整理第二章 平面力系的平衡与计算.docx

整理第二章 平面力系的平衡与计算.docx

《整理第二章 平面力系的平衡与计算.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《整理第二章 平面力系的平衡与计算.docx（43页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

整理第二章平面力系的平衡与计算

第二章平面力系的平衡计算

概述

作用在物体上各个力的作用线若都处在同一平面内，则这些力所组成的力系称为“平面力系”。

平面力系中包含两种最基本的力系：

平面汇交力系和平面力偶系。

除平面基本力系之外的平面力系，统称为平面一般力系。

平面任意力系在工程实际中应用最为常见，许多实际问题都可以简化为平面力系来处理。

本章主要研究平面基本力系的合成与平衡、平面任意力系的简化和平衡、物体系统的平衡问题，并介绍静定与超静定问题及摩擦问题的概念。

第一节平面汇交力系的合成与平衡

平面力系中，若力的作用线在同一平面内且汇交于一点，这样的力系叫做平面汇交力系。

图2-1表示用钢索吊起重物，铁环A受到三个力FT1、FT2和FT3的作用，三力作用线汇交于

A点，构成平面汇交力系。

一、平面汇交力系合成与平衡的几何法

1、平面汇交力系合成的几何法

如图2-2（a），设刚体上作用有三个力F1、F2、F3，且三力汇交于一点O，求它们的合力。

具体做法是：

（1）选定比例尺，沿F1方向作有向线段ab表示力F1。

a为F1始端，b为F1终端（图2-2b）。

由b点按同样比例尺沿F2方向作有向线段bc表示F2。

（2）连ac，矢量ac就是力F1、F2两力的合力FR12，由比例尺可量出它的大小。

（3）由c作有向线段cd，其大小为F3的数值，方向沿F3。

（4）连ad，有向线段ad就是合力FR。

实际上，通常只是求三力合力FR，因而F1、F2两力的合力FR12可不必作出。

这样只要将力系中的各力矢量首尾相接得一开口多边形，最后由第一力矢量的始端到最后一力矢量的终端连一矢量，即开口多边形的封闭边就是平面汇交力系的合力。

根据一般规律，可以将上述方法推广到由n个力组成的平面汇交力系的情况，得到如下结论：

平面汇交力系的合成结果为一合力，合力的作用线通过力系的汇交点，合力的大小和方向等于以各力为边的力多边形的封闭边。

这种用几何作图法求平面汇交力系合力的方法称为力的多边形法。

平面汇交力系的合力也可用矢量求和的形式给出：

FR=F1+F2+F3+……+Fn=∑F（2－1）

用力多边形法求合力时要注意：

要按同一比例尺画各力，力的方向要正确；各力相加的次序可以不同，但一定要使力矢量首尾相接；合力矢量一定是第一力的始端，指向最后一力的末端；

合力的大小和方向（FR与水平方向的夹角）可以从图中直接量取（FR的量取值需乘以比例尺），也可用几何及三角中的公式，如正、余弦定理等求解。

2、平面汇交力系平衡的几何条件

由于平面汇交力系的合成结果为一合力，因而刚体在平面汇交力系作用下平衡的充分必要条件是：

汇交力系的合力为零。

以矢量的形式表示为：

FR=0或∑F=F1+F2+F3+……+Fn=0（2－2）

因为平面汇交力系的合力可由力多边形的封闭边表示，若力系为平衡力系，则封闭边长度为零。

这说明平面汇交力系平衡的几何条件是：

力多边形自行封闭，即力系中各力首尾相接构成一封闭多边形。

平面汇交力系的平衡条件可以用来求约束反力。

例2-1如图2-3，起重机横梁AB与拉杆BC用铰链连接，并用固定铰支座连接在竖直壁上。

已知FP=1000N，作用于梁AB中点，梁及拉杆的自重不计，求B、C及A处的约束反力。

解：

（1）取AB梁为研究对象。

AB梁受有重物FP的作用，B处受BC杆的作用，BC杆为二力杆（受拉），因而AB梁在B处受到的约束力FT沿BC杆方向，由B指向C，并与FP的作用线交与一点O。

AB梁在A处受有约束反力FA，由三力平衡汇交定理可知，FA作用线通过O点沿AO方向。

所以AB梁在平面汇交力系作用下平衡。

（2）画AB梁受力图，见图2-3（b）；

（3）画力多边形，求解未知量。

由于平面汇交力系平衡时，力多边形自行封闭，所以按比例尺先画出ab=FP，由FT、FA与FP夹60°角，画出封闭三角形如图2-3（c）所示，根据力矢量首尾相接的原则定出FA的指向为从A指向O。

显然，△abc为等边三角形，FA=FT=FP=1000N，方向如图。

由上例可以总结出利用平衡的几何条件解题的步骤：

1、由题意选取适当的平衡物体作为研究对象；

2、画该物体的受力图。

分析研究对象的受力情况，画上主动力。

根据约束的性质及利用二力平衡公理和三力平衡汇交定理画约束力；

3、作力多边形。

先画已知力，根据平衡的几何条件使力多边形封闭，就可以得到表示未知力大小和方向的向量线段；

4、用比例尺、量角器或三角公式确定未知力的大小和方向。

二、平面汇交力系合成与平衡的解析法

平面汇交力系合成与平衡的解析法，是通过力矢量在坐标轴上的投影来分析力系的合成及其平衡条件。

1、平面汇交力系合成的解析法：

利用力在直角坐标系上的投影，计算其合力的大小，确定合力的方向。

设由n个力组成的平面汇交力系作用于一个刚体上，以汇交点O作为坐标原点，建立直角坐标系xOy，如图2-4所示。

根据力的投影规律及合力投影定理可知，合力FR的大小为：

（2－3）

合力FR的方向为：

α为FR与x轴的夹角。

2、平面汇交力系平衡条件的解析形式：

前面已指出，平面汇交力系的充要条件是该力系的合力为零，即FR=0。

由式2-3可知，要使

，必须也只须：

（2－4）

即平面汇交力系平衡的解析条件是：

力系中所有力在直角坐标系xOy中各轴上投影的代数和分别等于零。

3、平面汇交力系合成与平衡解析法的应用

平面汇交力系合成与平衡的解析法是求解静力学平衡问题的基本方法。

以下举例说明它的应用。

例2-2固定于墙内的环形螺钉上，作用有3个力F1、F2、F3，各力的方向如图2-5所示，各力的大小分别为F1=3kN，F2=4kN，F3=5kN。

试求螺钉作用在墙上的合力。

解：

从图2-5（a）中可以看到，三个力F1、F2、F3属平面汇交力系，汇交点为O。

显然，它们合成的结果是一个合力。

因此，用力在坐标轴上投影的方法解此题较方便，坐标系原点就选择在汇交点O处。

见图2-4（b），显然：

由此可求出合力FR的大小和方向。

由式2-3得到：

由于Fx为正值，而Fy为负值，所以FR在第四象限。

例2-3如图2-6（a）所示，已知圆球重G=100N，不考虑摩擦，试求绳和斜面的约束反力。

解：

取圆球为研究对象，画受力图。

圆球受力有重力G、绳的约束力FT、和斜面的约束力FN，这些力形成一平面汇交力系，见2-6（b）。

选择坐标系Oxy，列平衡方程：

解得：

此题若选择图2-6（c）所示的坐标系Oxy，则应列出的平衡方程为：

在这种情况下，每一个平衡方程均有两个未知力，只能联立求解，才能得到本题的答案。

由此可见，选择垂直于未知力的投影轴，会使计算更简便。

例2-4图2-7为一起重装置，吊起重物G=2kN，∠CAD=30°，∠ABC=60°,∠ACB=

30°,求杆AB和AC受的力。

解：

首先分析各部分受力情况。

AB、AC杆为二力杆，分别受拉、受压，杆端约束沿杆轴线；滑轮受到AB、AC杆的作用力及绳索的作用力，不计摩擦，FT1=FT2=G。

由于滑轮半径很小，因而可近似认为滑轮所受力系为平面汇交力系。

（1）以滑轮A为研究对象，画它的受力图（图2-7c）；

（2）建立坐标系，以A为原点，x轴与未知力FTBA垂直；

（3）列平衡方程并求解：

由∑Fx=0：

FTCA―FT2cos30°―FT1cos30°=0，将FT1=FT2=G带入，则

FTCA=2Gcos30°=3.46kN；

由∑Fy=0：

FTBA+FT2cos60°―FT1cos60°=0，将FT1=FT2=G带入，则

FTBA=0

即：

杆AB不受力，杆AC受压力3.46kN。

由以上例子总结出用解析法解平面汇交力系的平衡问题的步骤：

①对系统各部分进行分析，确定研究对象，画受力图。

有时只取一个研究对象不能把欲求的未知力确定下来，因而要找几个不同的研究对象；

②建立坐标系。

选择适当的坐标系，可以使解题简单。

例如，可使坐标系与某一未知力垂直；

③列平衡方程并求解。

注意各力在坐标系的投影的正、负号。

第二节平面力偶系的合成与平衡

作用在物体上同一平面内的若干力偶，统称为平面力偶系。

1、平面力偶系的合成

设一平面内作用两个力偶（F1、F1′）及（F2、F2′），如图2-8（a）所示。

根据力偶的性质可将两个力偶等效地换成力臂相等的两个力偶，然后在平面内平移，从而得到图2-8（b）所示的两个力偶（P1、P1′）及（P2、P2′），并且：

M1（P1、P1′）=P1d=F1d1

M2（P2、P2′）=P2d=F2d2

由于P1、P2与P1′、P2′分别共线，故可求出其合力为：

R=P1+P2

R′=P1′+P2′

R、R′构成一力偶，如图2-8（c）所示，它的力偶矩为：

M=Rd=（P1+P2）d=P1d+P2d=M1+M2

即同一平面内两个力偶的合力偶矩等于各个力偶矩的代数和。

一般地，设平面上有n个力偶作用，力偶矩分别为M1、M2……Mn，则合力偶的力偶矩为：

M=M1+M2+……Mn=∑M（2－5）

这就是平面力偶系的合力矩定理：

平面力偶系可合成为一个合力偶，合力偶矩等于力偶系各力偶矩的代数和。

2、平面力偶系的平衡条件

平面力偶系合成结果为一力偶，若此力偶矩为零，则系统平衡。

故平面力偶系平衡的充分必要条件是：

力偶系中各力偶矩的代数和为零。

即：

∑Mi=0（2－6）

例2-5用多轴钻床在水平工件上钻孔时，每个钻头对工件施加一压力和一力偶。

如图2-9所示，已知图中三个力偶分别为M1=10Nm，M2=10Nm，M3=20Nm，固定螺栓A和B之间的距离L=0.2m，求螺栓受到的水平力。

解：

（1）取工件为研究对象，分析其受力情况。

工件在水平面内受有三个主动力偶和两

个定位螺栓的水平反力，在它们的共同作用下处于平衡。

根据力偶的性质，反力FNA与FNB必然组成一力偶，且与上述三个力偶相平衡。

（2）列平衡方程由∑Mi=0：

FNAL―M1―M2―M3=0

方向如图所示。

而螺栓所受之力与该两力大小相等，方向相反。

例2-6梁AB受力偶作用，如图2-10所示。

已知M1=200kNm，M2=100kNm，梁跨长L=5m，求A、B支座反力。

解：

（1）取梁AB为研究对象，进行受力分析。

梁受的主动力均为力偶，因而平衡时，A、

B处的反力也必组成一力偶，即FA与FB沿铅垂方向，大小相等、方向相反。

画受力图2-10（b）。

（2）列平衡方程由∑Mi=0：

FAL+M1―M2=0

“－”号说明FA的指向与图示假设方向相反，应竖直向上；自然FB也与图示方向相反，应竖直向下。

第三节平面任意力系的简化及简化结果讨论

一、平面任意力系的概念

力系中各力的作用线都在同一平面内，它们既不汇交于一点，也不全部平行，这种力系称为平面任意力系（简称平面力系）。

如图2-11所示的悬臂吊车的横梁，受到载荷Q、重力G、支座反力FAx、FAy和拉杆CB拉力T的作用，这些力的作用线均分布在同一平面内，它们不完全汇交于同一点，彼此间也不完全平行，显然这个力系就是平面任意力系。

平面任意力系是工程上最常见的力系，很多工程实际问题都可以简化为平面任意力系来处理。

二、平面任意力系的简化

设一刚体上作用有n个力组成的一平面任意力系F1、F2、……Fn，如图2-12（a）所示。

今在力系所在的平面内任意取一点O，称为简化中心，根据力的平移定理，将力系中的各力向O点平移，得到一个作用线通过O点的平面汇交力系F1′、F2′……Fn′和一个平面附加力偶系M1、M2……Mn，如图2-12（b）所示。

这两个力系对刚体的作用效应与原力系等效。

1、平面汇交力系F1′、F2′……Fn′，可以合成为一个作用于O点的合矢量FR′，如图2-12（c）所示。

即：

（2－7）

它等于力系中各力的矢量和。

显然，单独的FR′不能和原力系等效，故称它为力系的主矢。

力系的主矢FR′完全取决于原力系中各力的大小和方向，与简化中心O的位置无关。

将（2－1）式向x、y轴投影可得：

（2－8）

主矢的大小：

（2－9）

主矢的方向：

，其中夹角α（FR′，x）为锐角，FR′的指向由ΣFx、ΣFy的正负号决定。

2、附加力偶系M1、M2……Mn可以合成为一个合力偶Mo，即：

（2－10）

显然，单独的Mo也不能和原力系等效，故称其为原力系的主矩。

因为主矩等于原力系各力对简化中心O之矩的代数和，当选择不同的点作为简化中心时，各力对简化中心的力矩也将改变，所以主矩与简化中心的位置选择有关。

综上所述，平面任意力系可以向其作用平面内任一点进行简化，简化结果得到一个主矢

FR′和一个主矩Mo。

主矢和主矩是决定力系对刚体作用效应的两个重要物理量，它们加在一起才等效于原力系对刚体的作用。

三、平面任意力系简化结果的讨论

平面任意力系的简化，一般可得到主矢FR′和主矩Mo，但它不是简化的最终结果，最终结果有以下四种情况：

1、FR′≠0，Mo=0

表明原平面力系简化为一个合力，且合力作用线通过简化中心；

2、FR′=0，Mo≠0

表明原平面力系简化为一个力偶。

此时无论取平面上哪一点为简化中心，结果都是一个力偶矩不变的力偶；

3、FR′≠0，Mo≠0

根据力的平移定理逆过程，可以把主矢FR′和主矩Mo合成为一个合力FR，合成过程如图2-13所示。

合力FR的作用线到简化中心O的距离为：

（2－11）

4、FR′=0，Mo=0

表明原平面力系为一平衡力系，此时受力物体处于平衡状态。

四、平面任意力系简化的工程实例应用

1、合力矩定理

从图2-13（c）可以看出，合力FR对简化中心之矩为：

MO（FR）=FRd

利用（2-4）式和（2-5）式，可以得到：

MO（FR）=∑MO（F）

这一结果表明：

平面任意力系的合力对平面内任一点之矩等于该力系中各个力对同一点之矩的代数和。

此结论称为平面任意力系的合力矩定理。

应用合力矩定理，可以使力对点之矩的计算更为简便。

例如，为求图2-14中作用在支架上C点的力F对A点之矩，可以将力F沿水平和垂直方向分解为Fx和Fy，然后由合力矩定理，得到：

MA（F）=MA（Fx）+MA（Fy）=－（Fcosα）b+（Fsinα）a

此外，应用合力矩定理，还可以确定合力作用线的位置。

2、固定端约束反力

固定端约束常见于工程结构中。

如以焊接或其它方式固结于立柱上的横梁所受的约束，金属切削车床刀架对于车刀杆的约束，车床卡盘对于工件的约束等。

被约束物在联接处既不能移动也不能转动，是完全固定的。

固定端约束处的实际约束力比较复杂，但作受力分析时只需根据平面任意力系的简化理论，就可求得这些力对约束处的简化结果。

现以图2-15（a）所示之悬臂梁为例分析之。

作为固定端约束，墙对于梁的嵌入部分作用有分布较为复杂的约束力，这些力的大小、方向及数量都无法确定，如图2-15（b）所示。

但无论约束力如何分布，当主动力为平面力系时，这些力也将组成平面力系。

应用平面任意力系的简化理论，将分布的约束力向固定端A点简化，得到一个力FA和一个力偶MA。

力FA用水平和垂直方向的分量FAx和FAy表示。

FA和MA分别称为约束力和约束力偶，见图2-15（c）。

固定端的约束有多种多样，但简化后都可以用图2-15（c）中的约束力和约束力偶表示其约束力。

例2-7图2-16所示的刚性圆轮上所受复杂力系可以简化为一摩擦力F和一力偶矩为M的力偶（方向如图中所示）。

已知F=2.4kN。

今欲使F和M向B点简化的结果只是沿水平方向的主矢FR′，而主矩为零，求力偶矩M的大小。

解：

由题意，将力F和力偶M向B点简化，根据式2-4得到：

式中，M的负号表示力偶为顺时针转向；

，

将其连同力F=2.4kN代入上式后解得：

M=0.93kNm。

第四节平面任意力系的平衡方程及其应用

一、平面任意力系的平衡方程

前面分析了平面任意力系简化的结果是一个主矢和一个主矩，二者分别使得物体具有移动和转动的效应。

静力学主要研究物体在外力作用下处于平衡状态。

所谓“物体处于平衡状态”是指：

物体相对于地面保持静止或做匀速直线运动的状态。

只有当平面任意力系的主矢和对任意点的主矩同时为零时，力系既不能使物体发生移动也不能使物体发生转动，此时物体处于平衡状态。

因此，平面任意力系平衡的充要条件为：

（2－12）

所以平面任意力系的平衡方程为：

（2－13）

式（2－6）满足平面任意力系平衡的充分和必要条件。

所以平面任意力系有三个独立的平衡方程，最多能求解三个未知量。

二、平面任意力系的平衡方程的应用举例

平面任意力系的平衡问题在工程实际中极为常见是物体静力分析的重点。

它包括单个物体和由多个物体组成的物体系统的平衡问题。

本节主要讨论单个物体平衡问题的求解。

其要点和步骤是：

1、取研究对象，画分离体的受力图；

2、选择适当的坐标轴和矩心。

选择投影轴和矩心的技巧是：

尽可能使多个未知力与投影轴垂直，尽可能把未知力的交点作为矩心，这样方便解题，可以做到列一个方程解一个未知量，避免联立解方程；

3、列平衡方程；

4、解平衡方程，求解未知量。

例2-8外伸梁如图2-17（a）所示，F=qa/2,M=2qa2。

已知q、a,求A、B两点的约束反力。

解：

取AB梁为研究对象，画受力图如图2-17（b）所示。

其中，均布载荷q简化为作用于D点的一个集中力FQ，FQ=3qa；FA，FBx和FBy为三个待求的未知量，用三个独立的平衡方程即可求解。

建立坐标系Bxy。

注意，这里的平面直角坐标系已隐含在力的取向中，故未画出。

列平衡方程：

又：

由ΣFx=0，FBx=0

由ΣFy=0，FA+FBy－FQ－F=0

将FA、FQ、F的大小带入后解得：

FBy=2qa。

从以上例题的分析和运算过程可以看出：

在有三个未知量的平面任意力系中，为了少联立或不联立解方程，只要先把两个未知力的交点作为矩心去建立力矩方程，就能求出第三个未知量，再列力的投影方程，求出其余未知量。

另外，需要说明的是，在工程实际中，力系各力作用线严格处于同一平面内的情形并不多见。

在多数情况下，或者将力系近似看成在同一平面内，或者本身就是空间力系但却对称于某一平面，这时可将其简化到该平面内而成为平面力系。

例如直线匀速行驶的汽车，它受到的力有重力、驱动力矩、作用在车轮上的约束力（含摩擦力）、空气的阻力，这些力就可以简化到汽车的几何对称面内而作为平面力系处理。

例2-9摇臂吊车如图2-18（a）所示，水平梁承受拉杆的拉力FT。

已知梁的重力为G=4kN，载荷为W=20kN,梁长L=2m,拉杆倾角α=30°。

试求当载荷移动到离A铰的距离x=1.5m时,拉杆的拉力和铰链A的约束反力。

解：

取AB梁为研究对象，画受力图如图2-18（b）所示。

因FT可以分解为水平和垂直两个方向的分力，所以A、B两点各为两个未知力的汇交点。

经比较，取B点为矩心列出力矩方程计算较为简单。

即：

说明：

因FT、FAx、FAy的大小随x的变化而变化，所以当需要考虑AB梁的强度时，应从x值变化的全过程来考虑。

例2-10图2-19所示为一汽车起重机。

已知车重为G1,平衡配重为G2，各部分尺寸如图所示。

试求最大的起吊重量G3,和两轮间的最小距离（DE）min。

解：

取汽车起重机整体为研究对象，画受力图如图所示。

显然汽车起重机受平行力系作用，力在水平坐标轴上的投影为零，故只有两个独立的平衡方程，可解两个未知量。

此题实际上是起重机颠覆问题的求解。

若起重机颠覆，则平衡遭破坏，因此利用介于平衡与不平衡之间的临界状态即可求解。

当起重机工作时，随着起吊重量G3的增加，汽车绕支点D作逆时针方向倾倒的趋势逐渐增大，相应地后轮受地面支反力的作用逐渐减少。

设G3=G3max为满载时的情形，而汽车起重机处于将要左翻而又未翻的临界平衡状态，其后轮也不再受地面支持力的作用，即：

FNE=0;当G3=0时，即为空载情形，设DE=（DE）min，若配重过大，则汽车将绕支点E作顺时针倾倒，前轮不再受地面支持力的作用，FND=0。

由此分别写出FNE=0和FND=0这两种临界状态时的平衡方程：

由ΣMD（F）=0:

G3×4－G1×1.5－G2×（DE+2）=0

由ΣME（F）=0:

G1×（DE－1.5）－G2×2=0

由方程可知，两种情况下，DE值越大越不容易倾覆，∴临界状态时

DE=（DE）min,G3=Gmax。

解上述方程，得：

若设G1=G2=20kN，则有：

G3max=35kN，（DE）min=3.5m。

第五节物体系统的平衡

一、物体系统的平衡

前面所讨论的平衡问题，只涉及一个物体。

工程中常见的是由两个或两个以上的物体通过一定的约束方式连接组成的系统，这样的系统称为物体系统，简称物系。

在物体系统中，由于物体数目多、约束方式和受力情况复杂，往往只考虑整个系统、或系统的某个局部、或某一个物体的平衡，都不能解出全部未知力。

当物体系统平衡时，组成该系统的每一个局部系统、每一个物体也必然是平衡的。

因此，只要全面而恰当地考虑整体平衡与局部平衡，就可以解出全部未知力。

这就是物体系统平衡问题的特点。

例2-11图2-20（a）所示为曲轴冲床简图，由轮Ⅰ、连杆AB和冲头B组成。

已知OA=R,AB=L，不计摩擦和自重。

当OA处于水平位置、冲压力为F时，系统处于平衡状态。

求：

（1）作用在轮Ⅰ上的驱动力矩M；

（2）轴承O处的约束力；（3）连杆AB受的力；（4）冲头给导轨的侧压力。

解：

（1）首先以冲头为研究对象。

冲头受冲压阻力F、导轨的约束力FN以及连杆（二力杆）的作用力FT。

见图2-20（b），为一平面汇交力系。

设连杆与铅垂方向夹角为φ，按图示坐标轴列平衡方程：

冲头对导轨的侧压力的大小等于FN，方向相反。

（2）再以轮Ⅰ为研究对象。

轮Ⅰ受平面任意力系作用，包括矩为M的力偶，连杆作用力FT，以及轴承的约束力FOx、FOy，见图2-20（d）。

按图示坐标轴列平衡方程：

负号说明力FOx、FOy的方向与图中假设的方向相反。

二、静定与超静定问题的概念

前面所研究的问题，作用在刚体上的未知量的数目正好等于独立平衡方程的数目，可由平衡方程求出全部的未知量，这类问题称为静定问题。

实际工程结构中，为了提高结构的强度和刚度，增加承载能力，常常在静定的结构上，增加一些构件或约束，这样就出现了作用在刚体上的约束未知量数目多于对应的独立平衡方程数目，仅用静力平衡方程不可能求出所有的未知量，这类问题叫做静不定或超静定问题。

如图2-21，增加了C点的约束后，由于位置量变为4个，而独立的静平衡方程仍为3个，属超静定问题。

对于超静定问题，仅靠独立平衡方程不能求出全部未知量，但并不是说就无法求解了,只是在静力学中我们研究的对象是刚体，忽略了物体受力后的变形问题，使得问题的研究无法深入下去。

而在后续的材料力学中，将着重考虑物体受力后的变形问题，只要补充建立变形与作用力之间的关系式，使