高中数学平面向量知识点总结及常见题型.docx
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高中数学平面向量知识点总结及常见题型
平面向量
一.向量的基本概念与基本运算
1向量的概念:
①向量:
既有大小又有方向的量向量一般用a,b,c,,来表示,或用有向线段的
起点与终点的大写字母表示,如:
AB几何表示法AB,a;坐标表示法
a向量的大小即向量的模(长度),记作|AB|即向量的大小,
xiyj(x,y)
记作|a|
向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.
②零向量:
长度为0的向量,记为0,其方向是任意的,0与任意向量平行零向
量a=0
|a|=0由于0的方向是任意的,且规定0平行于任何向量,故在有关向量平
行(共线)的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区
别)
③单位向量:
模为1个单位长度的向量
向量
a为单位向量|
0
a|=1
0
④平行向量(共线向量):
方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以
移到同一直线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a∥b由于向量可
以进行任意的平移(即自由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向
量也称为共线向量
⑤相等向量:
长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记
为ab大小相等,方向相同(x1,y1)(x2,y2)
x
1
y
1
x
2
y
2
2向量加法
求两个向量和的运算叫做向量的加法
设ABa,BCb,则a+b=ABBC=AC
(1)0aa0a;
(2)向量加法满足交换律与结合律;
向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”:
(1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知
向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向
被减向量
(2)三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量
的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量
1
的终点
当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角
形法则.向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加:
ABBCCDPQQRAR,但这时必须“首尾相连”.
3向量的减法
①相反向量:
与a长度相等、方向相反的向量,叫做a的相反向量
记作a,零向量的相反向量仍是零向量
关于相反向量有:
(i)(a)=a;(ii)a+(a)=(a)+a=0;
(iii)若a、b是互为相反向量,则a=b,b=a,a+b=0
②向量减法:
向量a加上b的相反向量叫做a与b的差,
记作:
aba(b)求两个向量差的运算,叫做向量的减法
③作图法:
ab可以表示为从b的终点指向a的终点的向量(a、b有共同起点)
4实数与向量的积:
①实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa,它的长度与方向规定如下:
(Ⅰ)aa;
(Ⅱ)当0时,λa的方向与a的方向相同;当0时,λa的方向与a
的方向相反;当0时,a0,方向是任意的
②数乘向量满足交换律、结合律与分配律
5两个向量共线定理:
向量b与非零向量a共线有且只有一个实数,使得b=a
6平面向量的基本定理:
如果
e1,e是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量
2
a,有且只有一对实数1,2使:
a1e12e2,其中不共线的向量e1,e2叫做表
示这一平面内所有向量的一组基底
7特别注意:
(1)向量的加法与减法是互逆运算
(2)相等向量与平行向量有区别,向量平行是向量相等的必要条件
(3)向量平行与直线平行有区别,直线平行不包括共线(即重合),而向量平行
则包括共线(重合)的情况
(4)向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关,只与
其相对位置有关
二.平面向量的坐标表示
2
1平面向量的坐标表示:
在直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底
由平面向量的基本定理知,该平面内的任一向量a可表示成axiyj,由于a与
数对(x,y)是一一对应的,因此把(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中
x叫作a在x轴上的坐标,y叫做在y轴上的坐标
(1)相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量
(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只
与其相对位置有关
2平面向量的坐标运算:
(1)若
ax1,y1,bx2,y2,则abx1x2,y1y2
(2)若
Ax1,y,Bx,y,则
122
ABx2x1,y2y1
(3)若a=(x,y),则a=(x,y)
(4)若
ax1,y1,bx2,y2,则a//bx1y2x2y10
(5)若
ax1,y1,bx2,y2,则abx1x2y1y2
若ab,则0
x1xyy
212
3向量的运算向量的加减法,数与向量的乘积,向量的数量(内积)及其各运算
的坐标表示和性质
运算几何方法坐标方法运算性质
类型
向
量
1平行四边形法则
2三角形法则
ab(xx,yy)abba
1212
的
加
(ab)ca(bc)
法
ABBCAC
向
量
三角形法则
abxxyyaba(b)
(,)
1212
的
减
ABBA
法
OBOAAB
向
量
a是一个向量,
满足:
a(x,y)(a)()a
的
乘
>0时,a与a
同向;
()aaa
法
<0时,a与a
异向;
(ab)ab
3
=0时,a=0a∥bab
向
量
ab是一个数
abxxyyabba
1212
的
数
a0或b0时,
(a)ba(b)(ab)
量
积
ab=0
(ab)cacbc
a0且b0时,
2|a|
2
a,
22
|a|xy
ab|a||b|cosa,b
|ab||a||b|
三.平面向量的数量积
1两个向量的数量积:
已知两个非零向量a与b,它们的夹角为,则a·b=︱a︱·︱b︱cos叫做
a与b的数量积(或内积)规定0a0
2向量的投影:
︱b︱cos=
ab
|a|
∈R,称为向量b在a方向上的投影投影的绝对
值称为射影
3数量积的几何意义:
a·b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积
4向量的模与平方的关系:
2||2
aaaa
5乘法公式成立:
2
2
22
abababab;
2
222
abaabb
22
aabb
2
6平面向量数量积的运算律:
①交换律成立:
abba
②对实数的结合律成立:
abababR
③分配律成立:
abcacbccab
特别注意:
(1)结合律不成立:
abcabc;
(2)消去律不成立abac不能得到bc
4
(3)ab=0不能得到a=0或b=0
7两个向量的数量积的坐标运算:
已知两个向量
axybxy,则a·b=
(,),(,)xxyy
11221212
8向量的夹角:
已知两个非零向量a与b,作OA=a,OB=b,则∠AOB=
(
01800
0)叫做向量a与b的夹角
cos=cos,
ab
ab
ab
=
2
x
1
x
x
1
2
2
y
1
y
y
1
2
2
x
2
2
y
2
当且仅当两个非零向量a与b同方向时,θ=0
0,当且仅当a与b反方向时θ=1800,
同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题
9垂直:
如果a与b的夹角为90
0则称a与b垂直,记作a⊥b
10两个非零向量垂直的充要条件:
a⊥ba·b=O0
x1xyy平面向量数量积的性质
212
题型1.基本概念判断正误:
(1)共线向量就是在同一条直线上的向量.
(2)若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点.
(3)与已知向量共线的单位向量是唯一的.
(4)四边形ABCD是平行四边形的条件是ABCD.
(5)若ABCD,则A、B、C、D四点构成平行四边形.
(6)因为向量就是有向线段,所以数轴是向量.
(7)若a与b共线,b与c共线,则a与c共线.
(8)若mamb,则ab.
(9)若mana,则mn.
(10)若a与b不共线,则a与b都不是零向量.
(11)若ab|a||b|,则a//b.
(12)若|ab||ab|,则ab.
题型2.向量的加减运算
1.设a表示“向东走8km”,b表示“向北走6km”,则|ab|.
5
2.
化简(ABMB)(BOBC)OM.
3.已知|OA|5,|OB|3,则|AB|的最大值和最小值分别为、.
4.已知AC为AB与AD的和向量,且ACa,BDb,则AB,AD.
5.已知点C在线段AB上,且
题型3.向量的数乘运算
3
ACAB,则ACBC,ABBC.
5
1.计算:
(1)3(ab)2(ab)
(2)2(2a5b3c)3(2a3b2c)
2.已知a(1,4),b(3,8),则
题型4.作图法球向量的和
1
3ab.
2
已知向量a,b,如下图,请做出向量
1
3ab和
2
3
2ab.
2
a
b
题型5.根据图形由已知向量求未知向量
1.已知在ABC中,D是BC的中点,请用向量AB,AC表示AD.
2.在平行四边形ABCD中,已知ACa,BDb,求AB和AD.
题型6.向量的坐标运算
1.已知AB(4,5),A(2,3),则点B的坐标是.
2.已知PQ(3,5),P(3,7),则点Q的坐标是.
3.若物体受三个力
F,F2(2,3),F3(1,4),则合力的坐标为.
1(1,2)
4.已知a(3,4),b(5,2),求ab,ab,3a2b.
5.已知A(1,2),B(3,2),向量a(x2,x3y2)与AB相等,求x,y的值.
6.已知AB(2,3),BC(m,n),CD(1,4),则DA.
7.已知O是坐标原点,A(2,1),B(4,8),且AB3BC0,求OC的坐标.
6
题型7.判断两个向量能否作为一组基底
6.已知
e1,e2是平面内的一组基底,判断下列每组向量是否能构成一组基底:
A.
ee和eeB.
1212
3e2e和4e6eC.
1221
e13e2和e23e1D.
e和ee
221
7.已知a(3,4),能与a构成基底的是()
A.
34
(,)
55
B.
43
(,)
55
C.
34
(,)
55
D.
4
(1,)
3
题型8.结合三角函数求向量坐标
3.已知O是坐标原点,点A在第二象限,|OA|2,xOA150,求OA的坐标.
4.已知O是原点,点A在第一象限,|OA|43,xOA60,求OA的坐标.
题型9.求数量积
3.已知|a|3,|b|4,且a与b的夹角为60,求
(1)ab,
(2)a(ab),
(3)
1
()
abb,(4)(2ab)(a3b).
2
4.已知a(2,6),b(8,10),求
(1)|a|,|b|,
(2)ab,(3)a(2ab),
(4)(2ab)(a3b).
题型10.求向量的夹角
8.已知|a|8,|b|3,ab12,求a与b的夹角.
9.已知a(3,1),b(23,2),求a与b的夹角.
10.已知A(1,0),B(0,1),C(2,5),求cosBAC.
题型11.求向量的模
1.已知|a|3,|b|4,且a与b的夹角为60,求
(1)|ab|,
(2)|2a3b|.
7
8.
已知a(2,6),b(8,10),求
(1)|a|,|b|,(5)|ab|,(6)
1
|ab|.
2
9.已知|a|1,|b|2,|3a2b|3,求|3ab|.
题型12.求单位向量【与a平行的单位向量:
e
a
|a|
】
5.与a(12,5)平行的单位向量是.
6.与
1
m(1,)平行的单位向量是.
2
题型13.向量的平行与垂直
5.已知a(6,2),b(3,m),当m为何值时,
(1)a//b?
(2)ab?
6.已知a(1,2),b(3,2),
(1)k为何值时,向量kab与a3b垂直?
(2)k为何值时,向量kab与a3b平行?
7.已知a是非零向量,abac,且bc,求证:
a(bc).
题型14.三点共线问题
11.已知A(0,2),B(2,2),C(3,4),求证:
A,B,C三点共线.
12.设
2
ABabBCabCDab,求证:
A、B、D三点共线.
(5),28,3()
2
13.已知ABa2b,BC5a6b,CD7a2b,则一定共线的三点是.
14.已知A(1,3),B(8,1),若点C(2a1,a2)在直线AB上,求a的值.
8
10.
已知四个点的坐标O(0,0),A(3,4),B(1,2),C(1,1),是否存在常数t,使
OAtOBOC成立?
题型15.判断多边形的形状
7.若AB3e,CD5e,且|AD||BC|,则四边形的形状是.
8.已知A(1,0),B(4,3),C(2,4),D(0,2),证明四边形ABCD是梯形.
9.已知A(2,1),B(6,3),C(0,5),求证:
ABC是直角三角形.
10.在平面直角坐标系内,OA(1,8),OB(4,1),OC(1,3),求证:
ABC是等腰
直角三角形.
题型16.平面向量的综合应用
8.已知a(1,0),b(2,1),当k为何值时,向量kab与a3b平行?
9.已知a(3,5),且ab,|b|2,求b的坐标.
10.已知a与b同向,b(1,2),则ab10,求a的坐标.
15.已知a(1,2),b(3,1),c(5,4),则cab.
16.已知a(5,10),b(3,4),c(5,0),请将用向量a,b表示向量c.
17.已知a(m,3),b(2,1),
(1)若a与b的夹角为钝角,求m的范围;
(2)若a与b的夹角为锐角,求m的范围.
18.已知a(6,2),b(3,m),当m为何值时,
(1)a与b的夹角为钝角?
(2)
9
a与b的夹角为锐角?
11.已知梯形ABCD的顶点坐标分别为A(1,2),B(3,4),D(2,1),且AB//DC,
AB2CD,求点C的坐标.
12.已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(2,1),B(1,3),C(3,4),
求第四个顶点D的坐标.
13.一航船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶,航船实际航行方向与水流方向
成30角,求水流速度与船的实际速度.
14.已知ABC三个顶点的坐标分别为A(3,4),B(0,0),C(c,0),
(1)若ABAC0,求c的值;
(2)若c5,求sinA的值.
【备用】
11.已知|a|3,|b|4,|ab|5,求|ab|和向量a,b的夹角.
12.已知xab,y2ab,且|a||b|1,ab,求x,y的夹角的余弦.
11.已知a(1,3),b(2,1),则(3a2b)(2a5b).
19.已知两向量a(3,4),b(2,1),求当axb与ab垂直时的x的值.
20.已知两向量a(1,3),b(2,),a与b的夹角为锐角,求的范围.
变式:
若a(,2),b(3,5),a与b的夹角为钝角,求的取值范围.
选择、填空题的特殊方法:
2.代入验证法
例:
已知向量a(1,1),b(1,1),c(1,2),则c()
A.
13
abB.
22
13
abC.
22
31
abD.
22
31
ab
22
3.排除法
例:
已知M是ABC的重心,则下列向量与AB共线的是()
10
A.AMMBBCB.3AMACC.ABBCACD.AMBMCM
11
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