数值算法求矩阵的最大特征值的幂法.docx
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数值算法求矩阵的最大特征值的幂法
[数值算法]求矩阵的最大特征值的幂法.
对于工程计算而言,矩阵的特征值和特征向量都是相当重要和常见的数据,这里给出的幂法是一种常见的求解方法,用的是迭代的思想。
符号说明:
1A为待求的矩阵,
2Uk,Vk为迭代用的列向量。
3最后的最大特征值maxLamda由最后一次的max(Uk)-----求Uk中的绝对值最大的元素的绝对值.所决定。
而maxLamda所对应的特征向量由最后一次迭代的Vk所决定.
主要的想法就是先选一个不为0的初始向量U0!
=0,然后按下面的式子迭代。
U0=V0!
=0
Do
{
Uk=AVk-1
Vk=Uk/max(Uk)
}while(abs(max(Uk)-max(Uk-1))>=e)好了,就这样,更多的细节请去参考相关的数值算法书籍.
在贴出程序之前,先对一部分我新增加的实用函数进行说明:
如:
voidtwoDArrMemApply(Type***inArr,introwNum,intcolNum)
{
inti=0;/*iteratorvaule*/
(*inArr)=(Type**)malloc(sizeof(Type*)*rowNum);
for(i=0;i (*inArr)[i]=(Type*)malloc(sizeof(Type)*colNum); assertF(*inArr! =NULL,"intwoDArrMemApply,inArratlastisnull\n"); } voidtwoDArrMemFree(Type***inArr,introwNum) { inti=0;/*iteratorvalue*/ assertF((*inArr)! =NULL,"in2darrmemfree,inarrisnull\n"); for(i=0;i free((*inArr)[i]); free((*inArr)); } 这两个函数的作用相信大家一看就明白,是实现二维指针的申请内存和释放内存的,这样,以后再主程序里的工作量就会小多了。 还有,我在写一些程序段的时候对待外部传进的指针采用如下处理手段(纯C条件下) 除非这个函数有特殊的作用,如申请内存,或要读入外部文本内容到二维指针等。 其余的情况,一律不对外部指针进行任何申请或释放内存的处理。 对于要保护数据的外部传入指针,则在函数内部再做一个局部指针,在函数结尾释放. 对局部指针的操作,也仅限于赋值,而绝对不要用外部传入针指去指向它(即赋一个临时区的地址给外部的指针变量),这当然是错误的。 好了,下面是程序段: /*formaxlamdaresolve*/ TypepowerMethodForLamda(Type**matrixA,intsize,char*outputFileName) { TypemaxLamda; Type*listV; Type*listU; FILE*outputFile;/*theoutputFileforthedataoutput*/ TypepreMax;/*atweendata*/ floate=(float);/*theprecisecontroller*/ TypetmpData;/*tempdataforprogram*/ inti=0;/*iteratortimes*/ intiteratorNum=0;/*iteratornumber*/ /*assertion*/ assertF(matrixA! =NULL,"inpowerMethodForlamda,matrixAisnull\n"); assertF(outputFileName! =NULL,"inreadList,listFileNameisnull\n"); /*openfile*/ assertF((outputFile=fopen(outputFileName,"wb"))! =NULL,"outputfileopenerror\n"); /*memapply*/ listArrMemApply(&listV,size); listArrMemApply(&listU,size); /*initialization*/ for(i=0;i { listV[i]=0; listU[i]=0; } listV[size-1]=1; listU[size-1]=1; /*coreprogram*/ fprintf(outputFile,"iteratorTimemaxUk\r\n"); do { assertF(listNotZero(listU,size),"inthecoreofpowerMethodForLamdalistUisNULL\n"); assertF(listNotZero(listV,size),"inthecoreofpowerMethodForLamdalistVisNULL\n"); preMax=maxAbsValInList(listU,size); matirxBy2DWith1DCol(matrixA,listV,listU,size,size); tmpData=1/maxAbsValInList(listU,size); numByList(tmpData,listU,listV,size); fprintf(outputFile,"%-16d%-16f\r\n",iteratorNum,maxAbsValInList(listU,size)); } while(fabs(preMax-maxAbsValInList(listU,size))>=e); fprintf(outputFile,"charactsticvectoris: \r\n"); outputListArrFloat(listV,0,size,outputFile); /*EndoftheCoreProgram*/ maxLamda=maxAbsValInList(listU,size); fprintf(outputFile,"themaxlamdais: \r\n%f.\r\n",maxLamda); /*memfree*/ free(listV); free(listU); /*closethefile*/ fclose(outputFile); returnmaxLamda; } /*相应的辅助函数*/ /*matirxBy2DWith1DCol一个n*n的矩阵和一个n*1的列向量作乘法*/ voidmatirxBy2DWith1DCol(Type**matrixA,Type*matrixListIn,Type*matrixListAns,introwNum,intmNum) { /*variabledeclare*/ inti,k;/*iteratornumber*/ Typesum; /*assertion*/ assertF(matrixA! =NULL,"intwoMatrixBymatrixAisnull\n"); assertF(matrixListIn! =NULL,"intwoMatrixBymatrixBisnull\n"); assertF(matrixListAns! =NULL,"intwoMatrixBymatrixAnsisnull\n"); /*coreprogram*/ for(i=0;i { sum=0; for(k=0;k sum+=matrixA[i][k]*matrixListIn[k]; matrixListAns[i]=sum; } } /*求一个一维向量中绝对值的最大值*/ TypemaxAbsValInList(Type*inList,intlen) { inti;/*iteratornum*/ TypemaxData; assertF(inList! =NULL,"inmaxValInList,inListisNULL\n"); maxData=(Type)fabs(inList[0]); for(i=1;i if(fabs(inList[i])>maxData)maxData=(Type)fabs(inList[i]); returnmaxData; } /*testprogram*/ /*maxLamdaresolvetestprogram*/ #include"" #include"" #include"" #include"" #include<> #include<> #include<> #include<> char*inFileName=""; /* inputdataspecification row,col; .; ,,, ,,, an1,an2,...; } */ char*outFileName=""; #defineDEBUG1 voidmain(intargc,char*argv[]) { FILE*inputFile;/*inputfile*/ FILE*outputFile;/*outputfile*/ doublestartTime,endTime,tweenTime;/*timecallopsedinfo*/ introwNum,colNum; Type**wArr; TypemaxLamda; intn;/*arrdeminisionforsqurematrix*/ /*defaultinputfileopen*/ if(argc>1)strcpy(inFileName,argv[1]); assertF((inputFile=fopen(inFileName,"rb"))! =NULL,"inputfileerror"); printf("inputfileopensuccess\n"); /*defaultoutpoutfileopen*/ if(argc>2)strcpy(outFileName,argv[2]); assertF((outputFile=fopen(outFileName,"wb"))! =NULL,"outputfileerror"); printf("outputfileopensuccess\n"); /*Thisfunction,automaticallyfullfillthetaskof applythememforthe2dpointers.Perfect,right: )*/ read2DArrFloat(&wArr,&rowNum,&colNum,""); #ifDEBUG printf("\n*******startoftestprogram******\n"); printf("nowisrunnig,pleasewait...\n"); startTime=(double)clock()/(double)CLOCKS_PER_SEC; /******************Coreprogramcode*************/ /*arguprepare*/ assertF(colNum==rowNum,"intestcolNum! =rowNum"); n=rowNum;/*getthesizeofsquarematrix*/ maxLamda=powerMethodForLamda(wArr,n,""); printf("themaxlamdais: %f.\r\n",maxLamda); fprintf(outputFile,"themaxlamdais: %f.\r\n",maxLamda); /******************EndofCoreprogram**********/ endTime=(double)clock()/(double)CLOCKS_PER_SEC; tweenTime=endTime-startTime;/*Getthetimecollapsed*/ /*Timecollapsedoutput*/ printf("thecollapsedtimeinthisalgorithmimplementis: %f\n",tweenTime); fprintf(outputFile,"thecollapsedtimeinthisalgorithmimplementis: %f\r\n",tweenTime); printf("\n*******endoftestprogram******\n"); #endif twoDArrMemFree(&wArr,rowNum); printf("programendsuccessfully,\nyouhavetopreessanykeytocleanthebufferareatooutput,otherwise,youwiilnotgetthetotalanswer.\n"); getchar();/*ScreenDelayControl*/ return; } 测试结果: 输入: 3,3; 2,3,2; 10,3,4; 3,6,1; 输出: iteratorTimemaxUk 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 charactsticvectoris: ,; themaxlamdais: . PS: 最近在数模班里,也的确看到了别的专业一些对程序和算法在理解上比较强能力的人,虽然他们可以告诉你解决了某个问题,但你看一眼他写的程序,充斥在你眼里的,都是大量的“蛮力”算法,像10个层甚至更高层的for循环比比皆是,基本上就是针对这个问题的特型算法。 当他们把这个问题这样“解决”的时候,他们会认为事情已经OK了,而我却还不得不承认自己没想出一个比较好的通用算法。 呵呵~~~随他去呢,反正我水平本来就不高,但作为一个计算机专业的学生而言,保证算法的通用性和函数的模块性,是首要的任务,如果这个程序里要用什么10个层的循环来做,我还不如不写。 还有一些自认为数学感觉好的人,认为经典算法的源程序都在那儿了,自己只要能将它在程序中实现,就了事了.算法在他们的视线里,更多的是只算一种公式,甚至可以不必去了解它的细节.这样的观点和想法,在我这个计算机专业的人看来,同样是不可取的。 路漫漫其修远兮,吾将上下而求索.
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