专题讲座 集合.docx

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专题讲座集合

　集合、常用逻辑用语、不等式与推理证明

1．集合

（1）集合的运算性质

①A∪B＝A⇔B⊆A；②A∩B＝B⇔B⊆A；③A⊆B⇔?

6?

7UA⊇?

6?

7UB.

（2）子集、真子集个数计算公式

对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1,2n－1,2n－2.

（3）集合运算中的常用方法

若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．

2．四种命题及其相互关系

（1）

（2）互为逆否命题的两命题同真同假．

3．含有逻辑联结词的命题的真假

（1）命题p∨q：

若p，q中至少有一个为真，则命题为真命题，简记为：

一真则真．

（2）命题p∧q：

若p，q中至少有一个为假，则命题为假命题，p，q同为真时，命题才为真命题，简记为：

一假则假，同真则真．

（3）命题綈p：

与命题p真假相反．

4．全称命题、特称（存在性）命题及其否定

（1）全称命题p：

∀x∈M，p（x），其否定为特称（存在性）命题綈p：

∃x0∈M，綈p（x0）．

（2）特称（存在性）命题p：

∃x0∈M，p（x0），其否定为全称命题綈p：

∀x∈M，綈p（x）．

5．充分条件与必要条件的三种判定方法

（1）定义法：

正、反方向推理，若p⇒q，则p是q的充分条件（或q是p的必要条件）；若p⇒q，且q?

6?

7p，则p是q的充分不必要条件（或q是p的必要不充分条件）．

（2）集合法：

利用集合间的包含关系．例如，若A⊆B，则A是B的充分条件（B是A的必要条件）；若AB，则A是B的充分不必要条件（B是A的必要不充分条件）；若A＝B，则A是B的充要条件．

（3）等价法：

将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．

6．一元二次不等式的解法

解一元二次不等式的步骤：

一化（将二次项系数化为正数）；二判（判断Δ的符号）；三解（解对应的一元二次方程）；四写（大于取两边，小于取中间）．

解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：

①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小．

7．一元二次不等式的恒成立问题

（1）ax2＋bx＋c>0（a≠0）恒成立的条件是a>0，Δ<0.）

（2）ax2＋bx＋c<0（a≠0）恒成立的条件是a<0，Δ<0.）

8．分式不等式

f?

8?

7x?

8?

8g?

8?

7x?

8?

8>0（<0）⇔f（x）g（x）>0（<0）；

f?

8?

7x?

8?

8g?

8?

7x?

8?

8≥0（≤0）⇔f?

8?

7x?

8?

8g?

8?

7x?

8?

8≥0?

8?

7≤0?

8?

8，g?

8?

7x?

8?

8≠0.）

9．基本不等式

（1）a＋b2≥ab（a，b∈（0，＋∞）），当且仅当a＝b时取等号．

（2）在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，满足基本不等式中“正”、“定”、“等”的条件．

10．线性规划

（1）可行域的确定，“线定界，点定域”．

（2）线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得．

（3）线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，这时满足条件的最优解有无数多个．

11．推理

推理分为合情推理与演绎推理，合情推理包括归纳推理和类比推理；演绎推理的一般模式是三段论．

合情推理的思维过程

（1）归纳推理的思维过程

实验、观察―→概括、推广→猜测一般性结论

（2）类比推理的思维过程

实验、观察―→联想、类推→猜测新的结论

12．证明方法

（1）分析法的特点：

从未知看需知，逐步靠拢已知．

推理模式

框图表示

Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件

（2）综合法的特点：

从已知看可知，逐步推出未知．

推理模式

框图表示：

P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q

（其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证明的结论）．

（3）反证法

一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．

1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如{x|y＝lg x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{（x，y）|y＝lg x}——函数图象上的点集．

2．易混淆0，∅，{0}：

0是一个实数；∅是一个集合，它含有0个元素；{0}是以0为元素的单元素集合，但是0∉∅，而∅⊆{0}．

3．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．

4．空集是任何集合的子集．由条件A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B求解集合A时，务必分析研究A＝∅的情况．

5．区分命题的否定与否命题，已知命题为“若p，则q”，则该命题的否定为“若p，则綈q”，其否命题为“若綈p，则綈q”．

6．在对全称命题和特称（存在性）命题进行否定时，不要忽视对量词的改变．

7．对于充分、必要条件问题，首先要弄清谁是条件，谁是结论．

8．判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算．

9．不等式两端同时乘一个数或同时除以一个数时，如果不讨论这个数的正负，容易出错．

10．解形如ax2＋bx＋c>0（a≠0）的一元二次不等式时，易忽视系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a>0，a<0进行讨论．

11．求解分式不等式时应正确进行同解变形，不能把f?

8?

7x?

8?

8g?

8?

7x?

8?

8≤0直接转化为f（x）·g（x）≤0，而忽视g（x）≠0.

12．容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f（x）＝x2＋2＋1\r（x2＋2）的最值，就不能利用基本不等式求最值；求解函数y＝x＋3x（x<0）时应先转化为正数再求解．

13．解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y的系数的正负；注意最优整数解．

14．求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如y－2x＋2是指已知区域内的点（x，y）与点（－2，2）连线的斜率，而（x－1）2＋（y－1）2是指已知区域内的点（x，y）到点（1,1）的距离的平方等．

15．类比推理易盲目机械类比，不要被表面的假象（某一点表面相似）迷惑，应从本质上类比．

1．已知集合M＝{x|log2x<3}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N}，则M∩N等于（　　）

A．（0,8）         B．{3,5,7}

C．{0,1,3,5,7}         D．{1,3,5,7}

答案　D

解析　∵M＝{x|0

∴M∩N＝{1,3,5,7}，故选D.

2．以下是解决数学问题的思维过程的流程图：

在此流程图中，①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是（　　）

A．①—综合法，②—分析法

B．①—分析法，②—综合法

C．①—综合法，②—反证法

D．①—分析法，②—反证法

答案　A

解析　由已知到可知，进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，故①②两条流程线代表“推理与证明”中的思维方法是①—综合法，②—分析法．

3．用反证法证明命题：

三角形的内角中至少有一个是钝角．假设正确的是（　　）

A．假设至少有一个是钝角

B．假设至少有两个是钝角

C．假设没有一个是钝角

D．假设没有一个是钝角或至少有两个是钝角

答案　C

解析　原命题的结论为至少有一个是钝角，则反证法需假设结论的反面．“至少有一个”的反面为“没有一个”，即假设没有一个是钝角．

4．已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{y|y＝2x－1，x≥0}，则A∩B等于（　　）

A．∅         B．[0,1）∩（3，＋∞）

C．A         D．B

答案　C

解析　由题意，得集合A＝{x|1

5．设f（x）＝ln x,0

A．q＝rp

C．p＝rq

答案　C

解析　∵0ab，

又∵f（x）＝ln x在（0，＋∞）上为增函数，

故f\a\vs4\al\co1（\f（a＋b2））>f（ab），即q>p.

又r＝12[f（a）＋f（b）]＝12（ln a＋ln b）＝12ln a＋12ln b＝ln（ab）＝f（ab）＝p.

故p＝r

6．设有两个命题，命题p：

关于x的不等式（x－3）·x2－4x＋3≥0的解集为{x|x≥3}；命题q：

若函数y＝kx2－kx－8的值恒小于0，则－32

A．“p且q”为真命题         B．“p或q”为真命题

C．“綈p”为真命题         D．“綈q”为假命题

答案　C

解析　不等式（x－3）·x2－4x＋3≥0的解集为{x|x≥3或x＝1}，所以命题p为假命题．若函数y＝kx2－kx－8的值恒小于0，则－32

7．已知x，y满足条件x－y＋5≥0，x＋y≥0，x≤3，则z＝y－1x＋3的最大值为（　　）

A．－23         B.13

C．2         D．3

答案　D

解析　作出可行域如图阴影部分所示．

因为z＝y－1x＋3＝y－1x－?

8?

7－3?

8?

8，经过点（－3,1）的直线斜率最大的是直线x－y＋5＝0与直线x＋y＝0的交点\a\vs4\al\co1（－\f（552）与该点的连线，故zmax＝5252＝3，故选D.

8．设命题甲：

ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R；命题乙：

0

A．充分不必要条件         B．充要条件

C．必要不充分条件         D．既不充分也不必要条件

答案　C

解析　由命题甲：

ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R可知，当a＝0时，原式＝1>0恒成立，

当a≠0时，需满足a>0，Δ＝?

8?

72a?

8?

82－4a<0，）

解得0

所以由甲不能推出乙，而由乙可推出甲，因此命题甲是命题乙成立的必要不充分条件，

故选C.

9．已知向量a＝（m,2），b＝（1，n－1），若a⊥b，则2m＋4n的最小值为（　　）

A．2         B．22

C．4         D．8

答案　C

解析　因为向量a＝（m,2），b＝（1，n－1），a⊥b，

所以m＋2（n－1）＝0，即m＋2n＝2.

所以2m＋4n≥22m·4n＝22m＋2n＝222＝4

\a\vs4\al\co1（当且仅当\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（2m＝4n，\a\vs4\al\co1（m＝1，12）））时，等号成立，

所以2m＋4n的最小值为4，故选C.

10．（2016·山东）若变量x，y满足x＋y≤2，2x－3y≤9，x≥0，则x2＋y2的最大值是（　　）

A．4         B．9

C．10         D．12

答案　C

解析　满足条件x＋y≤2，2x－3y≤9，x≥0的可行域如图阴影部分（包括边界）所示，

x2＋y2是可行域上的动点（x，y）到原点（0,0）距离的平方，显然，当x＝3，y＝－1时，x2＋y2取得最大值，最大值为10.故选C.

11．下列四个结论：

①若x>0，则x>sin x恒成立；

②命题“若x－sin x＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则x－sin x≠0”；

③“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件；

④命题“∀x∈R，x－ln x>0”的否定是“∃x0∈R，x0－ln x0<0”．

其中正确结论的个数是（　　）

A．1         B．2

C．3         D．4

答案　C

解析　对于①，令y＝x－sin x，则y′＝1－cos x≥0，则函数y＝x－sin x在R上单调递增，则当x>0时，x－sin x>0－0＝0，即当x>0时，x>sin x恒成立，故①正确；

对于②，命题“若x－sin x＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则x－sin x≠0”，故②正确；

对于③，命题p∨q为真即p，q中至少有一个为真，p∧q为真即p，q都为真，可知“p∧q为真”是“p∨q为真”的充分不必要条件，故③正确；

对于④，命题“∀x∈R，x－ln x>0”的否定是“∃x0∈R，x0－ln x0≤0”，故④错误．

综上，正确结论的个数为3，故选C.

12．小明用电脑软件进行数学解题能力测试，每答完一道题，软件都会自动计算并显示出当前的正确率（正确率＝已答对题目数÷已答题目总数），小明依次共答了10道题，设正确率依次为a1，a2，a3，…，a10.现有三种说法：

①若a1a2>a3>…>a10，则必是第一道题答对，其余题均答错；③有可能a5＝2a10，其中正确的个数是（　　）

A．0        B．1

C．2         D．3

答案　D

解析　①②显然成立，③前5个全答对，后5个全答错，符合题意，故选D.

13．已知集合M＝x\b\lc\|\rc\（\a\vs4\al\co1（\f（ax－5x2－a）<0））），若3∈M,5∉M，则实数a的取值范围是______________．

答案　1，\f（53））∪（9,25]

解析　∵集合M＝x\b\lc\|\rc\（\a\vs4\al\co1（\f（ax－5x2－a）<0））），

得（ax－5）（x2－a）<0，

当a＝0时，显然不成立，

当a>0时，原不等式可化为\a\vs4\al\co1（x－\f（5a））（x－a）（x＋a）<0，

若a<5a，只需满足\r（aaa≥1，解得1≤a<53；

若a>5a，只需满足\f（5aa）≤5，

解得9

综上，a的取值范围为1，\f（53））∪（9,25]．

14．若“∀x∈－\f（ππ4），m≤tan x＋1”为真命题，则实数m的最大值为________．

答案　0

解析　令f（x）＝tan x＋1，则函数f（x）在－\f（ππ4）上为增函数，故f（x）的最小值为f\a\vs4\al\co1（－\f（π4））＝0，

∵∀x∈－\f（ππ4），m≤tan x＋1，

故m≤（tan x＋1）min，

∴m≤0，故实数m的最大值为0.

15．在△ABC中，AD平分∠A的内角且与对边BC交于D点，则BDCD＝ABAC，将命题类比到空间：

在三棱锥A－BCD中，平面ADE平分二面角B－AD－C且与对棱BC交于E点，则可得到的正确命题的结论为_______________________________________________________．

答案　BECE＝S△ABDS△ACD

解析　在△ABC中，作DE⊥AB，DF⊥AC，则DE＝DF，所以ABAC＝S△ABDS△ACD＝BDCD，根据面积类比体积，长度类比面积可得VB－ADEVC－ADE＝S△ABDS△ACD，即BECE＝S△ABDS△ACD.

16．要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是20元/m2，侧面造价是10元/m2，则该容器的最低总造价是________元．

答案　160

解析　由题意知，体积V＝4m3，高h＝1m，

所以底面积S＝4m2，设底面矩形的一条边长是x m，则另一条边长是4x m，又设总造价是y元，则y＝20×4＋10×\a\vs4\al\co1（2x＋\f（8x））≥80＋208x）＝160，当且仅当2x＝8x，即x＝2时取得等号．