课例分析《鸡兔同笼》.docx

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课例分析《鸡兔同笼》

课例分析《鸡兔同笼》

3.在解决问题的过程中，培养学生的思维能力，并向学生渗透转化、函数等数学思想和方法。

教学重点：

尝试用不同的方法解决鸡兔同笼问题，体会用假设法和方程法解决问题的优越性。

教学难点：

理解用假设法解决鸡兔同笼问题的算理

教学过程

一、创设情境，生成问题

1、同学们，看老师手里是什么（硬币），有数字1的一面，我们叫（正面）;没有1的一面，我们叫（反面）;老师抛硬币想想它是哪面朝上?

我们来看看是哪面朝上，你们是怎么知道的呢?

（我们是猜的）同学们真会猜，这节课呢同学们就大胆的猜一猜请。

看大屏幕。

2、课件出示

（1）鸡兔同笼，有2个头，共6条腿，几只鸡，几只兔?

（验证）

（2）鸡兔同笼，有3个头，共8条腿，几只鸡，几只兔?

（验证）

同学们真了不起，还愿意继续猜吗?

3.出示原题

师：

同学们，我们国家有着几千年的悠久文化，在我国古代更是产生了许多位数学家和许多部数学著作，《孙子算经》就是其中一部，大约产生于一千五百年前，书中记载着这样一道有名的数学趣题（课件出示《孙子算经》中的原题）：

今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何?

（1）.理解题意

师：

同学们知道这道题的意思吗?

请试着说一说。

生：

这道题的意思是现在，鸡和兔在一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，问鸡和兔各有多少只?

师：

这道题的意思正如同学们所想的一样，也就是：

（课件出示）笼子里有若干只鸡和兔，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，鸡和兔各有多少只?

（2）.揭示课题

师：

这就是著名的鸡兔同笼问题，也正是这节课要研究的问题。

【设计意图：

师利用学生感兴趣的抛硬币的游戏引入，不仅调动了学生学习的积极性，而且激发了探究的兴趣和动机。

老师又利用我国古代数学名著中的数学趣题的学习，让学生受到了数学文化的悠久与魅力，明确了本节课学习的目的与要求。

导入新课的方式多种多样，惟有适合学生学习所需的才是最佳。

】

二、探究交流、解决问题

1.出示例1

师：

为便于研究，我们可先从简单问题入手，把题中的35个头和94只脚分别换成8个头和26只脚，就变成了例1：

笼子里有若干只鸡兔。

从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚，鸡和兔各有几只?

2.理解题意.

我们一起来看看被关在同一个笼子里的鸡和兔给我们带来了什么信息?

学生理解：

①鸡和兔共8只。

②鸡和兔共有26条腿。

③鸡有2条腿。

④兔有4条腿。

（课件出示）

3.探索策略

（一）猜想验证，

1、我们先来猜猜，笼子中可能会有几只鸡几只兔呢?

学生猜测，在猜测时要抓住哪个条件呢?

（鸡和兔一共是8只）那是不是抓住了这个条件就一定能猜对呢?

学生猜测，老师板书

2、怎样才能确定同学们猜的对不对?

（把鸡的腿和兔的腿加起来看等不等于26。

）

3、和学生一起验证，找出正确的答案。

列表法：

鸡的只数876543210

兔的只数012345678

共有腿数161820222426283032

先假设有8只鸡，0只兔子，腿就有16条。

腿太少，然后又假设有7只鸡，1只兔子，腿还是太少了。

这样试下去就得到了有3只鸡，5只兔子。

师：

学生说出7只鸡，1只兔子，问怎样计算出的腿数?

72+14=14+4=18

问3只鸡，5只兔子是26条腿吗?

32+54=6+20=26

师：

谁和他的方法一样?

能再讲讲吗?

师：

追问有些同学在填表时写出的腿数特别快，让我们采访一下有什么秘诀?

（因为鸡和兔的只数是固定的，每增加一只兔子减少一只鸡，腿的总只数就增加2。

反之依然，所以列表列得特别快。

）

4、像你们这样，采用列表的方法，不重复、不遗漏的写出所有可能的答案。

这种逐一列举的方法在数学中也称为列举法

5、你们觉得用猜想列表法解决鸡兔同笼问题怎么样?

（生：

麻烦，而且当头和脚的只数越多时，越不容易找出答案。

）

6、那我们还有研究新方法的必要。

【设计意图：

既鼓励学生大胆猜想，又能让学生体会到猜想法的局限性，还能激发学生探索解决问题新策略的兴趣，这样的教学正是新课程所需要的高效教学。

】

（二）尝试假设法

1、、为了研究老师把所有的可能按顺序列出来了，我们先看表格中左起的第一列，8和0是什么意思?

（就是有8只鸡和0只兔，也就是假设笼子里全是鸡，）那笼子里是不是全是鸡呢?

（不是）那就是把里面的兔也看成鸡来计算了，那把一只4条腿的兔当成一只2条腿的鸡来算会有什么结果呢?

（就会少算两条腿）（课件出示：

把一只兔当成一只鸡算，就少了两条腿。

）

2、假设全是鸡一共就有16条腿。

实际有26条腿，这样笼子里就少了10条腿，为什么会少了10条腿呢?

（把兔当了鸡在算。

一只兔当成一只鸡算少两条腿，那把几只兔当成了鸡算就会少算10条腿呢?

即10里面有几个2。

就把几兔当成了鸡算，5个2，用五只兔当成了鸡算，这个五就表示应该有5只兔）

3、上面的过程能用算式表示出来吗?

请同学们试试看。

（学生试着列算式，请一个学生到黑板上去板演。

）

4、假设全是鸡：

（板书）

82=16（条）（如果把兔全当成鸡一共就有82=16条腿）

26-16=10（条）（把兔看成鸡来算，4条腿兔有当成两条腿的鸡算，每只兔就少了两条腿，10条腿是少算了兔的腿）4-2=2（假设全是鸡，是把4条腿的兔有当成两条腿的鸡。

所以4-2表示是一只兔当成一只鸡就要少算2条腿。

）

102=5（只）兔（那把多少只兔当成鸡算就会少10条腿呢?

就看10里面有几个2就是把几只兔当成了鸡来算，所以102=5就是兔的只数。

）

8-5=3（只）鸡（用鸡兔的总只数减去兔的只数就是鸡的只数，8-5=3只鸡）

5、算出来后，我们还要检验算的对不对，谁愿意口头检验。

生：

32+54=26（只），5+3=8（只）。

师：

看来做对了，最后写上答语。

6、假设全是兔

7、、我们再回到表格中，看看右起第一列中的8和0是什么意思?

（笼子里全是兔）那是不是全都是兔呢?

（不是）也就是

假设笼子里全是兔。

那把兔当了鸡在算。

那就是把里面的鸡也当成兔来计算了，那把一只2条腿的鸡当成一只4条腿的兔来算会有什么结果呢?

（就会多算两条腿）（课件出示：

把一只鸡当成一只兔算，就多了两条腿）

8、先用假设全是鸡的办法解决了这个问题，现在假设全是兔又应该怎么分析和解决这个问题呢?

同学们能自己解决吗?

如果有困难可以同桌或小组讨论。

（学生讨论写算式，然后指名板演。

）

84=32（条）（如果把鸡全看成兔一共就有8*4=32条腿）

32-26=6（条）（把鸡当成兔来算，两条腿的鸡当成4条腿兔算，每只鸡就多了两条腿，6条腿是多算了鸡的腿）

4-2=2（假设全是兔，是把两条腿的鸡当成有4条腿的兔。

所以4-2表示是一只鸡当成一只兔多算了2条腿。

）

62=3（只）鸡（那要把多少只鸡当成兔来算就会多算6条腿呢?

就看6里面有几个2就是把几只鸡当成了兔算，所以62=3就是现在鸡的只数。

）

8-3=5（只）兔

小结：

刚才我们假设都是鸡或都是兔，所以把这种方法叫做假设法。

这是解答鸡兔同笼问题的一种基本方法。

（板书：

假设法）

【设计意图：

让学生认识、理解、运用假设法是本节课的教学重点，也是教学难点。

为此，教师以表格中数据变化规律为探究基础，以小组合作、师生互动为探究方式，以课件动态演示为探究辅助手段，巧妙地将认知经验和思维过程转化成了数学语言，即数学算式，从而形成了解决问题的全新的一般策略，发展了学生的思维水平和推理能力。

】

（三）画图法

给每只动物先安上2条腿（也就是都看成鸡），这样一共用16条腿，还剩下10条腿。

一次增加2条腿，一只鸡就变成了一只兔，要把10条安完，要把5只鸡变成兔。

问：

谁听懂他的方法了?

能再说说吗?

你觉得这样做怎么样?

（结合课件演示）

师：

画图的方法非常便于观察、非常容易理解，但如果鸡兔只数很多时，就会不太适合。

（四）列方程解

在解决鸡兔同笼问题时，除了假设法外，还有别的方法吗?

（方程的方法）

要用列方程的方法就必须找到等量关系式。

通过得到到信息能写出哪些等量关系式呢?

（兔的只数+鸡的只数=8;兔的腿+鸡的腿=26条腿）（课件出示）

这里我们需要求兔的只数和鸡的只数，共有两个未知数。

那我们可以设一个未知数为X，再把另一个表示出来。

这道题我们可以设兔的知数为X只，根据兔和鸡共有8只。

那鸡的只数就可以表示成：

（8-X）只），因为一只鸡有2条腿，所以X只鸡就共有2X条腿。

一只兔有4只脚，（8-X）只兔就有4（8-X）只脚。

又因为鸡和兔共有26只脚，所以2X+4（8-X）=26

1、解：

设鸡有X只，兔有（8-X）只。

2X+4（8-X）=26

在解的时候可以根据等式的性质将减变成加，分别加上4X，再来解。

2、解：

设有兔X只，鸡有（8-X）只。

4X+2（8-X）=26

同样抽生说出自己想法。

那种方程好解一点，（设兔的只数为X好解点）所以我们可以设脚数多的兔为X，在解的时候容易一点。

列方程的重点是找出等量关系：

设头数，以脚数相等来列出方程;

[设计意图：

代数法是学生在五年级已学的旧方法，但运用到解决鸡兔同笼问题之中又是新策略。

教师以旧知识和旧方法为基础，放手让学生大胆尝试、自主探究，并抓住其中的疑难点设问，帮助学生真正理解过程、掌握方法、提升技能。

]

3.小结方法

（1）请同学们回忆一下，

在解决鸡兔同笼问题时，用到了哪些方法?

（猜想法，列表法，假设法和代数法。

）

（2）要你们解决《孙子算经》中原题，你现在会选用哪种方法呢?

（有的选择假设法，有的选择代数法。

）

师：

下面同学们就用自己喜欢的方法解决这个问题。

课件出示《孙子算经》中原题学生解答并集体讲评

请同学们想一想，在日常生活中还有哪些情况类似于鸡兔同笼问题?

学生举出实例：

如买了一些苹果和梨子，告诉苹果和梨子的单价和总数量，还有总的价钱，求

和梨分别买了多少千克。

自行车和汽车一共有几辆，一共有多少个轮子，求汽车

自行车分别有几辆。

师：

可见生活中类似于鸡兔同笼的问题有很多，这些问题都可用不同的数学方法来解决，课后可用我们喜欢的方法解决这些问题。

【设计意图：

在计算教学中，需要算法多样化，更需要算法的优化;同样，在解决问题教学中，需要策略多样化，更需要策略的优化。

发散思维与收敛思维应该兼顾并进。

但优化并不等于强加，优化也强调自主和需要过程。

在这里，教师对此都恰倒好处地予以了关照。

】

三、巩固应用，内化提高

1.课件出示做一做1

鸡兔同笼问题传到日本时就变成了龟鹤问题，你认为龟鹤问题与鸡兔同笼有什么相似之处?

课件出示（龟相当于兔，鹤相当于鸡）展示学生作业，并抽生说说思路。

2.看来鸡兔问题这类问题我们不只局限算鸡和兔的只数问题上，只要能用鸡兔同笼问题来解答的问题都可以统一叫做鸡兔同笼问题。

下面我们就用刚才学到的鸡兔同笼方法，来帮我们解决生活中遇到的一些实际问题。

3、课件出示做一做第二题。

问这道题与鸡兔同笼问题有相似的地方吗?

有哪些地方相似?

（大船相当于兔，小船相当于鸡）学生独立完成，集体讲评。

4.一辆汽车参加车赛，9天共行了5000公里。

已知它晴天每天行688公里，雨天平均每天行390公里。

在比赛期间，有几个晴天?

有几个雨天。

5、自行车和三轮车共10辆，总共有26个轮子。

自行车和三轮车各有多少辆?

6.一百个和尚吃一百个馒头，大和尚一人吃三个，小和尚三人吃一个。

大和尚有多少个?

小和尚有多少个?

【设计意图：

《孙子算经》中原题的解决，让学生进一步感受到了我国古代数学的魅力;放手让学生对生活中类似于鸡兔同笼问题的列举，让学生体会到了此类问题在现实中的广泛存在，进而凸显了本节课的学习价值，从课初的随意猜想到表格中的有序猜想，从一般验证到表格中数据变化规律的发现，从列表法很快自然联想到假设法、代数法，学生的思维经历了从无序到有序、从特殊到一般、从借鉴到创新、从肤浅到深刻等方面的巨大变化，学生的思维能力也随之得到了极大的提升。

】

四、回顾整理，反思提升

本节课你有什么收获?

那你知道早在一千五百年前的古人又是怎么解决鸡兔同笼问题的?

【设计意图：

引导学生进行回顾与反思，有利于学生对知识的巩固。

而对于五年级的学生来说，不但要养成反思的意识，更要学会如何去进行反思，这样一种能力是需要在老师一定的问题引领下，在反思与交流中培养出来的。

】

板书设计：

鸡兔同笼

1，列表法2，画图法

3，假设算术法4、列方程

教学反思：

鸡兔同笼问题是我国民间广为流传的数学趣题，最早出现在《孙子算经》中。

本节课主要是借助我国古代趣题鸡兔同笼这个题材，培养学生从多角度思考，运用列表法和假设法解决问题的能力。

因此本节课重在研究解决鸡兔同笼问题的方法和策略上。

在实际的教学中，我发现了以下几个问题：

1、我感觉多媒体课件虽然帮助学生非常直观的理解了假设法的这种思维过程，让复杂问题简单化了。

但我发现学生的思维过程只是停留在直观、表象这一层面，只有少数同学将这一思考过程内化成成为了自己的一种解决这类知识的模型。

2、在时间的安排上不够合理，导致本节课我并没有完成我预设的内容，导致最后没有时间来解决生活中的实际问题。

3、教学中出现的问题，学生表面上会做这一道题，却没有能力举一反三，解决鸡兔同笼这个模型中的其他题。

我感觉似乎方法都呈现了，但是几乎都是蜻蜓点水，没有一种方法是讲透讲实的。

4、应该在探究中学生发现和提出问题的能力得到培养，提出解决问题的能力以及表达思想和交流成果的能力，学会利用多种有效手段，通过多种途径获取信息的能力都有所增强。

在经历这一次听评课的过程后，我深深地感受到，我们期望的不仅仅是学生对于这一个知识点的学习，而是能感悟到