河南省洛阳市学年高三第二次统一考试理科数学试题含答案解析.docx
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河南省洛阳市学年高三第二次统一考试理科数学试题含答案解析
河南省洛阳市2021-2022学年高三第二次统一考试理科数学试题
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
一、单选题
1.设集合
,
,则
( )
A.
B.
C.
D.
2.已知复数
,则在复平面内z对应的点在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.若抛物线
的焦点是椭圆
的一个焦点,则
( )
A.2B.3C.4D.8
4.已知角
的顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点
,则
( ).
A.
B.
C.
D.
5.等差数列
中,
,前n项和为
,若
,则
( )
A.1011B.2022C.
1011D.
2022
6.下列说法中正确的是( )
A.命题“p且q”为真命题,则p,q恰有一个为真命题
B.命题“
,
”,则“
,
”
C.△ABC中,
是
的充分不必要条件
D.设等比数列
的前n项和为
,则“
”是“
”的充要条件
7.已知曲线
,
,为了得到曲线
,则对曲线
的变换正确的是( )
A.先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的曲线向右平移
个单位长度
B.先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的曲线向左平移
个单位长度
C.先把横坐标缩短到原来的
倍(纵坐标不变),再把得到的曲线向右平移
个单位长度
D.先把横坐标缩短到原来的
倍(纵坐标不变),再把得到的曲线向左平移
个单位长度
8.“阿基米德多面体”也称为半正多面体,是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体,它体现了数学的对称美如图.将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,共可截去八个三棱锥,得到八个面为正三角形,六个面为正方形的“阿基米德多面体”,则异面直线AB与CD所成角的大小是( )
A.30°B.45°C.60°D.120°
9.已知函数
的图象如图所示,则此函数可能是( )
A.
B.
C.
D.
10.“迎冬奥,跨新年,向未来”,中国国家滑雪队将开展自由式滑雪项目中的空中技巧、雪上技巧、障碍追逐和U型场地技巧四个项目表演,现安排两名男队员和两名女队员组队参演,参演选手每人展示其中一个不同的项目,雪上技巧项目必须由女队员展示,则所有不同出场顺序与项目展示方案种数为( )
A.576B.288C.144D.48
11.设曲线
在
处切线的斜率为
,则( )
A.
B.
C.
D.
12.已知O为坐标原点,F是双曲线
的左焦点,A,B分别为双曲线的左、右顶点,点P在C上,且
轴,过点A的直线与线段PF交于点M,与y轴交于点D,直线BM与y轴交于点E,若
,则双曲线C的离心率为( )
A.
B.2C.
D.
二、填空题
13.已知向量
,
,若
,则实数
___________.
14.已知函数
,则
______.
15.已知三棱锥P—ABC中,
,
,
,当该三棱锥体积最大时,其外接球的表面积为______.
16.过抛物线
的焦点F作斜率为
的直线l,交抛物线于A,B两点,抛物线在A,B处的两条切线交于点M,则
______.
三、解答题
17.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,
.
(1)求角B;
(2)若
,
,求△ACD面积的最大值.
18.已知△ABC是边长为6的等边三角形,点M,N分别是边AB,AC的三等分点,且
,
,沿MN将△AMN折起到
的位置,使
.
(1)求证:
平面MBCN;
(2)在线段BC上是否存在点D,使平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
?
若存在,设
,求
的值;若不存在,说明理由.
19.一商场为了解某商品的销售情况,对该商品30天的销售量统计后发现每天的销售量x(单位:
件)分布在
内,其中
(
,且n为偶数)的销售天数为
;
(
,且n为奇数)的销售天数为
.
(1)求实数a的值;
(2)当一天销售量不小于700时,则称该日为销售旺日,其余为销售不景气日.将销售天数按照销售量属于
,
,
分成3组,在销售旺日的3组中用分层抽样的方法随机抽取8天,再从这8天中随机抽取3天进行统计,如果这3天来自X个组,求随机变量X的分布列与数学期望.
20.已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性;
(2)当
时,求证:
.
21.点P与定点
的距离和它到定直线
的距离之比为
.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)记点P的轨迹为曲线C,若过点P的动直线l与C的另一个交点为Q,原点O到l的距离为
,求
的取值范围.
22.在直角坐标系
中,曲线C的参数方程为
,(
为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为
.
(1)求C的普通方程和l的直角坐标方程;
(2)求C上的点到l距离的最小值.
23.已知函数
,
.
(1)若
,求x的取值范围;
(2)若
的最小值为M,
,求
的最小值.
参考答案:
1.A
【解析】
【分析】
分别解出集合
中对应的不等式,然后可得答案.
【详解】
因为
,所以
,
,所以
,
因为
,所以
故选:
A
2.B
【解析】
【分析】
先求出复数z,即可得到答案.
【详解】
.
所以在复平面内z对应的点为(-1,1)在第二象限.
故选:
B
3.C
【解析】
利用椭圆与抛物线的定义,结合抛物线与椭圆有共同的焦点,列出关于
的方程,解方程即可.
【详解】
由题意可知,抛物线
的焦点为
因为椭圆为
所以
所以椭圆的焦点坐标为
所以
解得
.
故选:
C
【点睛】
本题考查椭圆与抛物线的定义及其标准方程;考查综合运用能力和运算求解能力;属于基础题.
4.C
【解析】
【分析】
利用三角函数定义、同角公式、差角的正切公式变形计算即得.
【详解】
由正切函数的定义得
.
故选:
C
5.D
【解析】
【分析】
由已知条件求出公差
,再利用等差数列的求和公式可求得答案
【详解】
设等差数列的公差为
,则
,
因为
,
所以
,解得
,
所以
,
故选:
D
6.D
【解析】
【分析】
利用逻辑连接词判定选项A错误;利用全称命题的否定判定选项B错误;结合正弦定理、边角关系判定选项C错误;利用等比数列的通项公式判定选项D正确.
【详解】
对于A:
若命题“p且q”为真命题,则p,q都为真命题,
即选项A错误;
对于B:
因为命题“
,
”的否定为:
,
;
即选项B错误;
对于C:
由正弦定理,得
等价于
,
由三角形的边角关系,得
等价于
,
所以在△ABC中,
是
的充要条件,
即选项C错误;
对于D:
设等比数列
的公比为
,
由
得
,即
,
因为
,所以
;
若
,则
,
即
,即
;
即“
”是“
”的充要条件,
即选项D正确.
故选:
D.
7.C
【解析】
【分析】
由三角函数的图象变换对各选项进行检验.
【详解】
A.先把曲线
上点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得
的图象,再把得到的曲线向右平移
个单位长度得
的图象,A错;
B.先把曲线
上点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得
的图象,再把得到的曲线向左平移
个单位长度得
的图象,B错;
C.先把曲线
上点的横坐标缩短到原来的
倍(纵坐标不变),得
的图象,再把得到的曲线向右平移
个单位长度得
的图象,C正确;
D.先把曲线
上点的横坐标缩短到原来的
倍(纵坐标不变),得
的图象,再把得到的曲线向左平移
个单位长度得
的图象,D错误;
故选:
C.
8.C
【解析】
【分析】
将多面体放置于正方体中,借助正方体分析多面体的结构,由此求解出异面直线AB与CD所成角的大小.
【详解】
如图所示:
将多面体放置于正方体中,以点
为原点建立空间直角坐标系,设正方体的边长为2
则
,
,设异面直线AB与CD所成角为
所以
,故
故选:
C
9.A
【解析】
【分析】
根据函数的图象可得,得到函数
的定义域为
,且函数
为奇函数,结合区间
和
上的取值范围,逐项判定,即可求解.
【详解】
根据函数
的图象可得,函数的定义域为
,且函数
的图象关于原点对称,即函数
为奇函数,
对于A中,函数
,由
,解得
,
即函数的定义为
,
又由
,所以
为奇函数,
当
时,
,
,所以
,
当
时,
,
,所以
,
此时与图象相符,所以选项A符合题意;
对于B中,当
时,
,
,所以
,与图象不符,所以选项B不符合题意;
对于C中,函数
,令
,解得
,
即函数
的定义域为
,与图象不符,所以选项C不符合题意;
对于D中,函数
,令
,解得
,
即函数
的定义域为
,与图象不符,所以选项C不符合题意;
故选:
A.
10.B
【解析】
【分析】
分成两步,第一步:
为每个项目安排表演队员,第二步:
安排出场顺序,最后相乘即可求出总的方法种数.
【详解】
第一步:
为每个项目安排表演队员:
先安排雪上技巧项目,有
种,再安排其他三个项目,有
种,共有
种;
第二步:
安排出场顺序,有
种,
所以一共有
种.
故选:
B
11.B
【解析】
【分析】
求导
,得到
,利用二次函数的性质求解.
【详解】
因为
,
所以
,则
,
所以
在
上递减,在
上递增,
又因为
,
,
,
所以
,
故选:
B
12.D
【解析】
【分析】
设
,然后可得直线
、
的方程,然后可得点
的坐标,然后由
可得答案.
【详解】
设
,因为
,
所以直线
的方程为
,直线
的方程为
,
所以
,
因为
,所以
,所以
从而可得
故选:
D
13.0
【解析】
【分析】
由向量的坐标运算法则,两向量垂直即数量积为0,从而求得参数值.
【详解】
由题知,
,
故答案为:
0
14.2
【解析】
【分析】
求导
,再求得
,进而得到
求解.
【详解】
解:
因为
,
所以
,
所以
,
解得
,
所以
,
所以
,
故答案为:
2
15.
【解析】
【分析】
由题意可得当
平面
时,该三棱锥体积最大,此时三棱锥的外接球的球心恰好为
的中点,从而可求出半径,进而可求得外接球的表面积
【详解】
因为
,
,
,
所以
,所以
为直角三角形,
所以
的面积为定值,
所以当
平面
时,该三棱锥体积最大,
取
的中点
,过
作
交
于
,
因为
平面
,
平面
,
所以
,所以
∥
,
所以
为
的中点,
所以
所以点
为三棱锥外接球的球心,
因为
,所以
,
所以
,即外接球的半径
,
所以外接球的表面积为
,
故答案为:
16.4
【解析】
【分析】
先求出直线
,设
,将直线方程代入抛物线方程化简利用根与系数的关系,再利用导数的几何意求出切线的斜率,从而可求出在A,B处的切线方程,再求出点
的坐标,进而可求出
【详解】
抛物线
的焦点为
,则直线
为
,设
由
,得
,
则
,
由
,得
,则过点
的切线的斜率为
,
所以过点
的切线方程为
,即
,
同理可得过
的切线方程
,
两切线方程联立,得
,得
,
所以
,
所以点
的坐标为
,
所以
故答案为:
4
17.
(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)利用两角和的正切公式及诱导公式求出
;
(2)先分析出
,利用余弦定理及三角形的面积公式求出△ABC面积的最大值为
,即可求出△ACD面积的最大值.
(1)
因为
,所以
,
所以
.
因为A,B,C为△ABC的内角,所以
,所以
.
即
.
(2)
因为
,所以
.
要求△ACD面积的最大值,只需△ABC面积最大.
因为
,
,
所以由余弦定理得:
即
由基本不等式可得:
(当且仅当a=c=3时取等号).
所以
.
所以
,即△ABC面积的最大值为
,
所以△ACD面积的最大值
.
即△ACD面积的最大值为
.
18.
(1)证明见解析
(2)存在,
或
,
【解析】
【分析】
(1)由已知可得
,则得
,再结合
,由线面垂直的判定定理可证得
平面MBCN;
(2)由
(1)可知
两垂直,所以以
为原点,
所在的直线分别为
轴,建立空间直角坐标系,假设存在,先求出平面
的法向量,利用向量的夹角公式列方程求解判断即可
(1)
证明:
△ABC是边长为6的等边三角形,点M,N分别是边AB,AC的三等分点,且
,
,
所以
,
所以由余弦定理得
,
所以
,所以
,
所以
,
因为
,所以
,
因为
,
所以
平面MBCN;
(2)
由
(1)可知
两垂直,所以以
为原点,
所在的直线分别为
轴,建立空间直角坐标系,如图所示,
则
,
所以
,
因为
,
,
所以
平面
,
所以
为平面
的一个法向量,
假设线段BC上存在点D,设
,则
,
所以
(
),
所以
设平面
的法向量为
,则
,令
,则
,
因为平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
所以
,
化简得
,
,解得
或
,
所以在线段BC上是存在点D,使平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
,
此时
或
,
19.
(1)
;
(2)分布列见解析,
.
【解析】
【分析】
(1)依次求出
、
、
、
、
对应的销售天数,然后利用它们之和为30可求出答案;
(2)首先求出抽取的8天中销售量分别属于
、
、
对应的天数,然后可得
的取值为1,2,3,求出对应的概率,然后可得答案.
(1)
因为每天的销售量x(单位:
件)分布在
内,
其中
(
,且n为偶数)的销售天数为
;
(
,且n为奇数)的销售天数为
.
所以当
时的销售天数为
,
当
时的销售天数为
,
当
时的销售天数为
,
当
时的销售天数为
,
当
时的销售天数为
,
所以
解得
(2)
因为
,
所以当
时的销售天数为
,当
时的销售天数为
,当
时的销售天数为
,
若在销售旺日的3组中用分层抽样的方法随机抽取8天,
则这8天中有2天的销售量属于
,有3天的销售量属于
,有3天的销售量属于
,
所以
的取值为1,2,3,
所以随机变量X的分布列为:
1
2
3
20.
(1)当
时,
在
上为单调递增;当
时,
在
上为单调递减,在
上为单调递增.
(2)证明见见解析.
【解析】
【分析】
(1)求出函数的导数,通过对
分类讨论,求出函数的单调区间即可;
(2)问题转化为证明
成立,构造函数令
,通过二次求导求出函数的最小值即可得证.
(1)
由已知条件得函数
的定义域为
,
,
因为
①当
时,
在
上恒成立,
故
在
上为单调递增.
②当
时,当
时,
,当
时,
故
在
上为单调递减,在
上为单调递增;
综上所述:
当
时,
在
上为单调递增
当
时,
在
上为单调递减,在
上为单调递增
(2)
当
时,
要证原式成立,需证
成立,
即需证
成立,
令
,则
,
令
,则
,故
在
上单调递增,
,
,由零点存在性定理可知,存在
使
,
则在
上
,在
上
,
即在
上
,在
上
,
则
在
上单调递减,在
单调递增,在
处取得最小值,
由
可得
,即
,
两边同取对数
,即
,
的最小值为
,
即
成立,
故当
时,
成立.
【点睛】
关键点睛:
本题考查利用导数讨论函数的单调性,利用导数证明不等式.解答本题的关键是构造函数
,分析其单调性,得出其最小值,从而得出函数在在
处取得最小值,而
满足
,两边同取对数得
,从而得出最小值为0,从而得证.属于难题.
21.
(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)设
,点P到定直线
的距离为d.利用直接法求轨迹方程;
(2)设
.先求出斜率不存在时,
;当斜率不存在时,可设
.由O到l的距离为
,求得
,用“设而不求法”表示出弦长,利用二次函数求最值.
(1)
设
,点P到定直线
的距离为d.
由题意可得:
,即
,整理化简得:
.
即点P的轨迹方程为
.
(2)
设
.
当直线l的斜率不存在时,由原点O到l的距离为
,由对称性不妨设直线l:
.
所以
满足
,
解得:
,所以
.
当直线l的斜率存在时,可设
.
因为原点O到l的距离为
,所以
,即
.
则
满足
,
消去y可得:
.
所以
.
所以
因为
,所以
恒成立,所以
.
所以
令
则
,则
综上所述:
的取值范围为
.
【点睛】
(1)待定系数法、定义法、直接法、参数方程法等方法可以用求二次曲线的标准方程;
(2)“设而不求法”是一种在解析几何中常见的解题方法,可以解决直线与二次曲线相交的问题.
22.
(1)C的普通方程为
,l的直角坐标方程为
;
(2)
.
【解析】
【分析】
(1)由
可得
,
,然后可得C的普通方程,根据
可得l的直角坐标方程;
(2)设C上的点为
,然后结合点到直线的距离公式和三角函数的知识可得答案.
(1)
由
可得
所以
,
因为
,所以
,化简得
即C的普通方程为
,
由
可得
,
所以l的直角坐标方程为
,
(2)
设C上的点为
,
其到l的的距离为
其中
所以当
时,C上的点到l距离最小,最小值为
.
23.
(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)由题意知
,代入即可求出答案;
(2)先求出
的最小值,则
,再由基本不等式即可求出答案.
(1)
由题意,
知
,
或
,x的取值范围为:
.
(2)
,
的最小值为M,所以
,
当且仅当
即
时等号成立.
所以
的最小值为
.
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