中考数学二轮核心考点讲解第12讲运动路径长度问题原卷板.docx
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中考数学二轮核心考点讲解第12讲运动路径长度问题原卷板.docx
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中考数学二轮核心考点讲解第12讲运动路径长度问题原卷板
第12讲运动路径长度问题
想要对运动路径长度问题掌握得信手拈来,那么建议你对以下知识点进行提前学习会更好:
1.《隐圆模型》
2.《共顶点模型》-也可称“手拉手模型”
3.《主从联动模型》-也可称“瓜豆原理模型”
4.《旋转问题》—本系列的第二讲中所阐述的旋转相似模型
此外,还需要明白的动点类型还有:
5.线段垂直平分线——到线段两端点距离相等的动点一定在这条线段的垂直平分线上
6.角平分线——到角两边距离相等的动点一定在这个角的角平分线上
7.三角形中位线——动点到某条线的距离恒等于某平行线段的一半
8.平行线分线段成比例——动点到某条线的距离与某平行线段成比例
9.两平行线的性质——平行线间的距离,处处相等
一、路径为圆弧型
解题策略:
①作出隐圆,找到圆心
②作出半径,求出定长
解题关键:
通过《隐圆模型》中五种确定隐圆的基本条件作出隐圆,即可轻易得出结论.
二、路径为直线型
解题策略:
①利用平行定距法或者角度固定法确定动点运动路径为直线型
②确定动点的起点与终点,计算出路径长度即可
解题关键:
解题过程中常常出现中位线,平行线分线段成比例,相似证动角恒等于顶角等知识点
三、路径为往返型
解题策略:
①通常为《主从联动模型》的衍生版
②确定动点的起点与终点,感知运动过程中的变化
③找出动点运动的最远点
解题关键:
解题过程中常常出现相似转线段长、《主从联动模型》中的滑动模型等
【例题1】如图,等腰Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=
,⊙O与AB相切,分别交OA、OB于N、M,以PB为直角边作等腰Rt△BPQ,点P在弧MN上由点M运动到点N,则点Q运动的路径长为( )
A.
B.
C.
D.
【例题2】已知⊙O,AB是直径,AB=4,弦CD⊥AB且过OB的中点,P是劣弧BC上一动点,DF垂直AP于F,则P从C运动到B的过程中,F运动的路径长度( )
A.
πB.
C.
πD.2
【例题3】如图,⊙O的半径为1,弦AB=1,点P为优弧AB上一动点,AC⊥AP交直线PB于点C,则△ABC的最大面积是 .
【例题4】如图,等腰Rt△ABC中,斜边AB的长为2,O为AB的中点,P为AC边上的动点,OQ⊥OP交BC于点Q,M为PQ的中点,当点P从点A运动到点C时,点M所经过的路线长为( )
A.
B.
C. 1
D. 2
【例题5】已知:
如图1,平面直角坐标系中,点A的坐标是(0,6),点B在x轴上,且∠BAO=30°,点D是线段OA上的一点,以BD为边向下作等边△BDE.
(1)如图2,当∠ODB=45°时,求证:
OE平分∠BED.
(2)如图3,当点E落在y轴上时,求出点E的坐标.
(3)利用图1探究并说理:
点D在y轴上从点A向点O滑动的过程中,点E也会在一条直线上滑动;并直接写出点E运动路径的长度.
【例题6】如图,Rt△ABC中,BC=4,AC=8,Rt△ABC的斜边在x轴的正半轴上,点A与原点重合,随着顶点A由O点出发沿y轴的正半轴方向滑动,点B也沿着x轴向点O滑动,直到与点O重合时运动结束.在这个运动过程中,点C运动的路径长是 .
【例题7】如图1,已知抛物线y=x2+bx+c经过原点O,它的对称轴是直线x=2,动点P从抛物线的顶点A出发,在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动,设动点P运动的时间为t杪,连结OP并延长交抛物线于点B,连结OA,AB.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)当△AOB为直角三角形时,求t的值;
(3)如图2,⊙M为△AOB的外接圆,在点P的运动过程中,点M也随之运动变化,请你探究:
在1≤t≤5时,求点M经过的路径长度.
【例题8】如图,OM⊥ON,A、B分别为射线OM、ON上两个动点,且OA+OB=5,P为AB的中点.当B由点O向右移动时,点P移动的路径长为( )
A.2B.2
C.
D.5
【例题9】如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动,动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动,过点P作PD∥BC,交AB于点D,连接PQ分别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t秒(t≥0),在整个运动过程中,求出线段PQ中点M所经过的路径长.
【例题10】
(1)如图1,已知AB=2,点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点,以BD为一边向右下方作等边△BDE,当点D由点A运动到点C时,求点E运动的路径长;
(2)如图2,已知AB=2,点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点,以BD为一边向右下方作以E为直角顶点的等腰Rt△BDE,当点D由点A运动到点C时,求点E运动的路径长;
(3)如图3,已知AB=2,点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点,以BD为一边向右下方作以D为直角顶点的等腰Rt△BDE,当点D由点A运动到点C时,求点E运动的路径长;
(4)如图4,已知AB=2,点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点,以BD为一边向右下方作以D为直顶点的等腰△BDE,且∠BDE=120°,当点D由点A运动到点C时,求点E运动的路径长;
【例题11】如图,已知扇形AOB中,OA=3,∠AOB=120°,C是在
上的动点.以BC为边作正方形BCDE,当点C从点A移动至点B时,点D经过的路径长是________.
1.如图,在等腰Rt△ABC中,AC=BC=
,点P在以斜边AB为直径的半圆上,M为PC的中点,当点P沿半圆从点A运动至点B时,点M运动的路径长是 .
2.已知线段AB=8
,C、D是AB上两点,且AC=2,BD=4,P是线段CD上一动点,在AB同侧分别作等腰三角形APE和等腰三角形PBF,M为线段EF的中点,若∠AEP=∠BFP,则当点P由点C移动到点D时,点M移动的路径长度为 .
3.已知线段AB=10,P是线段AB上一动点,在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF,G为线段EF的中点,点P由点A移动到点B时,G点移动的路径长度为 .
4.如图,AB为⊙O的直径,AB=3,弧AC的度数是60°,P为弧BC上一动点,延长AP到点Q,使AP•AQ=AB2.若点P由B运动到C,则点Q运动的路径长为 .
5.如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=6,点E在边AD上,且AE:
ED=1:
2.动点P从点A出发,沿AB运动到点B停止.过点E作EF⊥PE交射线BC于点F.设点M是线段EF的中点,则在点P运动的整个过程中,点M的运动路径长为________.
6.等边三角形ABC的边长为2
,在AC,BC边上各有一个动点E,F,满足AE=CF,连接AF,BE相交于点P.
(1)∠APB的度数;
(2)当E从点A运动到点C时,试求点P经过的路径长;
(3)连结CP,直接写出CP长度的最小值.
7.如图,AB为半圆O的直径,AB=2,C,D为半圆上两个动点(D在C右侧),且满足∠COD=60°,连结AD,BC相交于点P若点C从A出发按顺时针方向运动,当点D与B重合时运动停止,则点P所经过的路径长为________.
8.如图,A(﹣3,0),B(0,3),C(﹣1,4),P,C,M按逆时针顺序排列,动点P在线段AB上,∠C=90°,∠CPM=30°,请求出当P点从A运动到B点时,点M运动的路径时什么?
并求出M点运动路径长度.
9.如图,矩形ABCD中,AB=6,BC=6
,动点P从点A出发,以每秒
个单位长度的速度沿线段AD运动,动点Q从点D出发,以每秒2个单位长度的速度沿折线段D﹣O﹣C运动,已知P、Q同时开始移动,当动点P到达D点时,P、Q同时停止运动.设运动时间为t秒.
(1)当t=1秒时,求动点P、Q之间的距离;
(2)若动点P、Q之间的距离为4个单位长度,求t的值;
(3)若线段PQ的中点为M,在整个运动过程中;直接写出点M运动路径的长度为 .
10.(2019秋•江岸区校级月考)如图,正△ABC中,AB=2,AD⊥BC于D,P,Q分别是AB,BC上的动点,且PQ=AD,点M在PQ的右上方且PM=QM,∠M=120°,当P从点A运动到点B时,M运动的路径长为 .(看成固定三角板滑动处理/或反其道而行之)
11.如图,在四边形ABCD中,∠C=60°,∠A=30°,CD=BC.
(1)求∠B+∠D的度数.
(2)连接AC,探究AD,AB,AC三者之间的数量关系,并说明理由.
(3)若BC=2,点E在四边形ABCD内部运动,且满足DE2=CE2+BE2,求点E运动路径的长度.
12.已知在扇形AOB中,圆心角∠AOB=120°,半径OA=OB=8.
(1)如图1,过点O作OE⊥OB,交弧AB于点E,再过点E作EF⊥OA于点F,则FO的长是 ,∠FEO= °;
(2)如图2,设点P为弧AB上的动点,过点P作PM⊥OA于点M,PN⊥OB于点N,点M,N分别在半径OA,OB上,连接MN,则
①求点P运动的路径长是多少?
②MN的长度是否是定值?
如果是,请求出这个定值;若不是,请说明理由;
(3)在
(2)中的条件下,若点D是△PMN的外心,直接写出点D运动的路经长.
13.如图,AB为⊙O的直径,且AB=4,点C在半圆上,OC⊥AB,垂足为点O,P为半圆上任意一点,过P点作PE⊥OC于点E,设△OPE的内心为M,连接OM、PM.
(1)求∠OMP的度数;
(2)当点P在半圆上从点B运动到点A时,求内心M所经过的路径长.
14.(2019•兴化市模拟)正方形ABCD的边长为4,P为BC边上的动点,连接AP,作PQ⊥PA交CD边于点Q.当点P从B运动到C时,线段AQ的中点M所经过的路径长( )
A.2B.1C.4D.
15.(2019•武汉模拟)如图,半径为2cm,圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P,从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H.设△OPH的内心为I,当点P在弧AB上从点A运动到点B时,内心I所经过的路径长为( )
A.
πB.
πC.
πD.π
16.如图,BC是⊙O的直径,BC=4
,M、N是半圆上不与B、C重合的两点,且∠MON=120°,△ABC的内心为E点,当点A在
上从点M运动到点N时,点E运动的路径长是( )
A.
B.
C.
D.
17.(2020•河北模拟)如图,在正方形ABCD中,AB=1,P是边BC上的一个动点,由点B开始运动,运动到C停止.连接AP,以AP为直角边向右侧作等腰直角三角形,另一个顶点为Q.则点P从B运动到C的过程中,点Q的运动路径长为( )
A.πB.
C.
D.1
18.无论a取什么实数,点P(a﹣1,2a﹣3)都在直线l上.Q(m,n)是直线l上的点,则
(2m﹣n+3)2的值等于 .
19.如图,已知点C是以AB为直径的半圆的中点,D为弧AC上任意一点,过点C作CE⊥BD于点E,连接AE,若AB=4,则AE的最小值为 .
20.如图,正方形OABC的边长为2,以O为圆心,EF为直径的半圆经过点A,连接AE,CF相交
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