版赢在微点数学理科一轮复习人教版第一章集合与常用逻辑用语 3.docx
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版赢在微点数学理科一轮复习人教版第一章集合与常用逻辑用语3
必/考/部/分
第一章集合与常用逻辑用语
第一节 集 合
2019考纲考题考情
1.集合的含义与表示方法
(1)集合的含义:
研究对象叫做元素,一些元素组成的总体叫做集合。
集合中元素的性质:
确定性、无序性、互异性。
(2)元素与集合的关系:
①属于,记为∈;②不属于,记为∉。
(3)集合的表示方法:
列举法、描述法和图示法。
(4)常用数集的记法:
自然数集N,正整数集N*或N+,整数集Z,有理数集Q,实数集R。
2.集合间的基本关系
3.集合的基本运算
1.集合元素的三个特性
确定性、无序性、互异性。
2.集合的子集个数
若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个,非空子集有2n-1个,真子集有2n-1个。
3.注意空集
空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,应时刻关注对空集的讨论,防止漏解。
4.集合的运算性质
(1)并集的性质:
A∪∅=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔B⊆A。
(2)交集的性质:
A∩∅=∅;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔A⊆B。
(3)补集的性质:
A∪(
A)=U;A∩(
A)=∅;
(
A)=A。
(A∩B)=(
A)∪(
B);
(A∪B)=(
A)∩(
B)。
一、走进教材
1.(必修1P12A组T5改编)若集合P={x∈N|x≤
},a=2
,则( )
A.a∈PB.{a}∈P
C.{a}⊆PD.a∉P
解析 因为a=2
不是自然数,而集合P是不大于
的自然数构成的集合,所以a∉P。
故选D。
答案 D
2.(必修1P12B组T1改编)已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},则集合M∪N的子集的个数为________。
解析 由已知得M∪N={0,1,2,3,4,5},所以M∪N的子集有26=64(个)。
答案 64
二、走近高考
3.(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A={x|x2-x-2>0},则∁RA=( )
A.{x|-1 B.{x|-1≤x≤2} C.{x|x<-1}∪{x|x>2} D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2} 解析 解不等式x2-x-2>0得x<-1或x>2,所以A={x|x<-1或x>2},所以∁RA={x|-1≤x≤2}。 故选B。 解析: 因为A={x|x2-x-2>0},所以∁RA={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2},故选B。 答案 B 4.(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为( ) A.9 B.8C.5 D.4 解析 因为x2+y2≤3,所以x2≤3,因为x∈Z,所以x=-1,0,1,当x=-1时,y=-1,0,1;当x=0时,y=-1,0,1;当x=-1时,y=-1,0,1;所以A中元素的个数为9个。 故选A。 解析: 根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形,如图,易知在圆x2+y2=3中有9个整点,即为集合A的元素个数,故选A。 答案 A 5.(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为( ) A.3 B.2C.1 D.0 解析 集合A表示单位圆上的点,集合B表示直线y=x上的点,根据图象容易判断有两个交点,所以选择B。 也可以利用联立方程组 解得 或 所以交点坐标分别是 , 。 故选B。 答案 B 三、走出误区 微提醒: ①忽视集合的互异性致使出错;②分类讨论不全面导致漏解。 6.已知集合A={1,3, },B={1,m},若B⊆A,则m=________。 解析 因为B⊆A,所以m=3或m= ,即m=3或m=0或m=1,根据集合元素的互异性可知,m≠1,所以m=0或3。 答案 0或3 7.已知集合M={x|x-a=0},N={x|ax-1=0},若M∩N=N,则实数a的值是________。 解析 易得M={a}。 因为M∩N=N,所以N⊆M,所以N=∅或N=M,所以a=0或a=±1。 答案 0或1或-1 考点一集合的含义及表示 【例1】 (1)已知集合A={1,2,4},则集合B={(x,y)|x∈A,y∈A}中元素的个数为( ) A.3B.6 C.8D.9 (2)设集合A={-4,2a-1,a2},B={9,a-5,1-a},且A,B中有唯一的公共元素9,则实数a的值为________。 解析 (1)集合B中元素有(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,4),(4,1),(4,2),(4,4),共9个。 故选D。 (2)因为集合A,B中有唯一的公共元素9,所以9∈A。 若2a-1=9,即a=5,此时A={-4,9,25},B={9,0,-4},则集合A,B中有两个公共元素-4,9,与已知矛盾,舍去。 若a2=9,则a=±3,当a=3时,A={-4,9,5},B={-2,-2,9},B中有两个元素均为-2,与集合中元素的互异性矛盾,应舍去;当a=-3时,A={-4,-7,9},B={9,-8,4},符合题意。 综上所述,a=-3。 答案 (1)D (2)-3 1.研究集合问题时,首先要明确构成集合的元素是什么,即弄清该集合是数集、点集,还是其他集合;然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么,从而准确把握集合的含义。 2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时,要注意检验集合是否满足元素的互异性。 【变式训练】 (1)(2019·湖北天门等三地联考)设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中元素的个数为( ) A.3 B.4C.5 D.6 (2)若集合A={a-3,2a-1,a2-4},且-3∈A,则实数a=________。 解析 (1)a∈{1,2,3},b∈{4,5},则M={5,6,7,8},即M中元素的个数为4。 故选B。 (2)若a-3=-3,则a=0,此时集合A中含有元素-3,-1,-4,满足题意;若2a-1=-3,则a=-1,此时集合A中的三个元素为-4,-3,-3,不满足集合中元素的互异性;若a2-4=-3,则a=±1,当a=1时,集合A中的三个元素为-2,1,-3,满足题意;当a=-1时,不符合题意。 综上可知,a=0或a=1。 答案 (1)B (2)0或1 考点二集合间的基本关系 【例2】 (1)已知集合A={x|x2-2x-3≤0,x∈N*},则集合A的真子集的个数为( ) A.7 B.8C.15 D.16 (2)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围为________。 解析 (1)A={x|-1≤x≤3,x∈N*}={1,2,3},其真子集有: ∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},共7个。 或因为集合A中有3个元素,所以其真子集的个数为23-1=7(个)。 (2)因为B⊆A,所以①若B=∅,则2m-1 ②若B≠∅,则 解得2≤m≤3。 由①、②可得,符合题意的实数m的取值范围为m≤3。 答案 (1)A (2)(-∞,3] 【互动探究】 本例 (2)中的集合A改为A={x|x<-2或x>5},如何求解? 解析 因为B⊆A,所以①当B=∅时,即2m-1 ②当B≠∅时, 或 解得 或 即m>4。 综上可知,实数m的取值范围为(-∞,2)∪(4,+∞)。 答案 (-∞,2)∪(4,+∞) 1.空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解。 2.已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题。 【变式训练】 (1)(2019·湖北省部分重点中学联考)已知集合M={x|y= ,x∈R},N={x|x=m2,m∈M},则集合M,N的关系是( ) A.MNB.NM C.M⊆∁RND.N⊆∁RM (2)(2019·长春市调研)已知集合M={0,1},则满足条件M∪N=M的集合N的个数为( ) A.1B.2 C.3D.4 解析 (1)依题意知,M={x|y= ,x∈R}={x|-1≤x≤1},N={x|x=m2,m∈M}={x|0≤x≤1},所以NM。 故选B。 (2)由M∪N=M,得N⊆M。 又M中有2个元素,故其子集的个数为22=4,所以集合N的个数为4。 故选D。 答案 (1)B (2)D 考点三集合的运算微点小专题 方向1: 集合的基本运算 【例3】 (2018·天津高考)设全集为R,集合A={x|0 B)=( ) A.{x|0 C.{x|1≤x<2}D.{x|0 解析 因为B={x|x≥1},所以 B={x|x<1},因为A={x|0 B)={x|0 故选B。 答案 B 集合的运算要注意数形结合,特别是数轴,Venn图等。 方向2: 利用集合运算求参数 【例4】 (1)(2019·南昌二中模拟)已知集合A={x|y= },B={x|a≤x≤a+1},若A∪B=A,则实数a的取值范围为( ) A.(-∞,-3]∪[2,+∞) B.[-1,2] C.[-2,1] D.[2,+∞) (2)集合A={0,2,a},B={1,a2},若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为( ) A.0 B.1C.2 D.4 解析 (1)集合A={x|y= }={x|-2≤x≤2},因为A∪B=A,则B⊆A,所以有 所以-2≤a≤1。 故选C。 (2)由题意可得{a,a2}={4,16},所以a=4。 故选D。 答案 (1)C (2)D 参数问题要注意分类讨论和等价转化。 方向3: 集合的新定义问题 【例5】 已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A⊕B中元素的个数为( ) A.77 B.49C.45 D.30 解析 如图,集合A表示如图所示的所有圆点“ ”,集合B表示如图所示的所有圆点“ ”+所有圆点“ ”,集合A⊕B显然是集合{(x,y)||x|≤3,|y|≤3,x,y∈Z}中除去四个点{(-3,-3),(-3,3),(3,-3),(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点),则集合A⊕B表示如图所示的所有圆点“ ”+所有圆点“ ”+所有圆点“ ”,共45个。 故A⊕B中元素的个数为45。 故选C。 答案 C 解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点: ①紧扣新定义。 首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,应用到具体的解题过程之中;②用好集合的性质。 解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素。 【题点对应练】 1.(方向1)设集合M={x|x<4},集合N={x|x2-2x<0},则下列关系中正确的是( ) A.M∪N=MB.M∪( N)=M C.N∪( M)=RD.M∩N=M 解析 因为M={x|x<4},N={x|0 M)={x|0 故选A。 答案 A 2.(方向2)设集合A={x|x2+2x-3>0},集合B={x|x2-2ax-1≤0,a>0},若A∩B中恰含有一个整数,则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D.(1,+∞) 解析 A={x|x2+2x-3>0}={x|x>1或x<-3},设函数f(x)=x2-2ax-1,因为函数f(x)=x2-2ax-1图象的对称轴为直线x=a(a>0),f(0)=-1<0,根据对称性可知若A∩B中恰有一个整数,则这个整数为2,所以有 即 所以 即 ≤a< 。 故选B。 答案 B 3.(方向3)设P,Q为两个非空实数集合,定义集合P⊗Q={z|z=a÷b,a∈P,b∈Q},若P={-1,0,1},Q={-2,2},则集合P⊗Q中元素的个数是( ) A.2 B.3C.4 D.5 解析 当a=0时,无论b取何值,z=a÷b=0;当a=-1,b=-2时,z= ;当a=-1,b=2时,z=- ;当a=1,b=-2时,z=- ;当a=1,b=2时,z= 。 故P⊗Q= ,该集合中共有3个元素。 故选B。 答案 B 1.(配合例1使用)设集合A={0,1,2,3},B={x|-x∈A,1-x∉A},则集合B中元素的个数为( ) A.1 B.2C.3 D.4 解析 若x∈B,则-x∈A,故x只可能是0,-1,-2,-3,当0∈B时,1-0=1∈A;当-1∈B时,1-(-1)=2∈A;当-2∈B时,1-(-2)=3∈A;当-3∈B时,1-(-3)=4∉A,所以B={-3},故集合B中元素的个数为1。 故选A。 答案 A 2.(配合例1使用)若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,则a=( ) A.4B.2 C.0D.0或4 解析 由题意知方程ax2+ax+1=0只有一个实数解。 当a=0时,方程无实数解;当a≠0时,Δ=a2-4a=0,解得a=4(a=0不合题意舍去)。 故选A。 答案 A 3.(配合例4使用)已知集合A={x|y=lg(x-x2)},B={x|x2-cx<0,c>0},若A⊆B,则实数c的取值范围为( ) A.(0,1]B.[1,+∞) C.(0,1)D.(1,+∞) 解析 解法一: 由题意知,A={x|y=lg(x-x2)}={x|x-x2>0}={x|0 由A⊆B,画出数轴,如图所示,得c≥1。 故选B。 解法二: A={x|y=lg(x-x2)}={x|x-x2>0}={x|0 故选B。 答案 B 4.(配合例5使用)定义集合A,若对于任意a,b∈A,有a+b∈A且a-b∈A,则称集合A为闭集合。 给出如下三个结论: ①集合A={-4,-2,0,2,4}为闭集合;②集合B={n|n=3k,k∈Z}为闭集合;③若集合A1,A2为闭集合,则A1∪A2为闭集合。 其中正确结论的序号是________。 解析 ①中,-4+(-2)=-6不属于A,所以①不正确;②中,设n1,n2∈B,n1=3k1,n2=3k2,k1,k2∈Z,则n1+n2∈B,n1-n2∈B,所以②正确;对于③,令A1={n|n=5k,k∈Z},A2={n|n=2k,k∈Z},则A1,A2为闭集合,但A1∪A2不是闭集合,所以③不正确。 答案 ② 不明代表元素、忽视端点、遗忘空集致误 集合是高中数学中最基本的概念之一,在历年高考中,集合问题常以选择题或填空题的形式出现,主要考查集合的相关概念、集合间的基本关系、集合的基本运算等,但在平时的学习中,学生往往不能深刻理解这些知识,导致考场上出现各式各样的错误。 一、因忽视代表元素而致误 【典例1】 设P={y|y=x2,x∈R},Q={y|y=2-|x|,x∈R},求P∩Q。 【错解】 由 解得 或 所以P∩Q={(1,1),(-1,1)}。 【剖析】 上述解法混淆了集合的代表元素,本题中两个集合中的代表元素是y,而不是点的坐标。 【正解】 因为P={y|y=x2,x∈R}={y|y≥0},Q={y|y=2-|x|,x∈R}={y|y≤2},所以P∩Q={y|y≥0}∩{y|y≤2}={y|0≤y≤2}。 【变式训练1】 已知集合M={(x,y)|y=x2+1,x∈R},N={(x,y)|y=x+1,x∈R},则M∩N=________。 解析 解方程组 得 或 从而可知M∩N={(0,1),(1,2)}。 答案 {(0,1),(1,2)} 二、因忽视区间端点而致误 【典例2】 已知集合A={x|2≤x≤3},集合B={x|a 【错解】 因为A={x|2≤x≤3},B={x|a 【剖析】 上述解法的错误原因是忽视了集合A={x|2≤x≤3}的两个端点值2和3,事实上,当a=3时,B={x|3 当a+4=2即a=-2时,B={x|-2 【正解】 因为A={x|2≤x≤3},B={x|a 【变式训练2】 设集合S={x|x>3或x<-3},T={x|a≤x≤a+8},若S∪T=R,则实数a的取值范围是________。 解析 要使S∪T=R,只需 解得-5≤a≤-3。 答案 [-5,-3] 三、因忽视空集的特殊性而致误 【典例3】 已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+a-1=0},C={x|x2-mx+2=0},且A∪B=A,A∩C=C,求实数a及m的取值范围。 【错解】 由题意得,A={1,2},B={1,a-1}。 由A∪B=A知B⊆A,所以a-1=2,从而a=3。 由A∩C=C知C⊆A,设方程x2-mx+2=0的两根分别为x1,x2,则x1x2=2。 由A={1,2}知C=A,从而m=x1+x2=3。 【剖析】 上述解法存在两个方面的错误: 一是忽略了集合B中方程有两等根的情况;二是忽视了C=∅的情况。 【正解】 由题意得,A={1,2},B={x|(x-1)[x-(a-1)]=0}。 由A∪B=A,知B⊆A,所以可能有两种情况: ①a-1=2,即a=3,此时A=B;②a-1=1,即a=2,此时B={1}。 若C=∅,显然满足A∩C=C,此时,由Δ=m2-8<0得-2 。 若C≠∅,设方程x2-mx+2=0的两根分别为x1,x2,则x1x2=2。 由A∩C=C知C⊆A,故有C=A,从而m=x1+x2=3。 综上可知: a=3或a=2;m=3或-2 。 【变式训练3】 已知集合A={x|x2+x-6=0},B={x|mx-1=0},若B⊆A,则实数m组成的集合为________。 解析 由题意得B⊆A={-3,2},有以下几种情况: ①B=∅,此时m=0,显然符合题意; ②B={2},此时2m-1=0,解得m= ; ③B={-3},此时-3m-1=0,解得m=- 。 综上,实数m组成的集合为 。 答案
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- 版赢在微点数学理科一轮复习人教版第一章 集合与常用逻辑用语 点数 理科 一轮 复习 人教版 第一章 集合 常用 逻辑 用语