常微分方程自学练习题.docx
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常微分方程自学练习题
常微分方程自学习题及答案
一填空题:
I一阶微分方程的通解的图像是维空间上的一族曲线.
2二阶线性齐次微分方程的两个解yi(x);y2(x)为方程的基本解组充分必要条件是
3方程y''—2y'+y=0的基本解组是.
4一个不可延展解的存在区间一定是区间.
5方程学=Jl-于的常数解是•
ax
6方程=0一个非零解为X1(t),经过变换
7若兔是线性方程组X'=A⑴X的基解矩阵,则此方程组的任一解4犷
8—曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的2倍,则此曲线方程为•
9满足条件的解,称为微分方程的特解.
10如果在微分方程中,自变量的个数只有一个我们称这种微分方程为•
II一阶线性方程y'+pWy=q(x)有积分因子(“=)•
12求解方程—=-x/y的解是().
dx
13^{axy^2+3x2y)dx+(x+y)x\ly=0为恰当方程,则"=•
dy22
14\dx,/?
:
|A-| 川0)=0 "方程僅)+b+兀=的阶数为17若向量函数Y心);丫2(力;丫«丫)…Y〃(x)在区间D上线性相关,则它们的伏朗斯基行列 式W(x)=. 18若P(X)是方程组学=A(x)Y的基本解方阵则该方程组的通解可表示为・ dx 二单项选择: 1方程牛=+>'满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是()• dx (A)上半平面 (B)xoy平面(C)下半平面(D)除y轴外的全平面 在下列函数中是微分方程yM+y=0的解的函数是( 方程=的一个特解尸形如(). 11方程罔+4^+4y=0的一个基本解组是(). 12若yl和y2是方程纟+pM^-+c/(x)y=0的两个解,则y=e}y{+e2y2(eg\ax丿dx 为任意常数) (A)是该方程的通解(B)是该方程的解 (C)不一定是该方程的通解(D)是该方程的特解 13方程—=Jl-y2过点(0,0)的解为y=sinx,此解存在(). dx (A)(_oo,+s)(B)(_oo,0](C)[0,+s)(D)[—f上] 22 14方程y'=3x2y-rl是(). (A)可分离变量方程(B)齐次方程(C)全微分方程(D)线性非齐次方程 dv1 is微分方程—--y=0的通解是(). clxX c1 (A)y=—(B)y=ex(C)y=—+c(D)y=x+c XX 16在下列函数中是微分方程y"+y=0的解的函数是(). (A)y=1(B)y=x(C)y=sinx(D)y=ex 17方程”一y=k+x的一个数解*形如(). (A)aex+b(B)axex+bx(C)aex+bx+c(D)axex+hx+c 18初值问题 x;x(0)= fl 在区间一8V7VS上的解是(). (t) 步八 (t、 1、 (A)5)/ (B)%“= u> (C)U⑴= Q)W(r>= 0 1求下列方程的通解或通积分: (1)—=vl/iv (2) ■ +2 ⑶-j-=y+xy dx dx\Ix丿 X dx (4)2xydx+(x2—y2)dy=0 (5)y=^+2(yr)3 求方程的解 2 三求下列方程的解: 解方程: 求方程: 求方程: 兀⑸一[兀⑷=0 t : y2COSX并求出满足初始条件: 当x=0时,y=2的特解 yy =—+/g— xx =6--xv2的通解 6求(3f+6xy~)dx+(6a"y+4y)dy=0白勺通解. 求解方程: —+2—-+x=0drdr 求方锂等V器"的解 求方程yM-5/=-5x2的通解 10求下列方程组的通解, 4Xy一一一一一 in s 11求初值问题1 y(—i)=o R: 卜+1|<1卜|<1的解的存在区间并求出第二次近似解 12求方程的通解 3+曲 dxxx (3)(y-3x2)dx-(4y-x)dy=0(H# 方法) dy\ 2 +4y=0 13计算方程 14计算方程 d2xAdx 15 -4—+4x=cos/dtdt 求下列常系数线性微分方程: yJ2y410y=2 16 试求工= X的基解矩阵 17 的特征值和对应的特征向量. 4 -1 的特征值和特征向量 18 19 2 2丿3丿 四名词解释 1微分方程 2常微分方程、偏微分方程 3变量分离方程 4伯努利方程 5Lipschitz,条件 6线性相关 五证明题 1在方程y''+P(x)y'+0(x)y=0中巳知p(x);q(x)在(—s;+s)上连续 求证: 该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切. 2设x】(t)、X2(t)分别是非齐次性线方程 dnxdn^X 初r+G"严+…+G”(小★⑴ (i,lY/一、 ——+G()—+・-+G(t)x=/.(/) dtn'd严nJ2 dnxd,l^x 证明: x】(t)+x2(t)是方程-—+G}(f)p-+…+(r)x=f、⑴+f2(t)的解。 atat dv 3设f(x)在[0;+oc]上连续且limf(x)=0求证: 方程—+y=f(x)的一切解y(x); ITOCdx 均有limy(x)=0 4在方程y''+p(x)y'+q(x)y=0中p(x)、q(x)在(—s,+s)上连续;求证: 若p(x)恒不 为零;则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式W(X)是(一S,+S)上的严格单调函数。 dnxdn^x 5证明: X! (t)+X2(t)是方程—+C,⑴—p+…+冷(X)1+f2(t)的解。 deat 6证明: 函数组€工-…e(其中当&j时在任意区间(a,b)上线性无关。 常微分方程习题答案一填空题: 1、2 2、线性无关(或: 它们的朗斯基行列式不等干雲) 3、ex;x护 4、开 5、y=±1 6、x=x}Jyclt 7、0(/)c,c为常数列向量 8、y=x2+c 9、初始 10、常微分方程 11、ejp(x)clx 12、x2+y2=c;c为任意正常数 13、/ fl.l) 14、一一;一 I22) 666 512 y=-p--p^ 16、4 17.018、0(x)c;其中c是确定的n维常数列向量 二单项选择 I、D2.C3、C4、D5、B6.C7.A&D9、A10.C II、D12、B13、D14、D15.B16.C17、D1&D三求下列方程的解 1 (1)解: 当时,分离变量取不定积分,得 通积分为lny=Ce" (2)解: 令y=xu,则=it+x――,代入原方程,得CIXCIX durr A——=小一1广dx 分离变量,取不定积分,得 y 通积分为: arcsin—=biCx 解: 方程两端同乘以y巴得 -5dy_4y—=y+xdx・ 令厂",则・4y嵋哙,代入上式,得 1dz. 一-z=x 4dx 通解为 原方程通解为 取(x°,yo)=(0,0)原方程的通积分为 J: 2xydx-£y2dy=C 即x2y--y3=C 解: 原方程是克莱洛方程,通解为: y=cx+2c3 2解: 设y——则方程化为y=0,积分后得丫=吐即—=ct dtdttdt 干是X=C1t5+C2t3+C3t2+C4t+C5其中Cl,c2,c3,c4,Cs为任意常数 dxdx]dx dtn八dr' +…+q⑴七⑴] [嶋2+Gj(/)匚字+…+G”(Ox,(/)]+[弓^+G,(Q■⑴ =fi(t)+f2(t) 故X1(t)+X2(t)为方程厶字+G}⑴",严)+…+Gnx(t)=fl(t)+f2(t)的解。 at 因而,通解为 y=_ sinx+c 这里c是任意常数。 以x=0,y=l代入通解中以决定任意常数c,得到 c=-1 因而,所求特解为 1 y= 1-sinx 4解: 以-=«及g=x芈+H代入,则原方程变为 xdxdx du x——+u=u+tgu dx 即 du_tgu dxx 将上式分离变量,即有 .dxctgudu=— 两边积分,得到 z/? |suih|=〃啊+C 这里C'是任意函数,整理后,得到 sinw=±ec・x 令土=c,得到sinu=ex 5解: 令z=y"得 dz」dy =—y—1- dx"dx 代入原方程得到 dz,6 —=__z+xdxx 这是线性方程,求得它的通解为 代回原来的变量y,得到 1CX1 y"FT 这就是原方程的通解。 此外,方程还有解y=o。 6解: 这里M=3x2+6xy2.N=6x2y+4y3,这时 因此方程是恰当方程。 现在求U,使它同时满足如下两个方程du「A, ——=3x"+6xy" dx“ 由 (1)对X积分,得到II=x3+3x2y2+(p(y) 为了确定(P(y),将(3)对y求导数,并使它满足 (2),即得 OU=〃0(y),2”3 —=6x^y+=6牙+4y dydy 干是 ^^=4y4 dy 积分后可得 (p(y)=y4 将0(y)代入(3),得到 u=x3+3x2y2+y4 因此,方程的通解为 x3+3^y2+y4=c 这里c是任意常数 7解: 特征方程才+2才+1=0即特征根2=±i是重根,因此方程有四个实值解cost、tcost%sint%tsint 故通解为X=(c1+c2t)cost+(c3+c4t)sin其中c: ;c2;c3;c4为任意常数 8解: 令^-7-=y则方程化为: 芈一Z・y=O drdtt J4V 积分后得y=ct即—j-=ct于是x=Cit5+c2t3+c3t2+c4t: +c5 dr 其中5;c2…c5为任意常数,这就是原方程的通解c 9解对应齐次方程的特征方程为22-52=0, 齐次方程的通解为y=C]+C2e〃 因为a=0是特征根。 所以,设非齐次方程的特解为y: (x)=x(Ax2+Bx+C) 代入原方程,比较系数确定出 A112 A=—,B=—,C=— 3525 原方程的通解为 y=C.+C.e5x+-xy+-x2+—x |・3525 10解: 先解出齐次方程的通解 X =cjt) cosr +C2(t) sin/ b」 -sin/ cost ("C;⑴满足 解得(r)=—,c\a)=lsint 积分,得= 通解为 X =q cost +G sinf + cosrl/z|sinr|+rsin/ -sinr ■ cost -sinZln|sin^|+Zcos/ 11解: M=max|/(x,y)|=4〃=min(a,寻)=扌故解的存在区间为卜+1|吕 2)如qg+饨2一。 )妒/汨 q2(x)=O+F[g2需+討一誣=吟一鲁+||一誚 XXXX11 ~3_9_18_60+42 12求方程的通解: X+V-| 解: 变形訂十方心…⑴,将y看作自变"为未知函数 dx\ 解齐线性方程—=-x,通解为x=cydyy y+c(y) 令-c(yg. (2)微分得,牛二竿型二字aydydy 由⑴⑵知兰+尸字>,+c(沪迪+yydyy虫理=1,积分得c(y)=y+c^x=(y+c)y(c是任意常数) 2)空=丄+询丄 dxxx AyM1十=du 解: 令一=u贝ijy=iix,干是—=x——+mx・dxdx 则原方程变为+u=u+tanw dx “diitanzz即〒=——dxx fly将上式分离变量有coUidu=— X 积分得bz|sinw|=ln|x|+c,c为任意常数。 整理sin”=±ec•x 令土ec=c=#=0得sinu=cx(cH0) 方程还有解tanu=0即sinu=0,故通解为sinu=ex(c为任意常数) 3)(y-3x2)dx-(4y-x)dy=0(H种方法) 解: 法一,这里M=y・3x2,N=-(4y-x)=4-4y dMdN —=t—=h因此此方程是恰当方程 dyox 解: 令"牛则八5宀八扣 4) 对(3)中y求导工=■¥+〃{')=-4ydydy 积分得^y)=-2y2,代入(3)得“=)天一疋—2尸 故通解为yx-x3-2y2=c,c为任意常数 法二,重新组合得 ydx一3x2dx一4ydy+xdy=0,B卩ydx-dx'-2dy2+xdy=0 d{xy-x3_2)二=0) 干是通解为xy-V-2y2=c其中c是任意常数。 对X求导得"I畔十哼=(|p“)务(詁詁妇吋=0 13方程VM+4y=3sin2x的通解 解: 齐次方程是y,+4y=0,22+4=0,A12=±2z y=Cjcos2t+c2sin2/ 由于2i是特征方程单根 故所求特解应具形式=x(Acos2.r+/? sin2x) 3 代入原方程一4人=3,3=0=>人=一二,3=0 4 ・•・y.=xcos2x 14 3 故通解为y=--xcos2x+c,cos2r+c2sin2t,其中eg为任意常数 解: 特征方程兄2一4兄+4=0有重根人=兄2=2 因此对应齐线性方程的通解为X=(C|+c2rk2f,其中5,C2为任意常数。 因为土j不是特征根,现求形如〒=Acost+Bsint的特征解, 代入原方程化简(3A-4B)cost+(4A+3B)siiit=cost 3 干是着 A=—— -4B=1挤25 故 f3B=0口_4 D 25 ZXA 故通解为X=(q+c2t}e~'+^cosr-—sinr其中clfc2为任意常数15求下列常系数线性微分方程 对应的齐次方程为y^2y+\0y=0特征方程为才一2兄+10=0 特征根为Aa=\±3ia不是特征根, 故原方程有形如y*=(ax+b)e加的特解代入原方程得"=挣=待 11Q 故原方程通解为V=ex(qcos/+c、sin3r)+(—x-一0',(cpc.为任意常数) ♦1050 —+••)但是, 乙. sr 2 "oo' 00 ■— 00 所以,级数只有两项。 因此,基解矩阵就是 expAr=e21 17解: 特征方程为 因此,2=3是A的二重特征值•为了寻求对应于2=3的特征向量,考虑方程组 因此,向量 是对应于特征值2=3的特征向量,其中g工0是任意常数. 特征根为2L2=3±5/对应于1=3+51的特征向"满足 —5i5 (A—人E)u==一=0解得u=acHO为任意常数 -5-5/ Ari,22=4为特征根,(A—4E)“=0亠山=\a为方程组解a为任意常数. \-(i 四名词解释 1联系着自变量、未知函数及它的导数的关系式,称之为微分方程。 2如果在微分方程中,自变量的个数只有一个,称这种微分方程的个数为两个或两个以上 的微分方程称为偏微分方程。 3形如 学=f(x)tp(y) dx 的方程,称为变量分离方程,这里fM(p(y)分别是x,y的连续函数。 dy 4形如~r=P(x)y+0(兀)y" dx 的方程,称为伯努利方程,这里PM,Q(x)为x的连续函数,〃HO,1是常数 5函数f(x,y)称为在R上关干y满足Lipschitz.条件,如果存在常数L>0,使得 不等式\f(x.y{)-f(x.y2)|<-y21 对于所有(X,儿),(x,y2)e/? 都成立,L称为Lipschitz常数. 6定义在区间a ,勺⑴,…耳⑴,如果存在不全为零的常数c】,C2,….Ck便得恒等式C]X|⑴+c2x2(t)+-+ckxk⑴=0对于所有te[«,/? ]都成立,称这些函数是线性相关的. 五1在方程y''+p(x)y'+g(x)y=0中,巳知p(x),q図在(—s,+s)上连续, 求证: 该方程的任一非零解在工oy平面上不能与x轴相切. 证明: 方程y"+p(x)y'+g(x)y=o,设y=0(x)是它的任一非零解。 若p(x),q図在(-co,+oo)上连续,假设y=0(x)在xoy平面上与轴相切。 则/=M=0,/*=0与方程有非零解V=飒x)矛盾。 故y=0(x)与x轴不相切。 〃"丫dn~xx 2由巳知得而+G(⑴亍+…G”⑴“二人⑴ dnx一、〃讥一、八、 萨+G卫)科+…G”(t)x2=f2(t) dnXdn^X 把X】(t)+X2(t)代入方程—+G,(/)+…Gnx(t)=f}(f)+九⑴由左端得 /心⑴+犯))(厂小/i(m)+w)),c/““、八 而+G(0+・・・G”(f)(册(0+x2(0)= ◎◎+型+弘)忤+M)忤+…+G”(W)+GE) dtndtn1d严d严1 3证明设y=y(x)是方程任一解,满足y(x°)=y°,该解的表达式为 取极限 limv(x)=lim-^―+lim— ATTCf'—Xo.v—>+<»£丫一" 若Jf(s)严“'ds —产—=0若[f二8 4证明设yi(x),y2(x)是方程的基本解组,则对任意xw(-s,+s),它们朗斯基行列式在 (—u+s)上有定义,且W(x)H0•又由维尔公式 W(x)=W(x())e~^P(s)J\x()e(—s,+s) W(x)=W(x0)e~^p{s)dsp(x) 由于WG'o)工o,p(x)H0,于是对一切xe(一8,+8), 有W\x)>0或W'(x) 故W(x)是(-s,+s)上的严格单调函数 5答案略 6证明: 巳知函数组的wronshi行列式为 eA{X,eA~x…e几"X W(X)=I”彳" *2—1A.x□八—1A^xn—1zL,..r x{e1,丸2e_——xne 由此行列式不为零•从而W(x)H0由性质知•巳知的函数组在上线性无关证毕.
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