二次函数压轴题题型归纳.docx
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二次函数压轴题题型归纳
2018二次函数压轴题题型归纳
一、二次函数常考点汇总
1、两点间的距离公式:
AB:
yAyB$XaXb2
2、中点坐标:
线段AB的中点C的坐标为:
XaXb,__生
2
2
直线yk1xb1
(k10)与
yk2xb2(
k20)
的位置关系:
(1)
两直线平行
k[k?
.且b[
b2
(2)两直线相交
(3)
两直线重合
k1k2且b1
b2
(4)两直线垂直
k1k21
3、一元二次方程有整数根问题,
解题步骤如下
:
1用和参数的其他要求确定参数的取值范围;
2解方程,求出方程的根;(两种形式:
分式、二次根式)
3分析求解:
若是分式,分母是分子的因数;若是二次根式,被开方式是完全平方式例:
关于x的一元二次方程X2—2m1xm2=0有两个整数根,mv5且m为整数,求m的值。
4、二次函数与x轴的交点为整数点问题。
(方法同上)
例:
若抛物线ymx23m1x3与x轴交于两个不同的整数点,且m为正整数,试确定此抛物线的解析式。
5、方程总有固定根问题,可以通过解方程的方法求出该固定根。
举例如下:
已知关于x的方程mx23(m1)x2m30(m为实数),求证:
无论m为何值,方程总有一个固定的根。
解:
当m0时,x1;
2小3m13
当m0时,m30,x,X12、X21;
2mm
综上所述:
无论m为何值,方程总有一个固定的根是1。
6函数过固定点问题,举例如下:
已知抛物线yx2mxm2(m是常数),求证:
不论m为何值,该抛物线总经过一个固定的点,并求出固定点的坐标。
解:
把原解析式变形为关于m的方程yx22m1x;
•••yX20,解得:
y1;A抛物线总经过一个固定的点(1,—1)o
1x0x1
/小结:
关于X的方程axb有无数解7、路径最值问题(待定的点所在的直线就是对称轴)
(1)如图,直线h、J,点A在12上,分别在li、I2上确定两点M、N,使得AMMN之和最小。
(2)如图,直线li、J相交,两个固定点A、B,分别在li、I2上确定两点M、N,使得
BMMNAN之和最小。
8、在平面直角坐标系中求面积的方法:
直接用公式、割补法三角形的面积求解常用方法:
如上图,&pa=1/2•PM-Ax
=1/2•AN-Ay
9、函数的交点问题:
二次函数(y=ax2+bx+c)与一次函数
(1)解方程组
尸ax"+bx+c可求出两个图象交点的坐标。
y=kx+h
2、”
(2)解方程组尸ax+bx+c即ax2+b-kx+c—h=0,通过可判断两个图象的交点的个数y=kx+h
有两个交点>0仅有一个交点0没有交点<0
10、方程法
(1)设:
设主动点的坐标或基本线段的长度
(2)表示:
用含同一未知数的式子表示其他相关的数量
(3)列方程或关系式
11、几何分析法
特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时,利用几何分析法能给解题带来方便。
几何要求
几何分析
涉及公式
应用图形
跟平行有关的图形
平移
li//l2ki—k2、k
xix2
平行四边形
矩形
梯形
跟直角有关的图形
勾股定理逆定理利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等
A/22ab屮yAyXaXb
直角三角形直角梯形矩形
跟线段有关的图形
利用几何中的全等、中垂线的性质等。
Ai122
AB冷yAyXaXb
等腰三角形全等等腰梯形
跟角有关的图形
利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等
【例题精讲】
」基础构图:
y=x22x3(以下几种分类的函数解析式就是这个)★和最小,差最大
1在对称轴上找一点P,使得PB+PC勺和最小,求出P点坐标
2在对称轴上找一点P,使得PB-PC的差最大,求出P点坐标
★讨论直角三角连接AC,在对称轴上找一点P,使得ACP为直角三角形,求出P坐标或者在抛物线上求点卩,使厶ACP是以AC为直角边的直角三角形.
P,使得ACP为等腰三角形,
求出
P坐标
★讨论平行四边形1、点E在抛物线的对称轴上,点F在抛物线上,且以B,A,F,E四点为顶点的四边形为平行四边形,求点F的坐标
二综合题型
例1(中考变式)如图,抛物线yx2bx
交丫轴于C
(1)求该抛物线的解析式与厶ABC勺面积。
c与x轴交与A(1,0),B(-3,0)两点,顶点为D。
(2)在抛物线第二象限图象上是否存在一点求出点P的坐标。
若没有,请说明理由
⑶若E为抛物线B、C两点间图象上的一个动点(不与AB重合),过E作EF与X轴垂直,交
BC于F,设E点横坐标为x.EF的长度为L,
求L关于X的函数关系式?
关写出X的取值范围?
当E点运动到什么位置时,线段EF的值最大,并求此时E点的坐标?
(4)在(5)的情况下直线BC与抛物线的对称轴交于点H、D为顶点的四边形为平行四边形?
Ho当E点运动到什么位置时,以点E、
(5)在(5)的情况下点E运动到什么位置时,使三角形
例2考点:
关于面积最值
如图,在平面直角坐标系中,点A、C的坐标分别为(一1,0)、(0,3),点B在x轴上•已知某
二次函数的图象经过ABC三点,且它的对称轴为直线x=1,点P为直线BC下方的二次函数
图象上的一个动点(点P与B、C不重合),过点P作y轴的平行线交BC于点F.
(1)求该二次函数的解析式;
(2)若设点P的横坐标为m试用含m的代数式表示线段
(3)求厶PBC面积的最大值,并求此时点P的坐标.
例3考点:
讨论等腰
2
如图,已知抛物线y=-x+bx+c与y轴相交于C,与x轴相交于AB,点A的坐标为(2,0),
2
点C的坐标为(0,—1).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点E是线段AC上一动点,过点E作DELx轴于点D,连结DC当厶DCE勺面积最大时,求点D的坐标;
(3)
在直线BC上是否存在一点卩,使厶ACP为等腰三角形,若存在,求点P的坐标,若不存在,说明理由.|y
例4考点:
讨论直角三角
⑴如图,已知点A(—1,0)和点B(1,2),在坐标轴上
确定点P,使得△ABF为直角三角形,则满足这样条件的点P共有(
⑵已知:
如图一次函数y=-x+1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B;二次函数y=-x
22
+bx+c的图象与一次函数y=lx+1的图象交于B、C两点,与x轴交于DE两点且D点坐标2
为(1,0)
(1)求二次函数的解析式;
(2)求四边形BDEC勺面积S;
(3)在x轴上是否存在点P,使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形?
若存在,求出所有的
例5考点:
讨论四边形
2
已知:
如图所示,关于x的抛物线y=ax+x+c(a^0)与x轴交于点A(—2,0),点B(6,0),
与y轴交于点C.
(1)求出此抛物线的解析式,并写出顶点坐标;
(2)在抛物线上有一点D,使四边形ABDC为等腰梯形,写出点D的坐标,求出直线AD的解析式;
(3)在
(2)中的直线AD交抛物线的对称轴于点M抛物线上有一动点P,x轴上有一动点Q.是否存在以A、MP、Q为顶点的平行四边形?
如果存在,请直接写出点Q的坐标;如果不存在,
请说明理由.
综合练习:
1、平面直角坐标系xOy中,抛物线yax24ax4ac与x轴交于点A、点B,与y轴的正半轴交
于点C,点A的坐标为(1,0),04OC抛物线的顶点为Do
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若此抛物线的对称轴上的点P满足/APB^ZACB求点P的坐标;
(3)Q为线段BD上一点,点A关于/AQB勺平分线的对称点为A,若QAQB、2,求点Q的坐标和此时厶QAA的面积。
2、在平面直角坐标系xOy中,已知二次函数yax2+2axc的图像与y轴交于点C0,3,与x轴交于A、B两点,点B的坐标为3,0o
(1)求二次函数的解析式及顶点D的坐标;
(2)点M是第二象限内抛物线上的一动点,若直线OM把四边形ACD盼成面积为1:
2的两部分,求出此时点M的坐标;
(3)点P是第二象限内抛物线上的一动点,问:
点P在何处时厶CPB的面积最大?
最大面积是多少?
并求出此时点P的坐标。
3、如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2x22x与x轴负半轴交于点A,顶点为B,且
m
对称轴与x轴交于点C。
(1)求点B的坐标(用含m的代数式表示);
(2)D为0B中点,直线AD交y轴于E,若E(0,2),求抛物线的解析式;
(3)在
(2)的条件下,点M在直线0B上,且使得AMC的周长最小,P在抛物线上,Q在直
线BC上,若以A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的坐标
4、已知关于x的方程(1m)x2(4m)x30。
(1)若方程有两个不相等的实数根,求m的取值范围;
(2)若正整数m满足82m2,设二次函数y(1m)x2(4m)x3的图象与x轴交于AB两点,将此图象在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新
的图象;请你结合这个新的图象回答:
当直线ykx3与此图象恰好有三个公共点时,求出k的值(只需要求出两个满足题意的k值即可)。
H
6
斗
2
8
■
卜
-
■
»24工
-4
■
■
■
■
5如图,抛物线y=ax2+2ax+c(a^0)与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A(-4,0)和B.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)点Q是线段AB上的动点,过点Q作QE/AC,交BC于点E,连接CQ当厶CEC的面积最大时,求点Q的坐标;
(3)平行于x轴的动直线I与该抛物线交于点P,与直线AC交于点F,点D的坐标为(-2,0).问是否有直线I,使△ODF是等腰三角形?
若存在,请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
三、中考二次函数代数型综合题
题型一、抛物线与x轴的两个交点分别位于某定点的两侧
2,
例1.已知二次函数y=x+(mi-1)x+vm-2的图象与x轴相交于A(Xi,0),B(X2,0)两点,且XiVX2.
(1)若X1X2V0,且m为正整数,求该二次函数的表达式;
(2)若XiV1,X2>1,求m的取值范围;
(3)是否存在实数m使得过A、B两点的圆与y轴相切于点C(0,2),若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由;
1MD1
(4)若过点D(0,"2)的直线与
(1)中的二次函数图象相交于MN两点,且-"DN=-3,求该
直线的表达式.
题型二、抛物线与x轴两交点之间的距离问题
2
例2已知二次函数y=x+mx+m-5
(1)求证:
不论m取何值时,抛物线总与x轴有两个交点;
(2)求当m取何值时,抛物线与x轴两交点之间的距离最短.
题型三、抛物线方程的整数解问题
例1.已知抛物线yx22(m1)xm20与x轴的两个交点的横坐标均为整数,且mK5,贝U整数m的值为
2
例2.已知二次函数y=x—2mx^4m-8.
(1)当x<2时,函数值y随x的增大而减小,求m的取值范围;
(2)以抛物线y=x2—2m升4m-8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正AMN(M,N两点在拋物线上),请问:
△AMN勺面积是与m无关的定值吗?
若是,请求出这个定值;若不是,请说
明理由;
2
(3)若抛物线y=x—2mx+4m-8与x轴交点的横坐标均为整数,求整数m的值.
题型四、抛物线与对称,包括:
点与点关于原点对称、抛物线的对称性、数形结合
例1•已知抛物线yx2bxc(其中b>0,c工0)与y轴的交点为A,点A关于抛物线对称轴的对称点为B(mn),且AB=2.
(1)求mb的值
⑵如果抛物线的顶点位于x轴的下方,且B8.20。
求抛物线所对应的函数关系式(友情提醒:
请画图思考)
题型五、抛物线中韦达定理的广泛应用(线段长、定点两侧、点点关于原点对称、等等)
例1.已知:
二次函数yx24xm的图象与x轴交于不同的两点A(捲,0)、B(x2,0)(X!
V
X2),其顶点是点C,对称轴与x轴的交于点D.
(1)求实数m的取值范围;
(2)如果(Xi+1)(X2+I)=8,求二次函数的解析式;
(3)把
(2)中所得的二次函数的图象沿y轴上下平移,如果平移后的函数图象与x轴交于点A、
B,顶点为点。
1,且厶ABQ!
是等边三角形,求平移后所得图象的函数解析式.
综合提升
1.已知二次函数的图象与X轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,4),且IAB=23,图象的对称轴为x=1.
(1)求二次函数的表达式;
(2)若二次函数的图象都在直线y=x+m的下方,求m的取值范围.
2
2.已知二次函数y=—x+mx—m+2.
(1)若该二次函数图象与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧,并且A吐.5,求m的值;
(2)设该二次函数图象与y轴的交点为C,二次函数图象上存在关于原点对称的两点MN,且
S^MNC=m的值.
22
3.已知关于x的一元二次方程x—2(k+1)x+k=0有两个整数根,kv5且k为整数.
(1)求k的值;
22
(2)当此方程有两个非零的整数根时,将关于x的二次函数y=x—2(k+1)x+k的图象沿x轴向左平移4个单位,求平移后的二次函数图象的解析式;
(3)根据直线y=x+b与
(2)中的两个函数图象交点的总个数,求b的取值范围.
4.已知二次函数的图象经过点A(1,0)和点B(2,1),且与y轴交点的纵坐标为m
(1)若m为定值,求此二次函数的解析式;
(2)若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点,求m的取值范围;
(3)若二次函数的图象截直线y=—x+1所得线段的长为2:
;2,求m的值.
四、中考二次函数定值问题
1.如图,已知二次函数L1:
y=x2-4x+3与x轴交于A.B两点(点A在点B左边),与y轴交于点
C.
(1)写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标;
(2)研究二次函数L2:
y=kx-4kx+3k(0).
①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质;
②若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点,问线段EF的长度是否发生变化?
如果不会,请求出
EF的长度;如果会,请说明理由.
2.如图,已知抛物线与坐标轴分别交于A(—2,0)、B(2,0)、C(0,—I)三点,过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于MN两点.分别过点CD(0,—2)作平行于x轴的直线h、I2.
(1)
求抛物线对应二次函数的解析式;
(2)求证以ON为直径的圆与直线|1相切;
⑶求线段MN的长(用k表示),并证明MN两点到直线12的距离之和等于线段MN勺长.
422
3.图1,已知直线y=kx与抛物线y二x2+x交于点A(3,6).
273
(1)求直线y=kx的解析式和线段0A的长度;
(2)点P为抛物线第一象限内的动点,过点P作直线PM交x轴于点M(点M0不重合),交直线0A于点Q再过点Q作直线PM的垂线,交y轴于点N.试探究:
线段QM与线段QN的长度之比是否为定值?
如果是,求出这个定值;如果不是,说明理由;
(3)如图2,若点B为抛物线上对称轴右侧的点,点E在线段0A上(与点OA不重合),点D
(m0)是x轴正半轴上的动点,且满足/BAE2BED"AOD继续探究:
m在什么范围时,符合条件的E点的个数分别是1个、2个?
4•孔明是一个喜欢探究钻研的同学,他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2(av0)的性质时,
将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O,两直角边与该抛物线交于AB两点,
请解答以下问题:
(1)若测得OA=OB=2:
2(如图1),求a的值;
(2)对同一条抛物线,孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时,过B作BF丄x轴于点F,测得OF=1,写出此时点B的坐标,并求点A的横坐标;
(3)对该抛物线,孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现,交点A、B的连线段总经过一个固定的点,试说明理由并求出该点的坐标.
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