圆与直线的关系.docx
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圆与直线的关系.docx
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圆与直线的关系
第1课时24.1.1圆
编制人:
郭志备课组长年级组长
班级姓名课时授课时间
[学习目标](学什么!
)
1•理解圆的两种定义,理解并掌握弦、直径、弧、优弧、劣弧、半圆、等圆、等弧等基本概念,能够从图形中识别;(学习重点)
2•理解“直径与弦”、“半圆与弧”、“等弧与长度相等的弧”等模糊概念;(学习难点)
3•能应用圆的有关概念解决问题•
[学法指导](怎么学!
)
通过生活中圆形物体的感性认识,并自己动手操作画图,理解圆的定义,通过阅读教材理解圆
3.
(图
的相关概念并在图中识别,澄清相关概念,并能用相关概念来解决问题
[学习流程]
一、导学自习(教材P78-79)
(一)知识链接
1•自己回忆一下,小学学习过圆的哪些知识?
2•结合教材图24.1-1,说说生活中有哪些物体是圆形的?
并思考圆有什么特征?
(二)自主学习
1•理解圆的定义:
(阅读教材图24.1-2和图24.1-3,并自己动手画圆)
(1)描述性定义:
0
从圆的定义中归纳:
①圆上各点到定点(圆心0)的距离都等于;
②到定点的距离等于定长的点都在.
(2)集合性定义:
0
(3)圆的表示方法:
以0点为圆心的圆记作,读作.
(4)要确定一个圆,需要两个基本条件,一个是,另一个是,其中确定圆的位
2.圆的相关概念:
(1)弦、直径;
(2)弧及其表示方法;(3)等圆、等弧。
如图1,弦有线段,直径是,最长的弦是,优弧
有;劣弧有o
二、研习展评
活动
1.判断下列说法是否正确,为什么?
(1)直径是弦•()
(2)弦是直径.()
弧是半圆.()
(3)半圆是弧.()
等弧的长度相等.(
长度相等的两条弧是等弧.()
活动
OO的半径为2cm,
1
弦AB所对的劣弧为圆周长的一,贝VZAOB=
6
活动
已知:
如图2,OA、OB为LO的半径,C、D分别为0A、
求证:
(1)A=/B;
(2)AE=BE
A4
(图2)
活动4.如图,AB为OO的直径,CD是O0中不过圆心的任意一条弦,求证:
AB>CD
[课堂小结]
1.圆的两种定义:
⑴;
(2)
2•什么是弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧?
3.同圆或等圆的半径有什么性质?
[当堂达标]
1.教材P80练习1、2题
2•下列说法正确的有()
①半径相等的两个圆是等圆;
③过圆心的线段是直径;
A.1个B.2个
②半径相等的两个半圆是等弧;
④分别在两个等圆上的两条弧是等弧
C.3个D.4个
3.如图3,点A、0、D以及点B、0、C分别在一条直线上,则圆中有条弦.
4.0的半径为3cm,则L0中最长的弦长为
5.如图4,在ABC中,.ACB=90,•A=40,以C为圆心,
ACD的度数.
[拓展训练]
已知:
如图5,AB是OO的直径,
E=18。
,求Q及ZAOC的度数.
CB为半径的圆交AB于点D,求
CD是OO的弦,AB,
(图
[课后作业]
[学后反思]
第2课时24.1.2垂直于弦的直径
(1)
编制人:
郭志备课组长年级组长
班级姓名课时授课时间
[学习目标](学什么!
)
1.理解圆的轴对称性;
2•掌握垂径定理及其推论,能用垂径定理及其推论进行有关的计算和证明
:
d学法指导](怎么学!
)
本节课的学习重点是“垂径定理”及其应用,学习难点是垂径定理的题设和结论以及垂径定理的证明;学习中通过动手操作、观察、猜想、归纳、验证得出相关结论,并加以应用
[学习流程]
一、导学自习(教材P80-81)
1.阅读教材p80有关“赵州桥”问题,思考能用学习过的知识解决吗?
2•阅读教材p80“探究”内容,自己动手操作,发现了什么?
由此你能得到什么结论?
归纳:
圆是对称图形,都是它的对称轴;
3•阅读教材p80“思考”内容,自己动手操作:
按下面的步骤做一做:
(如图1)
第一步,在一张纸上任意画一个LO,沿圆周将圆剪下,作LO的一条弦AB;
第二步,作直径CD,使CD_AB,垂足为E;
第三步,将LO沿着直径折叠•
你发现了什么?
归纳:
(1)图1是对称图形,对称轴是_
(2)相等的线段有,相等的弧有.
(图
:
■、研习展评
活动1:
(1)如图2,怎样证明“自主学习3”得到的第
(2)个结论.
叠合法证明:
(2)垂径定理:
垂直于弦的直径弦,并且的两条弧•
定理的几何语言:
如图2VCD是直径(或CD经过圆心),且CD-AB
⑶推论:
活动2:
垂径定理的应用
如图3,已知在O中,弦AB的长为8cm,圆心0到AB的距离(弦心距)为3cm,求
Lo
的半径.(分析:
可连结0A,作0C-AB于C)
解:
小结:
(1)辅助线的常用作法:
连半径,过圆心向弦作垂线段。
(2)如图4,根据垂径定理和勾股定理,“半弦、半径、弦心距”构成
直角三角形,则r、d、a的关系为,知道其中任意两个量,
可求出第三个量•
[课堂小结]
1.垂径定理是,定理有两个条件,三个结
论。
2.定理可推广为:
在五个条件①过圆心,②垂直于弦,③平分弦,④平分弦所对的优弧⑤平分弦所
对的劣弧中,知推。
[当堂达标]
1.圆的半径为5cm,圆心到弦AB的距离为4cm,则AB=cm.
2.如图5,AB是OO的直径,CD为弦,CD_AB于E,则下列结论中不成立的是()
A.COE—DOEB.CE=DEC.OE=BED.BD=BC
3.如图6,CD为OO的直径,AB丄CD于E,DE=8cm,CE=2cm,贝VAB=cm.
B
(图
(图
(图6)
4.教材p82练习2题
[拓展训练]
已知:
如图7,AB是OO的直径,弦CD交AB于E点,BE=1,AE=5,ZAEC=30。
,求CD的
长.
[课后作业]
[学后反思]
第3课时24.1.2垂直于弦的直径
(2)
编制人:
郭志备课组长年级组长
班级姓名课时授课时间
[学习目标](学什么!
)
1•熟练掌握垂径定理及其推论;
2•能用垂径定理及其推论进行有关的计算和证明,进一步应用垂径定理解决实际问题
[学法指导](怎么学!
)
本节课的学习重点是“垂径定理及其推论”及其在实际问题中的应用,学习难点是分清垂径定理及其推论的题设和结论、垂径定理及其在实际问题中的应用;学习中通过对比理解垂径定理及其推论,应用中善于将实际问题转化为数学问题,培养建模思想和提高分析问题、解决问题的能力
[学习流程]
、导学自习(教材P80-81)
(图1)
1•垂径定理:
2.推论:
3.如图1,LO的直径为10,圆心0到弦AB的距离0M的长为3,则弦AB的长是_.
二、研习展评活动1:
垂径定理的实际应用怎样求p80赵州桥主桥拱半径?
解:
如图3,用AB表示主桥拱,设AB所在圆的圆心是点0,半径为R.
(图
归纳:
(1)如图4,半弦、半径、弦心距构成直角三角形,根据勾股定理可得
(2)在弦长a、弦心距d、半径r、弓形高h中,知道其中任意两个,可求出其它两个
活动2:
如图5,已知AB,请你利用尺规作图的方法作出
AB的中点,说出你的作法.
作法:
'图
B(图5)
[课堂小结]
1.本节课你有哪些收获?
2.你有什么收获和同学分享?
还有什么问题?
[当堂达标]
1.(长春中考)如图
6,AB是L0的直径,弦CD_AB,垂足为E,如果AB=20,CD=16,那
么线段OE的长为(
)圆心0到弦的距离0M的长为3,则弦AB的长是_—
(图
(图
2.如图乙在LO中,若AB_MN于点C,AB为直径,试填写出三个你认为正确的结论:
3.P为OO内一点,0P=3cm,OO半径为5cm,则经过P点的最短弦长为;?
最长弦长
为.
4.如图8,P为OO的弦AB上的点,PA=6,PB=2,OO的半径为5,贝VOP=.
5.
9所示,污水水面宽度
泸州市某居民区一处圆形下水管道破裂,修理人员准备更换一段新管道•如图
为60cm,水面至管道顶部距离为10cm,问修理人员应准备内径多大的管道?
解:
如图10,连接OA,过O作OE丄AB,垂足为E,交圆于F,
[拓展训练]
已知:
如图11,代B是半圆O上的两点,CD是OO的直径,・AOD=80,B是AD的中点.
⑴在CD上求作一点P,使得AP+PB最短;
(2)若CD=4cm,求AP+PB的最小值.
[课后作业]
[学后反思]
(图
(图
第4课时24.1.3弧、弦、圆心角
编制人:
郭志备课组长年级组长
班级姓名课时授课时间
[学习目标](学什么!
)
1.理解圆心角的概念,掌握圆的旋转不变性(中心对称性);
2•掌握圆心角、弧、弦之间的相等关系定理及推论,并初步学会运用这些关系进行有关的计算和证明.
[学法指导](怎么学!
)
本节课的学习重点是理解并掌握圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题,学习难点是圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明;学习中通过动手操作、观察、比较、猜想、推理、归纳等活动,发展推理能力以及概括问题的能力。
[学习流程]
一、导学自习(教材P82-83)
(一)知识链接
1.是中心对称图形.(自己叙述)
2•要证明两条弧相等,到目前为止有哪两种方法?
(1)
(2)
(二)自主学习
1.顶角在的角叫做圆心角•
2.圆既是轴对称图形,又是对称图形,它的对称中心是.实际上,圆绕其圆心旋转
任意角度都能够与原来的图形重合,因此,圆还是对称图形•
二、研习展评
活动1:
(1)阅读教材P82“探究”内容,动手操作:
(可以把重合的两个圆看成同圆)
1在两张透明纸上,作两个半径相等的O0和OO,沿圆周分别将两圆剪下;
2在O0和OO上分别作相等的圆心角.AOB和.AOB',如图1所示,圆心固定.
注意:
在画.AOB与.AOB'时,要使0B相对于0A的方向与0B相对于0A的方向一致,否则当
0A与0A,'重合时,0B与0B,不能重合.
通过上面的做一做,你能发现哪些等量关系?
同学们互相交流一下,说一说你的理由.
(2)猜想等量关系:
•
(3)(利用圆的旋转不变性)验证:
(4)归纳圆心角、弧、弦之间关系定理:
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧,所对的
弦。
(5)推
论:
。
活动2:
下面的说法正确吗?
若不正确,指出错误原因.
(1)如图2,小雨说:
“因为A'B'和AB所对的圆心角都是•0,所以有A'B'=AB.”
⑵如图3,小华说:
因为
AB二CD,所以AB所对的AB等于CD所对的CAD.
活动3:
如图4,在OO中,AB二AC,ACB=60,求证:
AOBAOCBOC•
(分析:
根据圆心角、弧、弦之间关系定理,欲证
证明:
AOB=AOC=BOC,可先证什么?
)
[课堂小结]
1.圆心角、弧、弦关系定理:
在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,它
们所对应的也相等.此结论是证明圆心角相等、弧相等、弦相等常用的依据
2.定理使用要注意“同圆或等圆”这个前提。
[当堂达标]
1.在同圆或等圆中,如果AB=CD,那么AB与CD的关系是()
A.ABCDB.
AB二CDC.AB:
:
CD
D.无法确定
2.下列命题中,真命题是()
A.相等的弦所对的圆心角相等
B.相等的弦所对的弧相等
C.相等的弧所对的弦相等
D.相等的圆心角所对的弧相等
3.如图5,AB是OO的直径,
C,D是BE上的三等分点,
AOE=6O,
B
则•COE是()
A.40°B.60°C.80°D.120
4.教材p83练习第2题(做在书上)
5.已知,如图6,在OO中,弦AD二BC,你能用多种方法证明AB二CD吗?
[拓展训练]
已知:
如图7,AB为OO的直径,C,D为OO上的两点,且C为AD的中点,若/
BAD=20°,
(图
求ZACO的度数.
旳课外探究]
1.在OO中,M为AB的中点,则下列结论正确的是().
A.AB>2AMB.AB=2AMC.AB<2AMD•AB与2AM的大小不能确定
(图8)
2•如图8,在OO中,AB为直径,弦CD交AB于P,且OP=PC,试猜想AD与CB之间的关系,并证明你的猜想.
3•如图9,OO中,直径AB=15cm,有一条长为9cm的动弦CD在v上滑动(点C与A,点D与B不重合),CF丄CD交AB于F,DE丄CD交AB于E.
(1)求证:
AE=BF;
(2)
(图9)
在动弦CD滑动的过程中,四边形CDEF的面积是否为定值?
若是定值,请给出证明并求这个定值;若不是,请说明理由.
[课后作业]
[学后反思]
第5课时24.1.4圆周角
(1)
编制人:
郭志备课组长
年级组长
班级姓名课时授课时间
[学习目标](学什么!
)
1•理解圆周角的定义,了解与圆心角的关系,会在具体情景中辨别圆周角.
2•掌握圆周角定理及推论,并会运用这些知识进行简单的计算和证明
[学法指导](怎么学!
)
本节课的学习重点是理解并掌握圆周角定理及推论,学习难点是圆周角定理的证明中采用的分类思想及由“一般到特殊”的数学思想方法;学习中经历操作、观察、猜想、分析、交流、论证等数学活动,体验圆周角定理的探索过程,培养合情推理能力,发展自己的逻辑思维能力、推理论证
(图
能力和用几何语言表达的能力
[学习流程]
一、导学自习(教材P84-85)
1•阅读教材p84“思考”并认真读图,如图1,视角/AOB叫做_角,
而视角/ACB、/ADB和ZAEB不同于视角/AOB这一类的角,我们把
ZACB、ZADB和ZAEB这一类的角叫做.
2.顶点在,并且两边都与圆的角叫做圆周角.
圆周角定义的两个特征:
(1)顶点都在;
(2)两边都与圆3•自己完成“当堂达标”的第1题4.视角•AOB和•ACB有什么关系?
视角•ADB和.AEB和视角•ACB相同吗?
实际上要研究同
弧(AB)所对的圆心角(•AOB)与圆周角(•ACB)、同弧所对的圆周角(•ACB、
■ADB、•AEB等)之间的大小关系.
二、研习展评
活动1:
(1)阅读教材P84“探究”内容,动手量一量(如图2):
问题1:
同弧(弧AB)所对的圆心角AOB与圆周角ACB的大小关系是怎样的?
问题2:
同弧(弧AB)所对的圆周角ACB与圆周角ADB的大小关系是怎样的?
(2)规律:
同弧所对的圆周角的度数,并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数
的—
活动2:
(1)同学们在下面图3的OO中任取AB所对的圆周角,并思考圆心与圆周角有哪几种位置关系?
D
0/
C
BD
4(12)(3)
(图
(2)实际上,圆心与圆周角存在三种位置关系:
圆心在圆周角的一边上;圆心在圆周角的内部;圆心在圆周角的外部•(如图
B
证明:
①当圆心在圆周角的一边上,如上图
(3)(教师引导、点拨)如何对活动1「得到的规律进行证明呢?
②当圆心在圆周角内部(或在圆周角外部)时,能不能作辅助线将问题转化成圆心在圆周角一边上的情
况,从而运用前面的结论,得出这时圆周角仍然等于相应的圆心角的结论证明:
作出过0的直径(自己完成)
(4)同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半•其实,等弧的情况下该命题也是成立的,
命题“同弧或等弧所对的圆周角相等”也是正确的,想一想为什么?
(5)圆周角定理:
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角,都等于这条弧所对的圆心角
的
(6)由圆周角定理和圆心角、弧、弦之间关系,可以证明:
(学生自己完成)
推论1:
在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定—•
说明:
注意圆周角定理及推论1不能丢掉“同圆或等圆”这个前提•
活动3:
(小组讨论)由图5,结合圆周角定理思考
问题1:
半圆(或直径)所对的圆周角是多少度?
问题2:
90°的圆周角所对的弦是什么?
推论2:
半圆(或直径)所对的圆周角是;
说明:
推论2为在圆中确定直角、成垂直关系创造了条件[课堂小结]
谈谈本节课的体会:
知识、思想、方法、收获、•…
的圆周角所对的弦是直径.
(图
1.
在下列与圆有关的角中,哪些是圆周角?
哪些不是,为什么?
(1)
[当堂达标]
2.教材p86练习1、2题(直接做在书上)
3.如图6,点A、B、C、D在OO上,若/C=60,贝VZD=,ZAOB=
4.如图7,等边△ABC的顶点都在OO上,点D是OO上一点,则/BDC=__
(图
(图
(图
[拓展训练]
已知:
如图8,AB是OO的直径,弦CD丄AB于E,ZACD=30°,AE=2cm•求DB长.
^[课外探究]
1•如图9,△ABC的三个顶点在OO上,/A=50。
,厶BC=60°,BD是OO的直径,BD交AC于点E,连结DC,求ZAEB的度数.
2.已知:
如图10,AB是OO的直径,CD为弦,且AB丄CD于E,F为DC延长线上一点,连结
AF交OO于M•求证:
ZAMD=ZFMC•
A
(图9)
(图10)
[课后作业]
[学后反思]
第6课时24.1.4圆周角⑵
编制人:
郭志备课组长年级组长
班级姓名课时授课时间
[学习目标](学什么!
)
1•理解圆内接多边形和多边形的外接圆的概念,掌握圆内接四边形的性质,并会用此性质进行有关的计算和证明;
2•进一步掌握圆周角定理及推论,并会综合运用知识进行有关的计算和证明,培养分析问题、解决问题的能力•
3.理解并掌握“如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形”这个直角三角形的判定方法•
[学法指导](怎么学!
)
本节课的学习重点是理解圆内接四边形的性质并能熟练运用圆周角定理及推论进行有关的计算和证明,学习难点是综合运用知识进行有关的计算和证明时,培养自己的逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力;学习中注重培养自己的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力
[学习流程]一、导学自习(教材P85-86)
(一)知识链接
1.一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的
2.在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角;在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它
们所对的弧一定」
3.所对的圆周角是90°,90°的圆周角所对的弦是
4.如图1,,点A,B,C都在OO上,若.ACB=30,则・AOB的度数是.
5.如图2,AB是OO的直径,点C是OO上的一点,若•A=65,则.B的度数是.
6.如图3,AB是OO的直径,点A是CD是中点,若NCDA=28[则NABD=°.
C
A
B
A
B
第19页
A
O
4页
B
D
(二)自主学习
1•阅读教材p85最后一段:
如果一个多边形的顶点都在圆上,这个多边形叫
做,这个圆叫做这个.
如图4,四边形ABCD是OO的,OO是四边形ABCD的
2.圆内接四边形的对角之间有什么性质呢?
请你量一量图4中的两对对角,看看有什么规律?
规律:
圆内接四边形的对角.
二、研习展评
活动1:
怎样利用圆周角定理来证明上述规律呢?
(学生自己证明)
证明:
如图5,连接OB、OD
圆内接四边形的性质:
圆内接四边形的对角.
活动2:
如图6,OO的直径AB为10cm,弦AC为6cm,ZACB的平分线交OO于D,求BC、AD、BD的长.
活动3:
如图7,
AB是OO的直径,弦CD与AB相交于点E,
ACD=60,ADC=50,求
-CEB的度数.
(提示:
连接BD)
B
(图
B
(图
(图
点评:
解决圆的有关问题时,如果题目中有直径,常常添加辅助线,构成直径所对的圆周角
[课堂小结]
本节课你有哪些收获?
谈谈你的想法•
[当堂达标]
1.如图8,AB是OO的直径,.AOC=130,则/D等于()
A.65B.25C.15D.35
2.教材p87练习第3题。
(说明:
此结论作为定理使用,是直角三角形的一个判定方法)
3.在OO中,若圆心角/AOB=100°,C是AB上一点,则/ACB等于()
A.80°B.100°C.130°D.140°
4.如图9,弦AB,CD相交于E点,若/BAC=27
,则JAOD等于().
A.37
O
(图
O
B.74
E
(图
O
O
zBEC=64
C.
64
(图
12)
5.如图10,四边形
ABCD内接于OO,若ZBOD=138
,则它的一个外角ZDCE等于().
A.69
B.42
C.48
D.38
6.如图11,△ABC内接于OO,ZA=50°,ABC=60°,BD是OO的直径,BD交AC于点E,连结DC,求ZAEB的度数.
7.已知:
如图12,在厶ABC中,AB二AC,以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,求证:
BD=DE
[拓展训练]
已知:
如图13,△ABC内接于OO,BC=12cm
ZA=60
求GO的直径.
旳课外探究]
1.已知:
如图14,OO的直径AE=10cm,ZB=ZEAC.求AC的长.
2•已知:
如图15,^ABC内接于OO,AM平分/BAC交OO于点M,AD丄BC于D.
求证:
/MAO=ZMAD.
[课后作业]
[学后反思]
第7课时24.2.1点和圆的位置关系
编制人:
郭志备课组长年级组长
班级姓名课时授课时间
[学习目标](学什么!
)
1•掌握点和圆的位置关系,能根据点到圆心的距离与圆的半径大小关系,确定点与圆的位置关系;
2•理解“不在同一直线上的三个点确定一个圆”,掌握不在同一直线上的三个点作圆的方法并掌
握它的运用•
3.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念.
[学法指导](怎么学!
)
本节课的学习重点是点和圆的位置关系
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- 关 键 词:
- 直线 关系