初二四边形综合提高练习题附详细讲解.docx
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初二四边形综合提高练习题附详细讲解
初二四边形综合提高练习题(附详解)
1.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=5
,∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒(t>0).过点D作DF⊥BC于点F,连接DE、EF.
(1)求AB,AC的长;
(2)求证:
AE=DF;
(3)四边形AEFD能够成为菱形吗?
如果能,求出相应的t值;如果不能,说明理由.
(4)当t为何值时,△DEF为直角三角形?
请说明理由.
2.如图,已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,延长AB至点E,使BE=AB,连接CE.
(1)求证:
四边形BECD是平行四边形;
(2)若∠E=60°,AC=
求菱形ABCD的面积.
3.在△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=45º.△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到,连接BE,CF相交于点D.
(1)求证:
BE=CF;
(2)当四边形ABDF是菱形时,求CD的长.
4.如图,四边形ABCD是正方形,点E,F分别在BC,AB上,点M在BA的延长线上,且CE=BF=AM,过点M,E分别作NM⊥DM,NE⊥DE交于N,连接NF.
(1)求证:
DE⊥DM;
(2)猜想并写出四边形CENF是怎样的特殊四边形,并证明你的猜想.
5.如图,正方形ABCD的面积为4,对角线交于点O,点O是正方形A1B1C1O的一个顶点,如果这两个正方形全等,正方形A1B1C1O绕点O旋转.
(1)求两个正方形重叠部分的面积;
(2)若正方形A1B1C1O旋转到B1在DB的延长线时,求A与C1的距离.
6.在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=60cm,∠A=60°,点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒(0<t≤15).过点D作DF⊥BC于点F,连接DE,EF.(备注:
在直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半)
(1)求证:
AE=DF;
(2)四边形AEFD能够成为菱形吗?
如果能,求出相应的t值,如果不能,说明理由;
(3)当t为何值时,△DEF为直角三角形?
请说明理由.
7.如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点,∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分线CF于点F.
(1)求证:
AE=EF.
(2)如图2,若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”其余条件不变,那么结论AE=EF是否成立呢?
若成立,请你证明这一结论,若不成立,请你说明理由.
8.已知□OABC的顶点A、C分别在直线x=2和x=4上,O为坐标原点,直线x=2分别与x轴和OC边交于D、E,直线x=4分别与x轴和AB边的交于点F、G.
(1)如图,在点A、C移动的过程中,若点B在x轴上,
①直线AC是否会经过一个定点,若是,请直接写出定点的坐标;若否,请说明理由.
②□OABC是否可以形成矩形?
如果可以,请求出矩形OABC的面积;若否,请说明理由.
③四边形AECG是否可以形成菱形?
如果可以,请求出菱形AECG的面积;若否,请说明理由.
(2)在点A、C移动的过程中,若点B不在x轴上,且当□OABC为正方形时,直接写出点C的坐标.
9.如图,矩形ABCD中,AB=9,AD=4.E为CD边上一点,CE=6.点P从点B出发,以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动,连接PE.设点P运动的时间为t秒.
(1)求AE的长;
(2)当t为何值时,△PAE为直角三角形?
(3)是否存在这样的t,使EA恰好平分∠PED,若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
参考答案
1.
(1)AB=5,AC=10.
(2)证明见解析;(3)能,当t=
时,四边形AEFD为菱形.(4)当t=
秒或4秒时,△DEF为直角三角形.
【解析】
(1)设AB=x,则AC=2x.由勾股定理得,(2x)2-x2=(5
)2,得x=5,故AB=5,AC=10.
(2)证明:
在△DFC中,∠DFC=90°,∠C=30°,DC=2t,∴DF=t.又∵AE=t,∴AE=DF.
(3)能.理由如下:
∵AB⊥BC,DF⊥BC,∴AE∥DF.又AE=DF,∴四边形AEFD为平行四边形.∵AB=5,∴AC=10.∴AD=AC-DC=10-2t.若使□AEFD为菱形,则需AE=AD,
即t=10-2t,t=
.即当t=
时,四边形AEFD为菱形.
(4)①∠EDF=90°时,10-2t=2t,t=
.②∠DEF=90°时,10-2t=
t,t=4.③∠EFD=90°时,此种情况不存在.故当t=
秒或4秒时,△DEF为直角三角形.
2.
(1)证明见解析;
(2)菱形ABCD的面积为
试题解析:
(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AB=CD,AB∥CD.;
又∵BE=AB,∴BE=CD.
∵BE∥CD,∴四边形BECD是平行四边形.
(2)∵四边形BECD是平行四边形,∴BD∥CE.
∴∠ABO=∠E=60°.又∵四边形ABCD是菱形,∴AC丄BD,OA=OC.∴∠BOA=90°,
∴∠BAO=30°.
∵AC=
∴OA=OC=
.∴OB=OD=2.∴BD=4.
∴菱形ABCD的面积=
3.
(1)证明见解析;
(2)
-2
试题解析:
(1)∵△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的,
∴AE=AF=AB=AC=2,∠EAF=∠BAC=45°,
∴∠BAC+∠3=∠EAF+∠3,即∠BAE=∠CAF,
在△ABE和△ACF中
∴△ABE≌△ACF,∴BE=CF.
(2)∵四边形ABDF是菱形,∴AB∥DF,∴∠ACF=∠BAC=45°.
∵AC=AF,∴∠CAF=90°,即△ACF是以CF为斜边的等腰直角三角形,∴CF=
.
又∵DF=AB=2,∴CD=
-2.
【点睛】本题考查了旋转的性质:
对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.也考查了菱形的性质.
4.【解析】
(1)证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴DC=DA,∠DCE=∠DAM=90°,
在△DCE和△MDA中,
,∴△DCE≌△MDA(SAS),∴DE=DM,∠EDC=∠MDA.
又∵∠ADE+∠EDC=∠ADC=90°,∴∠ADE+∠MDA=90°,∴DE⊥DM;
(2)解:
四边形CENF是平行四边形,理由如下:
∵四边形ABCD是正方形,∴AB∥CD,AB=CD.
∵BF=AM,∴MF=AF+AM=AF+BF=AB,即MF=CD,
又∵F在AB上,点M在BA的延长线上,∴MF∥CD,∴四边形CFMD是平行四边形,
∴DM=CF,DM∥CF,
∵NM⊥DM,NE⊥DE,DE⊥DM,∴四边形DENM都是矩形,∴EN=DM,EN∥DM,
∴CF=EN,CF∥EN,∴四边形CENF为平行四边形.
5.
(1)1;
(2)
解:
解:
(1)∵四边形ABCD为正方形,∴∠OAB=∠OBF=45°,OA=OB
∵BO⊥AC,∴∠AOE+∠EOB=90°,
又∵四边形A1B1C1O为正方形,∴∠A1OC1=90°,即∠BOF+∠EOB=90°,∴∠AOE=∠BOF,
在△AOE和△BOF中,
,∴△AOE≌△BOF(ASA),
∵S两个正方形重叠部分=S△BOE+S△BOF,又S△AOE=S△BOF
∴S两个正方形重叠部分=SABO=
S正方形ABCD=
×4=1;
(2)如图,
∵正方形的面积为4,∴AD=AB=2,
∵正方形A1B1C1O旋转到B1在DB的延长线时,
∴C1F=
OC1=1,AG=1∴C1G=3,
根据勾股定理,得AC1=
.
6.
(1)、证明见解析;
(2)、t=10;(3)、t=
或12,理由见解析.
试题解析:
(1)、∵在Rt△ABC中,∠C=90°﹣∠A=30°,∴AB=
AC=
×60=30cm
∵CD=4t,AE=2t,又∵在Rt△CDF中,∠C=30°,∴DF=
CD=2t∴DF=AE
(2)、能。
∵DF∥AB,DF=AE,∴四边形AEFD是平行四边形
当AD=AE时,四边形AEFD是菱形,即60﹣4t=2t,解得:
t=10
∴当t=10时,AEFD是菱形
(3)、若△DEF为直角三角形,有两种情况:
①如图1,∠EDF=90°,DE∥BC,
则AD=2AE,即60﹣4t=2×2t,解得:
t=
。
②如图2,∠DEF=90°,DE⊥AC,
则AE=2AD,即2t=2(60-4t),解得:
t=12。
综上所述,当t=
或12时,△DEF为直角三角形
试题解析:
(1)证明:
取AB的中点G,连接EG
∵四边形ABCD是正方形∴AB=BC,∠B=∠BCD=∠DCG=90°
∵点E是边BC的中点∴AM=EC=BE∴∠BGE=∠BEG=45°
∴∠AGE=135°,
∵CF平分∠DCG,∴∠DCF=∠FCG=45°,
∴∠ECF=180°-∠FCG=135°,∴∠AGE=∠ECF
∵∠AEF=90°∴∠AEB+∠CEF=90°,
又∵∠AEB+∠GAE=90°,∴∠GAE=∠CEF,
在△AGE和△ECF中,∠GAE=∠CEF,AG=CE,∠AGE=∠ECF∴△AGE≌△ECF(ASA),∴AE=EF
(2)证明:
在AB上取一点M,使AM=EC,连结ME,
∴BM=BE∴∠BME=45°∴∠AME=135°.
∵CF是外角平分线,∴∠DCF=45°.∴∠ECF=135°.
∴∠AME=∠ECF.
∵∠AEB+∠BAE=90°,∠AEB+∠CEF=90°,∴∠BAE=∠CEF.
∴△AME≌△ECF(ASA).∴AE=EF.
8.
(1)①是,定点(3,0),②可以,12
,③可以,3
;
(2)(4,2)或(4,-2)
试题解析:
(1)①根据题意得:
∠ADO=∠CFB=90°,
∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OA∥BC,OA=BC, ∴∠AOD=∠CBF,
在△AOD和△CBF中,
∴△AOD≌△CBE(AAS), ∴OD=BE=2
∴OB的中点坐标为(3,0)∴直线AC是经过一个定点(3,0)
②可以
易证∠OCF=∠CBF,得∠OCB=90°,由OABC是平行四边形得OABC是矩形,
在RtΔOCB中,CF2=BF×OF=2×4=8∴CF=
∴SΔOCB=
×6×
=
∴S矩形OABC=
③可以,3
(2)(4,2)或(4,-2)
9.
(1)5;
(2)6或
;(3)
.
试题解析:
(1)∵矩形ABCD中,AB=9,AD=4,∴CD=AB=9,∠D=90°,∴DE=9﹣6=3,
∴AE=
=5;
(2)①若∠EPA=90°,t=6;
②若∠PEA=90°,
,解得t=
.
综上所述,当t=6或t=
时,△PAE为直角三角形;
(3)假设存在.
∵EA平分∠PED,∴∠PEA=∠DEA.
∵CD∥AB,∴∠DEA=∠EAP,∴∠PEA=∠EAP,
∴PE=PA,∴
,解得t=
.
∴满足条件的t存在,此时t=
.
考点:
四边形综合题.
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