整式乘除经典讲义.docx
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整式乘除经典讲义
整式的乘除讲义
三.同底数幂的乘法
同底数幕的乘法法则:
amanamn(m,n都是正数)是幕的运算中最基本的法则,在应用法则运算时,要注意以下几点:
1法则使用的前提条件是:
幕的底数相同而且是相乘时,底数a可以是一个具体的数字式
字母,也可以是一个单项或多项式;
2指数是1时,不要误以为没有指数;
3不要将同底数幕的乘法与整式的加法相混淆,对乘法,只要底数相同指数就可以相加;而对于加法,不仅底数相同,还要求指数相同才能相加;
4当三个或三个以上同底数幕相乘时,法则可推广为amanaPamnp(其中mn、p均为正数);
5公式还可以逆用:
amnaman(mn均为正整数)
四.幕的乘方与积的乘方
1.幕的乘方法则:
(am)namn(m,n都是正数)是幕的乘法法则为基础推导出来的,但两者不能混淆.
2.(am)n(an)mamn(m,n都为正数).
3.底数有负号时,运算时要注意,底数是a与(-a)时不是同底,但可以利用乘方法则化成
同底,
如将(-a)3化成-a3
4.底数有时形式不同,但可以化成相同。
5.要注意区别(ab)n与(a+b)n意义是不同的,不要误以为(a+b)n=an+bn(a、b均不为零)。
6.积的乘方法则:
积的乘方,等于把积每一个因式分别乘方,再把所得的幕相乘,即
(ab)nanbn(n为正整数)。
7.幕的乘方与积乘方法则均可逆向运用。
五•同底数幕的除法
1.同底数幕的除法法则:
同底数幕相除,底数不变,指数相减,即amanamn(a工
0,m、n都是正数,且m>n).
2.在应用时需要注意以下几点:
1法则使用的前提条件是“同底数幕相除”而且0不能做除数,所以法则中a^0.
2任何不等于0的数的0次幕等于1,即a01(a0),如1001,(-2.5°=1),则0°无意
义•
3
任何不等于0的数的-p次幕(p是正整数),等于这个数的p的次幕的倒数,即
ap
4运算要注意运算顺序
六.整式的乘法
1.单项式乘法法则:
单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,连同它的指数作为积的一个因式。
单项式乘法法则在运用时要注意以下几点:
1积的系数等于各因式系数积,先确定符号,再计算绝对值。
这时容易出现的错误的
是,将系数相乘与指数相加混淆;
2相同字母相乘,运用同底数的乘法法则;
3只在一个单项式里含有的字母,要连同它的指数作为积的一个因式;
4单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用;
5单项式乘以单项式,结果仍是一个单项式。
2•单项式与多项式相乘
单项式乘以多项式,是通过乘法对加法的分配律,把它转化为单项式乘以单项式,即单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。
单项式与多项式相乘时要注意以下几点:
1单项式与多项式相乘,积是一个多项式,其项数与多项式的项数相同;
2运算时要注意积的符号,多项式的每一项都包括它前面的符号;
3在混合运算时,要注意运算顺序。
3.多项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘,先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。
多项式与多项式相乘时要注意以下几点:
1多项式与多项式相乘要防止漏项,检查的方法是:
在没有合并同类项之前,积的项数应等于原两个多项式项数的积;
2多项式相乘的结果应注意合并同类项;
3对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘
(xa)(xb)x2(ab)xab,其二次项系数为1,一次项系数等于两个因式中常数项的和,常数项是两个因式中常数项的积。
对于一次项系数不为1的两个一次二项式
(mx+a和(nx+b)相乘可以得到(mxa)(nxb)mnx2(mbma)xab
七.平方差公式
1.平方差公式:
两数和与这两数差的积,等于它们的平方差,
即(ab)(ab)a2b2。
其结构特征是:
①公式左边是两个二项式相乘,两个二项式中第一项相同,第二项互为相反数;
②公式右边是两项的平方差,即相同项的平方与相反项的平方之差。
八.完全平方公式
1.完全平方公式:
两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍,
即(ab)2a22abb2;
口决:
首平方,尾平方,2倍乘积在中央;
2.结构特征:
1公式左边是二项式的完全平方;
2公式右边共有三项,是二项式中二项的平方和,再加上或减去这两项乘积的2倍。
3.在运用完全平方公式时,要注意公式右边中间项的符号,以及避免出现(ab)2a2b2这样的错误。
九.整式的除法
1.单项式除法单项式
单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式;
2.多项式除以单项式多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以单项式,再把所得的商相加,其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式,所得商的项数与原多项式的项数相同,另外还要特别注意符号。
(1)填空题(每小题2分,共计20分)
1.x=(—x3)2•=x12十x()【答案】x4;2.
2.4(m—n)3*(n—m)2=.【答案】4(m—n).
3.—x2•(—x)3•(—x)2=.【答案】x7.
4.(2a—b)()=b2—4a2.【答案】—2a—b.
5.(a—b)2=(a+b)2+.【答案】—4ab.
6.(-)—2+?
°=;4101x0.2599=.【答案】10;16.
3
7.202x191=()•()=.【答案】20+-,20—-,399-.
33339
8.用科学记数法表示—0.0000308=.
【答案】—3.08x10—5.
222
9.(x—2y+1)(x—2y—1)=()—()=.
2
【答案】x-2y,1x-4xy+4y.
z_xn22nzx/3、25z437zx2n—33—n3n—6
(A)a•a=a(B)(a)=a(C)x•x•x=x(D)a十a=a
【答案】D.
12.x21*1可写作()
(A)(x2)时1(B)(X。
2+1(C)x•x21(D)(X。
n*1【答案】C.
13.下列运算正确的是()
344
(A)(-2ab)•(-3ab)=—54ab
(B)5x•(3x)=15x
237
(C)(—0.16)•(—10b)=—b
1
(D)(2X10n)(—X10n)=1021【答案】D.
2
14•化简(anbn)n,结果正确的是()
(A)a2nbmn(B)an2bmn(C)an2bmn(D)a2nbm"
【答案】C.
15.若a^b,下列各式中不能成立的是()
(A)(a+b)=(—a—b)(B)(a+b)(a—b)=(b+a)(b—a)
(C)(a—b)2n=(b—a)2n(D)(a—b)3=(b—a)3
【答案】B.
16.下列各组数中,互为相反数的是
()
(A)(-2)—3与23(B)(-2)—2与2-2
(C)-33与(-1)3(D)(-3)-3与(-)3
33
【答案】D.
17.下列各式中正确的是
()
22
(A)(a+4)(a-4)=a-4(B)(5x—1)(1-5x)=25x-1
(C)(-3x+2)2=4-12x+9x2(D)(x—3)(x-9)=x2-27
【答案】C.
18.如果x2-kx-ab=(x-a)(x+b),则k应为()
(A)a+b(B)a—b(C)b—a(D)—a—b
【答案】B.
(3)计算(每题4分,共24分)
19.
(1)(-3xy2)3•(丄x3y)2;【答案】一3x9y8.
64
22/2433152164
(2)4ax•(axy)*(axy);【答案】一axy.
525
(3)(2a-3b)2(2a+3b)2;【答案】16a4-72a2b2+81b4.
(4)(2x+5y)(2x-5y)(-4x2-25y2);【答案】625y4-16x4.
(5)(20an—2bn-14an-1bn+1+8a2nb)宁(-2an—3b);【答案】一10abn—1+7a2bn-4an+3.
(6)(x—3)(2x+1)-3(2x-1)
【答案】—10x2+7x-6.
20•用简便方法计算:
(每小题3分,共9分)
2
(1)98;
【答案】(100-2)2=9604.
(2)899X901+1;
2
【答案】(900-1)(900+1)+1=900=810000.
、,10、2002,、1000
(3)(-)•(0.49)
7
(四)解答题(每题6分,共24分)
【答案】-41.
a2b2
22.已知a+b=5,ab=7,求,a2-ab+b2的值.
2
【答案】
a2b2121z_.x2.11
一[(a+b)2ab]一(a+b)ab一
2222
2
a-
22
ab+b=(a+b)—3ab=4.
23.已知(a+b)2=10,(a-b)2=2,求a2+b2,ab的值.
【答案】a2+b2=1[(a+b)2+(a—b)]=6,
2
ab=1[(a+b))+(a—b)2]=2.
4
24.已知a2+b2+c2=ab+bc+ac,求证a=b=c.
【答案】用配方法,a2+b2+c2—ab—bc—ac=0,二2(a2+b2+c2—ab—ac—bc)=0,
即(a—b)2+(b—c)2+(c—a)2=0.aa=b=c.
(5)解方程组与不等式(25题3分,26题4分,共7分)
25(x1)(y5)x(y2)0.(x4)(y3)xy3.
7
【答案】x3y2.
26.(x+1)(x2—x+1)—x(x—1)2v(2x—1)(x—3).
【答案】x>—1.
3
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