转化为求AB-1的特征向量问题)。 2设I是相对于入的b-1/2ab-1/2的特征向量,则 b-1/2ab-1/2i=刀 可得 A(B-1/2I)=B(B-1/2I) 则B-1/2|为对应入的A相对于B的特征向量 (转化为求b-1/2ab-1/2对称阵的特征向量问题)。 五、向量范数与矩阵范数 向量与矩阵的范数是描述向量和矩阵“大小”的 —种度量。 先讨论向量范数。 1.向量范数定义: 设V为数域F上的线性空间,若对于V的任一向量x,对应一个实值函数HI,并满 足以下三个条件: (1)非负性 (2)齐次性||x| (3)三角不等式||x 0,等号当且仅当x=0时成立; k,xV; y||,x,yv IxibyI 则称x为V中向量x的范数,简称为向量范数。 定义了范数的线性空间定义称为 例1.xcn,它可表示成 12 22就是一种范数, 赋范线性空间。 T x12Ln,iC, n 2 i1 证明: (i)非负性 当且仅当i0i 1,2丄,n (ii)齐次性 (iii)三角不等式 L 称为欧氏范数或2-范数。 12 0 时,即 x=0时, 2 2Reii x|〔2M22M;||y||;2恻2側2 212 llxy 2.常用的向量范数(设向量为x12L n 1-范数: 同 2-范数: i1 椭圆范数(2-范数的推广): H12 xAxAx,A为Hermite正定阵. 加权范数: n Wi 12 证明: (iii)y xvll 当AWdiagw1w2Lwn lip显然满足非负性和齐次性 T 12Ln 1p P' wi ,IIvll pn p i1 n n p i1 np i1 p1 1p xvll 应用H? lder不等式 p1p p1p 1q 1q p'p 1p p'p i1 即妝y||p ylp 3.向量范数的等价性 定理设||||、||||为Cn的两种向量范数,则必定存 在正数m、M,使得m恻恻m恻,(m、M与x无关),称此为向量范数的等价性。 同时有丄xll) M11 注: <詡 (1)对某一向量 X而言,如果它的某一种范数 小(或大),那么它的其它范数也小(或大)。 (2)不同的向量范数可能大小不同,但在考虑向 量序列的收敛性问题时,却表现出明显的一致性。 4、矩阵范数 向量范数的概念推广到矩阵情况。 因为一个mX n阶矩阵可以看成一个mn维向量,所以Cmn中任何一种向量范数都可以认为是mXn阶矩阵的矩阵范数。 1.矩阵范数定义: 设Cmn表示数域C上全体mn阶矩阵的集合。 若对于cmn中任一矩阵A,均对应一个实值函数||a||,并满足以下四个条件: (1)非负性: a||0,等号当且仅当A=0时成立; (2)齐次性: IIA||||HI,C; (3)三角不等式: IIab||||a||||b||,a,bcmn,则称|a||为广义矩阵范数; (4)相容性: ||ab||||a||||b||,则称A为矩阵范数。 5.常用的矩阵范数 (1)Frobenius范数(F-范数) F-范数: 矩阵和向量之间常以乘积的形式出现,因而需要考虑矩阵范数与向量范数的协调性。 定义: 如果矩阵范数||AI和向量范数IIX满足 |Ax||||A|11x11 则称这两种范数是相容的。 给一种向量范数后,我们总可以找到一个矩阵范数与之相容。 (2)诱导范数 设A€Cmxn,x€Cn,H为x的某种向量范数, 记 AmaxAx N111 则||a||是矩阵a的且与x相容的矩阵范数,也称之为 A的诱导范数或算子范数。 IIAx||p p (3)p-范数: All Amax "px x为所有可能的向量,x1pAh lllxllp,l|Ax|| pmaxllAx|| n 1i1 可以证明下列矩阵范数都是诱导范数: n max 1jn Ji1 ailm? axiiAxii1, aij 1,l|Ax|| 列(和)范数; maxJi(AHA)谱范数; AHA的最大特征值称为AHA的谱半径。 当A是Hermite矩阵时, 半径。 注: 谱范数有许多良好的性质,因而经常用到。 ⑵IIa All 2max")是a的谱 ah (3)||A|| WL; 2 n max 1im..j1 aij aha 行(和) 范数 max 1in 212) 定理矩阵A的任意一种范数||a||是A的元素的连 续函数;矩阵A的任意两种范数是等价的。 定理设A€CnXn,x€Cn,则||A||f和||x||2是相容的即 ax||2||a||fM2 证明: 由于||ax||2||a||2||x||2||a||f||x||2成立。 定理设a€cnXn,则||a||f是酉不变的,即对于任意酉矩阵U,V€cnXn,有 UALIIuav||f 证明: ||UAV||FJtr[(UAV)H(UAV)] Jtr[VhAhUhUAV]Jtr[VHAHAV] Jtr[AHAVVh]Jtr(Aha)||a||f 定义设A€Cn> 定理PA)不大于A的任何一种诱导范数,即 PA) 证明: 设入是A的任意特征值,x是相应的特征向量,即 Ax=瓜 则 丨「IIx||=||AX||W||A||•IIx||半0 即 ||A|| 试证: 设A是n阶方阵,||A||是诱导范数,当||A||<1时,I-A可逆,且有 ||(I-A)-1||w-【H|)-1 证明: 若I-A不可逆,则齐次线性方程组 (I-A)x=0 有非零解X,即x=Ax,因而有 ||x||=||Ax|||<||1A<||x|| 但这是不可能的,故I-A可逆。 于是(I-A)-1=[(I-A)+A](I-A)-1=I+A(I-A)-1因此||(I-A)-1||<||I+||A(I-A)-1||=1+||A(I-A)-1|| W+||A||■||(I-A)-1|| 即证 ||(I-A)-1||MA||)-1 补充证明||I||=1: 由相容性可知: l|A||•||A-1||》||AA-1||=||l|| x|| lx I x||I 1 对于诱导范数 (A|肾x〔|Ax||) HImiaxlll^1 六、条件数 条件数对研究方程的性态起着重要的作用。 定义: 设矩阵A是可逆方阵,称||A||•||A-1||为矩阵A的条件数,记为cond(A),即 cond(A)=||A||■||A-1|| 性质: (1)cond(A)乞并且A的条件数与所取的诱导范数的类型有关。 因cond(A)=||A||-||A-1||>||A-1A=||I||=1 (2)cond(kA)=cond(A)=cond(A-1),这里k为任意非零常数。 当选用不用的范数时,就得到不同的条件数,如: cond1(A)=||A||1-||A-1||1 cond®(A)=||A||a-||A-1|卜 cond2(A)=||A||2-||A-1||2=J」,其中1,n分别 为aha的特征值的模的最大值和最小值。 谱条件数 特别地,如果A为可逆的Hermite矩阵,则有 i cond2(A)=— n 这里1,n分别为A的特征值的模的最大值和最小值 如果A为酉阵,则cond2(A)=1例求矩阵A的条件数condi(A),cond-(A) 152 A210 382 解: ||A||i=max{6;14;4}=14; ||A|卜=max{8;3;13}=14; 262 11A1-484 4 132311 故 ||A-1||1=17/4; ||A-1|卜=47/4; cond1(A)=||A||1.||A-1||1=14X17/4=259/2; cond®(A)=||A||g•||A-1|卜=611/4。 例设线性方程组Ax=b的系数矩阵A可逆。 讨 论当b有误差Sb寸,解的相对误差放的大小。 解: 因矩阵A可逆,所以Ax=b有唯一解x=A-1b,设解的误差为衣,由 A(x+(X)=b+8b 得 A8x=8b或8x=A-18b 得 Ix||||a1bI|a1IIb|| (1) 又Ax=b,可得 丄因 blAIx||,或||x||b|| (2) 所以由 (1)和 (2),得 IMuhIAqWd(A)ILbll 何町A||耐cond(A)M IIx|| 这说明相误差■―的大小与条件数cond(A)密切相 关;当右端b的相对误差 cond(A)越大, ZV 解的相对误差就可能越大;cond(A)越小,解的相对误差就可能越小。 因而条件数cond(A)可以反映A的特性。 一般来说: 条件数反映了误差放大的程度,条件 数越大,矩阵越病态。 条件数在最小二乘估计的稳定性研究中有重要应用 鉴于矩阵A的条件数范数cond(A)有多种,但最常用的条件数是由谱范数||A|b导出的,称为谱条件数。 在本章中,若无特别声明,讨论的条件数都是谱条件数。 1ahA 谱条件数: condA AHA max Aha min min 若A是mxn阶矩阵,且rank(A)=tw,贝UA的 条件数定义为 AcondA minA 即最大奇异值与最小非零奇异值的商。 (3)其它性质 对任意酉矩阵Q,cond(QAQH)=cond(A-1); H2 condAAcondAcond(A)。 (因 condAA max AA min aah cond2A) 如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
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