初二数学1.docx

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初二数学1

徐州亮点教育个性化辅导教案课次：

教师

刘雪景

学生

授课时间

2013-12-06

授课课题

授课类型

巩固+提高

教学目标

通过简单的实例，了解常量与变量的意义,了解函数的概念和表示方法，并能说出一些函数的实例。

能判断两个变量之间的关系是否可看作函数。

教学重点与难点

重点：

理解函数的概念,判断两个变量之间的关系是否可看作函数。

难点：

理解函数的概念,判断两个变量之间的关系是否可看作函数。

参考资料

教参、考试说明及大纲

教学过程

复习巩固

课前热身

小明、小丽、小亮和小华坐在匀速行使的列车上，他们一边欣赏路边的景色，一边谈论着车速、路程和时间，谈论着数量的变化和位置的变化。

想一想：

（1）列车在行使，位置在改变，因此与位置有关的哪些量在改变？

除此之外，还有哪些变化的量？

（2）除了那些变化的数量外，在这个问题中还有哪些不变的量吗？

在上面的过程中，如这些量始终保持同一数值;而这些量在不断地变化。

像这样，在某一变化过程中，叫做常量，

叫做变量。

如圆的周长公式C=2πr，是常量，是变量。

一、概念探究：

1、感受变与不变：

工作人员将水库的水位变化与水库蓄水量变化情况列成下表：

水位/m

106

120

133

135

…

蓄水/m3

2.30×107

7.09×107

1.18×107

1.23×107

…

同学们可以发现水库蓄水量随着水位的变化而变化，当水位稳定不变时，蓄水量也稳定不变。

向平静的湖面投一石子，便会形成以落水点为圆心的一系列同心圆。

在这个变化过程中，圆的随着圆半径的变化而变化，随着圆半径的确定而确定。

同学们可以在上述的例子中发现，每个变化过程中的两个变量之间有怎样的关系呢？

2、形成概念：

如果在某一变化的过程中有两个变量x和y，

，那么我们称y是x的函数。

其中，x是量，y是量。

如汽车每小时行驶70千米，行驶的路程S千米与t小时之间的关系式为，是的函数，是自变量，是因变量。

你能举出一些类似的实例吗？

二、例题分析：

例：

面积是1600m2的矩形，它的宽为xm，长为ym.。

（1）填写下表

矩形宽x/m

20

30

40

50

60

…

矩形长y/m

…

（2）该矩形的长是宽的函数吗？

为什么？

思考：

是否满足函数关系应具备哪些要素呢？

三、展示交流

1、把一根1m长的铁丝围成长方形.

（1）当长方形的宽为0.1米时，长为多少？

（2）当长方形的宽为0.2米时，长为多少？

（3）长方形的长是宽的函数吗？

为什么？

2、某粮店在某一段时间内以相同的价格出售同一种大米，请大家思考：

在整个的售米过程中出现了哪些量？

其中哪些量是变量？

哪些是常量？

3、已知一个长方形的面积是长的5倍，若长为a米，那么长方形的面积S=．此长方形的面积是长的函数吗？

4、为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标

准：

每户每月的用水不超过10吨时，水价为每吨1.2元；超过10吨时，超过的部分按每吨1.8元收费，该市某户居民5月份用水x吨（x>10），应交水费y元，请用方程的知识来求有关x和y的关系式，并判断其中一个变量是否为另一个变量的函数？

四、提炼总结

请举例说明常量、变量和函数的意义。

对应训练

1、下列说法不正确的是（）

A.函数V=

中，

是常量，r是自变量，V是

r的函数

B.代数式

是它所含字母r的函数

C.公式V=

可以看作球的体积是球的半径的函数

D.函数V=

中，当r=0时，V=0

2、由实验知某一弹簧的长度y（cm）与悬挂的重量x（kg）之间有如下的关系式：

y=-12+0.5x,这里是常量，是变量，y是x的。

3、一辆汽车以60km/h的速度行驶,设行驶的路程为s（km），行驶的时间为t（h），则s与t的关系式为，自变量是．

4、1吨民用自来水的价格为2.8元，则所交水费金额y（元）

与使用自来水的数量x（吨）之间的函数关系式为__________________________．变量是．

5、商住楼底层为店面房，底层高为4米，底层以上每层高3

米，则楼高h与层数n之间的函数关系式为，其中可以将看成自变量，

6、矩形的宽为6cm,则它的周长L与长a之间的关系为

．当a=8时，L=。

函数二

小丽乘汽车去旅游，汽车匀速行驶在高速公路上，用t表示汽车行驶的时间，s表示汽车行驶的路程。

怎样表示S与t的关系？

（1）可以列表表示：

th

1

2

3

4

5

6

…

skm

100

200

300

400

…

（2）汽车行使时间t（h）与路程s（km）可用图表示：

（图略）

3）怎样列式表示汽车行驶时间与路程的关系呢？

问题：

变量s是变量t的函数吗？

为什么？

小结：

通常，表示两个变量之间的关系可以用3种方法：

、、。

概念探究

（一）

通常称为函数关系式。

如s=100t就称为s与t的函数关系式。

例1：

汽车油箱内存油40L，每行驶100km耗油10L，

（1）求行驶过程中油箱内剩余油量QL与行使路程skm的函数关系式。

（2）行驶150km后，油箱内还剩余多少油？

（3）你能确定自变量s的取值范围吗？

思考：

（1）行驶skm耗油多少升？

（2）已知Q和s中的哪一个量？

（3）确定自变量s的取值范围，要符合哪些实际意义？

变式：

火车自A站去B站，以每小时150千米的速度前进，已知AB两站相距200km,求t小时后火车离B站的距离s（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系式，自变量t的取值范围。

要使函数关系式有意义或者符合实际问题的意义，就应考虑自变量的取值范围。

例2、求下列函数的自变量取值范围：

y=6x-4；

；y=

；

；

小结：

求函数自变量取值范围的方法：

概念探究

（二）

温度的变化，是人们经常谈论的话题，请你根据下图，与同伴交流讨论某地某天的温度变化的情况。

（1）上午9时的温度是多少？

12时呢？

（2）这一天的最高温度是多少？

是在几时达到的？

最低温度是多少？

（3）这一天的的温差是多少？

从最低温度到最高温度经过了几小时？

（4）在什么时间范围内温度在上升？

在什么时间范围内温度在下降？

图中的A点表示的是什么？

B点呢？

（5）你能预测凌晨1时的温度吗？

说说你的理由

像这样，在直角坐标系中，

，那么所有这样的点组成的图形叫做这个函数的图象。

例2：

小明从家里出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家．下面的图描述了小明在散步过程中离家的距离s（米）与散步所用时间t（分）之间的函数关系．

（1）他散步花了多少时间？

（2）折线中有一条平行于x轴的线段，试说明它的意义：

（3）出发后10分时，他离家有多远？

分析从图中可发现函数图象分成四段，因此说明小明散步的情况应分成四个阶段，本题反映的是哪两个变量之间的函数关系？

O点的坐标是（），因此O点表示小明这时。

（1）“他散步花了多少时间”隐含的已知条件是s=。

（2）观察线段AB这一段图象可发现保持不变，在变化。

（3）两个变量已知了哪一个变量？

三、展示交流：

1、某种报纸的单价为b元，x表示购买的这种报纸的份数，那么购买报纸的总价y与x的关系为．

2、打字收费标准是每千字5元，打字费m（元）与字数a的函数关系式为，自变量a的取值范围是．

3、在函数关系式y=－

x＋2中，当x=－3时，y=；当y=0时，x=．

4、明明骑自行车去上学时，经过一段先上坡后下坡的路，在这段路上所走的路程s（单位：

千米）与时间t（单位：

分）之间的函数关系如图所示。

放学后如果按原路返回，且往返过程中，上坡速度相同，下坡速度相同，那么他回来时，走这段路所用的时间为（）．

A12分B10分

C16分D14分

提炼总结：

表示函数有哪三种方法，能根据图像对简单实际问题中的函数关系进行分析，如何确定函数的自变量取值范围？

对应练习

1、已知函数y＝－

x＋1，当x＝－2时，y＝____；当y＝0时，x＝____。

2、函数y=x0+

中，自变量x的取值范围是。

3、等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式为_____，自变量的取值范围是________。

4、一枝蜡烛长20厘米，点燃后每小时燃烧掉5厘米，则下列3幅图象中能大致刻画出这枝蜡烛点燃后剩下的长度h（厘米）与点燃时间t之间的函数关系的是（）．

5、周末，小李8时骑自行车从家里出发，到野外郊游，16时回到家里．他离开家后的距离S（千米）与时间t（时）的关系可以用图中的折线表示．根据这个图象回答下列问题：

（1）小李到达离家最远的地方是什么时间？

（2）小李何时第一次休息？

（3）10时到13时，小骑了多少千米？

（4）返回时，小李的平均车速是多少？

一次函数

（1）

根据题意列出函数关系式：

1.圆周长y（cm）与它的半径x（cm）之间的函数关系式为

2.某种汽油4.50元/L，加油x（L）,应付费y（元），那么y与x之间的函数关系式为。

如果加油前，汽车的油箱内还剩6L汽油，已知加油枪的流量为10L/min，那么加油过程中，油箱中的油量y（L）与加油时间x（min）之间的函数关系式为。

3.一颗小树现在高50cm，据介绍这种树平均每个月长高2cm，则这棵树的高y（cm）与时间x（月）之间的函数关系式

。

4.电信公司推出无线市话服务，收费标准为月租费25元，本地网通话费为每分钟0.1元。

如果用（y）元表示每月应缴费用，用x（min）表示通话时间（不足1min按1min计算），那么y与x之间的函数关系式为。

思考：

上述函数关系式有什么共同点？

一、概念探究：

一般地，

，那么称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。

特别地，，称y是x的正比例函数。

则正比例函数（填“是”或“不是”）一次函数。

注意：

1、自变量的指数为一次。

2、含自变量的式子为整式。

3、k≠0

二、例题分析

例1、下列函数中，y是x的一次函数的是（）

①y=x-6；②y=

；③y=

；④y=7-x

A、①②③B、①③④C、①②③④D、②③④

例2、已知函数y=（m+1）x+（m2-1）,当m取什么值时，y是x的一次函数？

当m取什么值时，y是x的正比例函数？

思考

（1）一次函数需要满足哪些条件？

（3）正比例函数需要满足哪些条件？

变式：

设函数y=（m-3）x3-│m│+m+2.

（1当m为何值时，它是一次函数。

（2）当m为何值时，它是正比例函数。

三、展示交流

1.下列变化过程中，变量y是变量x的一次函数吗？

是正比例函数吗？

（1）正方形面积y与边长x之间的函数关系；

（2）正方形周长y与边长x之间的函数关系；

（3）长方形的长为常量a时，面积y与宽x之间的函数关系式；

（4）高速列车以200km/h的速度驶离A站，在行驶过程中，这列火车离开A站的路程y（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系；

（4）AB两地相距200km，一列火车从B地出发沿BC方

向以120km/h的速度行驶，在行驶过程中，这列火车离A地的路程y（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系；

2.函数y=（3m-2）x2+（1-2m）x（m为常数）是正比例函数，则m的值（）

A.m＞

B.m＜

C.m=

D.m=

3.若正比例函数的图象经过点（

，2），则这个图象必经过点（）．

A．（1，2）B．（

，

）

C．（2，

）D．（1，

）

4.小丽将125.5元存为活期储蓄，如果活期存款的年利息为0.72%，那么

（1）利息y（元）与存期x（年）的函数关系式为

（2）本息和y（元）与存期x（年）的函数关系式为

四、提炼总结

一次函数与正比例函数的一般形式是什么？

它们有什么区别与联系？

对应训练

1、下列函数关系中，哪些属于一次函数，其中哪些又属于正比例函数？

（1）面积为10cm2的三角形的底a（cm）与这边上的高h（cm）；

（2）长为8（cm）的平行四边形的周长L（cm）与宽b（cm）；

（3）食堂原有煤120吨，每天要用去5吨，x天后还剩下煤y吨；

（4）汽车每小时行40千米，行驶的路程s（千米）和时间t（小时）．

2、小明准备将平时的零用钱节约一些储存起来，他已有20元，从现在开始，每周存入5元，那么小明的存款y与从现在开始的周数x的关系为．是函数。

3、已知函数y=（m2－4）x4＋n＋（m－2），当m且n时，它是一次函数；当m且n时它是正比例函数

6、已知│a＋1│＋（b－2）2=0,则函数y=（b＋3）x－a＋b2－8b＋

16是什么函数？

当x=－

时函数值y是多少？

一次函数

（2）

1、已知函数y＝2x－3，当x＝－2时，y＝____；当y＝1时，x＝___。

2、一个小球由静止开始从一个斜面上向下滚动，其速度每秒增

加2米。

（1）求小球速度v（米/秒）与时间t（秒）之间的函数关系式；

（2）你知道3.5秒时小球的速度吗？

3、甲乙两地相距520km，一辆汽车以80km/h的速度从甲地开

往乙地，行驶了th，试问剩余路程s（km）与行驶时间t（h）之间有怎样的函数关系式？

并求t的取值范围。

一、知识回顾

一次函数的一般形式：

。

正比例函数的一般形式：

。

二、例题分析

例1、一盘蚊香长105cm，点燃时每小时缩短10cm.

（1）写出蚊香点燃后的长度y（cm）与点燃时间t（h）之间的函数关系式;

（2）5h后蚊香还剩多长？

（3）该盘蚊香可以使用多长时间？

想一想

（1）确定正比例函数的表达式需要几个条件？

（2）确定一次函数的表达式呢？

例2、在弹性限度内，弹簧的长度y（厘米）是所挂物体的质量x（千克）的一次函数、当所挂物体的质量为1千克时，弹簧长15厘米；当所挂物体的质量为3千克时，弹簧长16厘米。

写出y与x之间的关系式，并求出所挂物体的质量为4千克时的弹簧

的长度。

小结：

求一次函数表达式的一般步骤：

变式：

已知y与x－3成正比例，当x＝4时，y＝3．

（1）写出y与x之间的函数关系式；

（2）y与x之间是什么函数关系；

（3）求x＝2.5时，y的值。

三、展示交流

1、已知函数y=4x+5,当x=-3时，y=；y=5时，x=。

2、函数y=ax+b,当x=1时，y=1；当x=2时，y=-5。

（1）、求a、b的值。

（2）、当x=0时，求函数值y;

（3）、当x取何值时，函数值y为0？

3、已知：

y是x的正比例函数，x=2时，y=6，求y与x的关系式。

4、已知y＝y1＋y2，y1与x成正比例，y2与x－1成正比例，且

x＝3时，y＝4；x＝1，y＝2，求y与x之间的函数关系式。

5、梯形的上底长为4，下底长为7，一腰长为12．请写出梯形

的周长y与另一腰长x之间的函数关系式；当x=10时，y的值

为多少？

四、提炼总结

求一次函数表达式的步骤是什么？

对应训练

1、已知y与4x－1成正比例，且当x=3时，y=6，写出y与x的函数关系式．

2、已知一次函数y=kx+b，当x=-4时，y=9;当x=2时，y=-3.

（1）求这个函数的解析式

（2）y=5时，求x的值

3、某跨江大桥的收费站对过往车辆都要收费，规定大车收费60元，小车收费50元，若某天过往车辆为3000辆，求所收费用y与小车x（辆）之间的函数关系，及x的取值范围．

4、已知一次函数图象经过A（―2，―3）、B（1，3）两点。

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）试判断点P（－1，1）是否在这个一次函数图象上？

5、今年植树节，同学们种的树苗高约1.80米．据介绍，这种树苗在10年内平均每年长高0.35米．求树高与年数之间的函数关系式．并算一算4年后同学们中学毕业时这些树约有多高．

授课内容分析、推导

1．下列函数关系式:

①

；②

③

；④

。

其中一次函数的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

2.若函数y=xm+1是一次函数，则常数m的值是（　　）

A．0B．1C．-1D．-2

4.已知y－3与

x成正比例，且x=2时，y=7。

则。

则y与x的函数表达式为（）

A.y=2x+3B.y=2x－3C.y－3=2x+3D.y=3x－3

5．在函数：

①y=－x；②y=－3x－6；③y=2（x－3）；④y=x2＋3；⑤y=

中，正比例函数有，一次函数有。

6．甲乙两地相距264千米，一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶24千米，t小时后，停在途中加水，则所剩路程s与行驶时间t之间的关系式是，s是t的函数。

7．已知等腰三角形周长为20，则底边长y与腰长x之间的函数关系式是，自变量x的取值范围是。

8．已知y与x成正比例，且当x=1时，y=0.5，则函数关系式是.

9．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）有下列关系：

x

0

1

2

3

4

5

6

7

8

y

12

12.5

13

13.5

14

14.5

15

15.5

16

那么弹簧的总长y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系式为；

10．函数y=ax+b,当x=1时，y=1；当x=2时，y=－5。

（1）求a、b的值，

（2）当x=0时，求函数值y，

（3）当x取何值时，函数值y为0？

11.已知y与x－3成正比例，当x＝4时，y＝3．

（1）写出y与x之间的函数关系式；

（2）y与x之间是什么函数关系；

（3）求x＝2.5时，y的值．

12．某地举办乒乓球比赛的费用y（元）包括两部分：

一部分是租用比赛场地等固定不变的

费用b（元），另一部分与参加比赛的人数x（人）成正比例。

当x=20时，y=1600；当x=30时，y=2000．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）如果有50名运动员参加比赛，且全部费用由运动员分摊，那么每名运动员需要支付多少元？

13.小明根据某个一次函数关系式填写了下面的这张表：

x

－2

－1

0

1

y

3

1

0

其中有一格不慎被墨迹遮住了，想想看，该空格里原来填的数是多少？

解释你的理由.

14．“五一”黄金周期间，李娟同学和父母自驾车去外地旅游，出发时，油箱中有油b升，行使过程中每千米耗油k升。

途中李娟同学两次观察里程表A和余油量表B，当A表显示30千米时，B表显示32升；当A表显示100千米时，B表显示25升。

设行使的路程为x千米，油箱中的余油量为y升。

求出k，b的值，并写出y关于x的函数关系式.

学生对于本次课的评价：

○特别满意○满意○一般○差

学生签字：

教师评定：

1、学生上次作业评价：

○好○较好○一般○差

2、学生本次上课情况评价：

○好○较好○一般○差

教师签字：

主任签字:

日期: