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戈德尔不完备定理
戈德尔不完备定理
戈德尔(KurtGödel)于1931年发表了他的「不完备定理」(IncompletenessTheorem),至今正好六十年。
为此,在戈德尔的求学地维也纳,特别召开了一个会议,讨论戈德尔这个定理所带来的影响。
的确,这六十年来,常在不同的领域内,发现到这个定理的影响,而这个定理在不同领域中的应用,甚至引起了相当的争议。
哈佛大学于1952年授与戈德尔荣誉科学博士学位,称他为「本世纪最重要数学真理的发现者」 ,这里所指的数学真理即为「不完备定理」。
虽然当时是1952年,但已宣称此定理是本世纪最重要的数学真理,可见此定理的重要性,不仅可说是空前,亦可称为绝后了。
「不完备定理」到底是一个什么样的定理?
本文将简介此定理的背景、证明及它对数学、计算机和哲学的影响,盼望大家对这个定理能有较深入的认识与体会。
背景
自第十九世纪后期,「集合」的观念被提出后,数学家们逐渐的感到,各个不同的数学领域,似乎皆可建立在同一个根基上,就是「集合论」,但是不幸的,过不久逻辑学家们即发现以「集合」这么简单,而且直觉上认为「真」的概念,却会产生「反论」(antinomy),即「集合」的概念会产生矛盾,这使得数学家们重新思考数学的基础到底是什么?
数学会不会出错?
如何面对一个直觉上为真,却会导致矛盾的概念?
是放弃「集合」的概念呢?
或是如当时顶尖的数学家希伯特(Hilbert)所宣称的:
「没有人能将我们逐出集合论的乐园!
」。
若是如此,又将如何面对矛盾呢?
以总共不到17页的三篇论文,一个年轻的荷兰数学家布饶儿(Brouwer)对以往古典逻辑的确实性提出挑战,特别是对所谓的排中律(Lawoftheexcludedmiddle),即对任一命题「A」,A或A之否定命题必有一为真,他认为我们不可无条件的接受,布饶儿坚持有其他的可能性,因此也就有了数学哲学中的直观主义(Intuitionism)学派,若接受了此一说法,连带的,数学中许多的证明将不再被接受,特别是所谓存在性的证明。
例如,要证明某一微分方程式有解,则必须给出一个方法,把这个解找出来,而不可仅证明「若无解会导致矛盾」,而这却是一般数学家们所常用的方法。
希伯特不赞成布饶儿的看法,他认为若是如此数学的牺牲实在太大了,那么要如何使数学能立在一个坚固的基础上呢?
为此他提出所谓的「希伯特计划」(Hilbertprogram),即以有限性(finitary)、组合式(combinatorial)的方法,由简单的理论开始,先证明「数论」有一致性(consistency),即「数论」中不包含矛盾,再以「数论」为基础证明「分析」有一致性,再一步步往前推,至终证明数学中不包含矛盾,只要能证明即使使用排中律也不会产生矛盾,那么尽可放心大胆的去使用排中律,不必像布饶儿那样束手束脚。
「希伯特计划」是一个很好的计划-如果能成功的话。
在讨论此计划的成败之前,我们先介绍另一个观念,上文我们说明了一致性。
的确,一致性可说是对任一公设系统,最基本的要求,若一个系统内包含矛盾,其他的也就不用再谈了,对公设系统我们另一个希望有的性质就是完备性(Completeness)。
我们用自然数1,2,3,……来说明这个观念。
我们要证明有关自然数的定理,如「质数有无穷多个」,我们若要将证明整个一步步写下来,我们必须从某一个公设系统出发,其实任一个证明,都必须从某一个公设系统出发。
对于自然数我们最常用的公设系统就是皮亚诺公设(PeanoAxioms),这些公设中最复杂而且困难的,(不仅对一般的高中,大学生如此,对逻辑学家亦如此),就是大名鼎鼎的「数学归纳法」。
借着数学归纳法及其他的公设,我们可证明「质数有无穷多个」,问题是「是否所有有关自然数的叙述,只要是对的,就可由皮亚诺公设出发,而得到证明呢?
」也就是「皮亚诺公设是否完备?
」若皮亚诺公设具有完备性,那么所有有关自然数的叙述,若是对的,就可由皮亚诺公设证明。
由戈德尔不完备定理而得的一个结论,就是「皮亚诺公设是不完备的!
」有些关于自然数的叙述是对的,但皮亚诺公设无法证明它,戈德尔的证明也的确告诉我们如何找到这个叙述。
事实上,由戈德尔的证明,我们可得一个算则,给我们一个公设系统,我们就可按此算则,而得到一个算术句型,再经过适当的编译(compile),即可成为此系统内的一个句型,而此句型在此系统内为真,却无法在此系统内被证明,所以也许我们会觉得皮亚诺公设不具有完备性,这是它的缺点,我们应当找另一个具有完备性的公设系统来代替它,但不完备定理告诉我们,「任何一个具有一致性的公设化系统皆是不完备的!
」这也就是为什么虽然大家明知皮亚诺公设是不完备的,但这个公设系统仍是被普遍的使用,因为任何其他系统,也都是不完备的。
也许我们再退一步,皮亚诺公设固然不具有完备性,我们至少可要求它具有一致性吧!
也就是皮亚诺公设所证明的,一定是真的,可惜,这一点也做不到,由不完备定理可得另一个结论就是「在皮亚诺公设系统内将无法证明它的一致性!
」从某一方面来说,你须要假设比「皮亚诺公设是一致的」更强或相等的假设,你才能证明皮亚诺公设的一致性,当然我们若须要更强的假设,也就须要更大的信心去相信它是对的。
同样的,皮亚诺公设也没那么特殊,就像不完备性的结果一样,由戈德尔不完备定理,任一个足够强的公设系统,皆无法证明它本身的一致性,所以要证明数学具有一致性,即数学中不会产生矛盾,你将无法由数学中得到,你必须靠数学以外的东西,也许是你个人的哲学或神学,来相信数学是有意义的,这可说是粉碎了「希伯特计划」,难怪当希伯特由他的学生伯内(P.Bernay)处听到戈德尔的这个定理时,他对这一个定理感到生气 ,因为他将无法回应布饶儿的挑战了,但在真理面前,人人都须低头。
叙述与证明
以上简述了不完备定理的背景,现在我们来叙述不完备定理,一般所谓的不完备定理,分为两个部份:
第一不完备定理
任何一个足够强的一致公设系统,必定是不完备的。
即除非这个系统很简单,(所以能叙述的不多),或是包含矛盾的,否则必有一真的叙述不能被证明。
第二不完备定理
任何一个足够强的一致公设系统,必无法证明本身的一致性。
所以除非这个系统很简单,否则你若在此系统性,证明了本身的一致性,反而已显出它是不一致的。
戈德尔的证明过程相当复杂,而其中最核心的概念,是古典希腊哲学中一个有名的诡论(paradox):
说谎者诡论。
纪元前6世纪希腊时代的一个诗人哲学家Epimenides说了一句很有名的话:
「所有的克里特岛人都是说谎的。
」这句话有名倒不是因为它是真理,正好相反,因为它一定是错的,为什么是错的呢?
因为说这句话的人Epimenides就是克里特岛人,同样一句话,别人说也可能是对的,(希望不致冒犯了克里特岛人),但是由克里特岛人来说,就一定是错的,为什么呢?
若这句话是真的,则Epimenides没有说谎,和这句话矛盾,所以这句话是假的。
我们再举一个例子来说明这个诡论。
A:
B这句话是真的。
B:
A这句话是假的。
我们可能会认为A(或B)这句话非真即假,且让我们来看看是否如此,假设A这句话是真的,即表示B这句话是真的,故「A这句话是假的」是真的,故A这句话是假的,和假设矛盾。
我们现在假设A这句话是假的,则「B这句话是真的」是假的,故B这句话是假的,所以「A这句话是假的」是假的,即A这句话是真的,这又和我们的假设矛盾,结论是,A不论是真是假都得到矛盾,大家若有兴趣,不妨从B句开始,亦得到相同的结果,这就是它之所以被称为诡论的缘由。
戈德尔是如何利用这个概念呢?
若说:
「这句话是假的。
」那么利用前面的论证,这句话是矛盾的,所以任何一个一致的公设系统都无法说出这句话来,而戈德尔将上面的这句话改为「这句话不能被证明。
」
注意,「真」和「能被证明」并不相等,同样「假」和「不能被证明」亦不相等。
戈德尔证明了在皮亚诺公设内,(其实不需要用到这么强的公设)可以说出「这句话不能被证明」,若愿意接受这件事,我们即可证明不完备定理了,为证明方便,我们称「这句话不能被证明」为A,若在此系统内A被证明了,则由A的意义,即A不能被证明,知道「A」是假的,而在此系统内证明了一个假的叙述,表示此系统是不一致的,故若此系统是一致的,则A不能被证明,则由A的意义得知A是真的,因它说它不能被证明,因此我们也就找到了一个叙述,即为A,它是真的,却无法被证明。
任何一个公设系统若能说出「这句话不能被证明」则此系统若非不一致,就是不完备。
为了确知是否清楚了这个概念,读者不妨作一个测验,「没有真理!
」是真的吗?
对数学的影响
何谓数学?
对这个问题,不同的人会有很不同的答案,但是每一个数学家所努力的,都是要找到「证明」,从大家所接受的公理或公设出发,找出对某一个题目的证明。
从希腊时代,就留下了许多的问题,有许多的问题,经过了数学家们的努力,我们已知道了答案,也就是我们找到了「证明」,如所谓的几何三大难题,而有些至今尚未解决,如「双生质数是否无限多?
」任何一个问题,我们总是盼望找到「证明」,不论是证明它是真的,或是证明它是假的都可以,不论是证明「双生质数是无限多」,或是证明「双生质数是有限的」,都将是一个非常轰动的结果。
若是找不到证明,则认为也许是自己才智不够,或是时间尚末成熟,真的是如此吗?
1930年希伯特接受Konigsberg赠予荣誉市民时,发表了一个著名的演说,演说辞的最后两句话为
「我们必须知道,我们将会知道」(Wirmussenwissen.Wirwerdenwissen.)
当年希伯特的演讲所灌制的唱片,现在仍然保存着,我们若仔细听,仍依悉可听到希伯特讲完这句话时,得意的笑声 。
对着数学抱着如此的信心,相信是极大部份的数学家所共有的,希伯特清楚且有力的表达出来,只可惜这个信心是没有根据的,而且没有多久,就被证明如此乐观的信心是错的,因为1930年11月17日,《MonatsheftefurMathematikundPhysik》这个期刊接受了当年25岁的戈德尔所投的稿,证明了不完备定理,有些命题是真的,但无法被证明,数学家也许有信心(事实上由不完备定理可知这个信心是无法证实的)说:
「被证明的就是真的」,但再也无法说:
「真的一定会被证明。
」
自戈德尔证明了不完备定理之后,许多数理逻辑学家们即努力去找一个数论中为真,但无法用皮亚诺公设证明的叙述,花了将近半个世纪都没有找到,因此也就有人说戈德尔所指的「为真但无法证明」的命题,可能和真正的数学无关,即一个真正研究数学,而非研究逻辑的数学家,将永远不会遇到这样的命题,不完备定理是逻辑上的一个有趣的定理,但对数学没有影响,所有的数学问题,如「双生质数是否无限多?
」,我们仍迟早会知道答案。
1978年Paris和Harrington终于找到了组合学Ramsey理论中的一个命题,它是真的,但无法用皮亚诺公设证明,后来其他的学者又陆续发现了许多这样的命题,(有兴趣的读者可参阅笔者〈数学归纳法〉一文)。
对任何一个数学命题,我们当然要想法子证明它是真的,或找反例证明它是错的,若是都不成功的话,也许该听听不完备定理所给的建议,尝试去证明「此命题无法被证为真」,或「此命题无法被证明为假」,以往数学家只有两条路可走,证明是真的,或证明是假的,如今又多了两条路,不能被证明是真的,和不能被证明是假的。
要提醒大家注意的,就是第三条和第四条路彼此并不相斥,集合论中有名的「连续统假说」(ContinuumHypothesis),即被证明以现有的集合论公设,无法证明它为假(戈德尔1936年的结果),亦无法证明它为真(PaulCohen1963年的结果)。
对电脑的影响
戈德尔于193l年发表了不完备定理时,还没有现今所谓的电脑,对于电脑如何发明的,至今仍众说纷纭,我们引用普林斯顿高等研究院1978-1979年度报告中所摘录曾任
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