高考数学第一章 13二.docx

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高考数学第一章13二

§1.3　算法案例

（二）

学习目标

　1.了解生活中的各种进位制，了解计算机内部运算为什么选择二进制.2.学会各种进位制转换成十进制的计算方法.3.会用除k取余法把十进制转换为各种进位制，并理解其中的数学规律.

知识点一　进位制

思考　59分59秒再过1秒是多少时间？

答案　1小时.

上述计时法遵循的是满60进一，称为六十进制.类比给出k进制的概念.“满k进一”就是k进制，k进制的基数是k.

梳理　一般地，若k是一个大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式anan－1…a1a0（k）（an，an－1，…，a1，a0∈N,0

为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，如二进制数10

（2），六进制数341（6），十进制数一般不标注基数.

知识点二　k进制化为十进制

思考　2小时3分4秒共多少秒？

答案　共2×602＋3×60＋4＝7384秒.

梳理　一般地，将k进制数anan－1…a1a0（k）转化为十进制：

anan－1…a1a0（k）＝an×kn＋an－1×kn－1＋…＋a1×k1＋a0×k0.

知识点三　除k取余法

思考　7384秒是多少小时多少分多少秒？

答案　7384＝123×60＋4，即123分钟4秒.而123分钟＝2×60＋3，即2小时3分.故7384秒是2小时3分4秒.

梳理　一般地，把十进制的数化为k进制的数的方法是：

把十进制数除以k，余数为k进制的个位数.把商再除以k，余数为k进制倒数第二位数；依次除以k，直至商为0.这个方法称为除k取余法.

1.二进制数中可以出现数字3.（　×　）

2.把十进制数转化成其它进制数的方法是除k取余法.（　√　）

3.不同进制数之间可以相互转化.（　√　）

类型一　k进制化为十进制

例1　二进制数110011

（2）化为十进制数是什么数？

考点　k进位制化十进制

题点　k进位制化为十进制

解　110011

（2）＝1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＝32＋16＋2＋1＝51.

反思与感悟　将k进制数anan－1…a1a0（k）化为十进制数的方法：

把k进制数anan－1…a1a0（k）写成各数位上的数字与基数k的幂的乘积之和的形式，然后计算出结果即为对应的十进制数.

跟踪训练1　

（1）把二进制数1110011

（2）化为十进制数.

（2）将8进制数314706（8）化为十进制数.

考点　k进位制化十进制

题点　k进位制化十进制

解　

（1）1110011

（2）＝1×26＋1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＝115.

（2）314706（8）＝3×85＋1×84＋4×83＋7×82＋0×81＋6×80＝104902.

所以，化为十进制数是104902.

类型二　十进制化k进制

例2　将十进制数458分别转化为四进制数和六进制数.

考点　十进位制化k进制

题点　十进位制化其它进制

解　算式如图，

则458＝13022（4）＝2042（6）.

反思与感悟　十进制数化为k进制数的思路为

→

→

.

跟踪训练2　把89化为二进制数.

考点　十进位制化k进制

题点　十进位制化二进制

解　算式如图，

则89＝1011001

（2）.

类型三　两种非十进制互化

例3　324（5）化为二进制数是________.

考点　k进制化十进制

题点　其它进制之间的互化

答案　1011001

（2）

解析　先将五进制数324（5）化为十进制数：

324（5）＝3×52＋2×5＋4＝89，再把十进制数89化成二进制数的算法

如图.

得1011001

（2），∴324（5）化为二进制数是1011001

（2）.

反思与感悟　两种非十进制之间转化以十进制为中转站.

跟踪训练3　将七进制数235（7）化为八进制数为________.

考点　k进制化十进制

题点　其它进制之间的互化

答案　174（8）

解析　235（7）＝2×72＋3×71＋5×70＝124，

利用除8取余法可得124＝174（8），

所以235（7）＝174（8）.

1.已知175（r）＝125（10），则r的值为（　　）

A.1B.5

C.3D.8

考点　k进位制化十进制

题点　k进位制中的运算

答案　D

解析　∵1×r2＋7×r1＋5×r0＝125，∴r2＋7r－120＝0，∴r＝8或r＝－15（舍去），∴r＝8，故选D.

2.下列各数中，最小的数是（　　）

A.85（9）B.210（6）

C.1000（4）D.111111

（2）

考点　k进位制化十进制

题点　k进位制中的运算

答案　D

解析　85（9）＝8×9＋5＝77,210（6）＝2×62＋1×6＋0＝78,1000（4）＝1×43＝64,111111

（2）＝1×25＋1×24＋1×23＋1×22＋1×2＋1＝63.故最小的是63.

3.把189化为三进制数，则末位数是（　　）

A.0B.1

C.2D.3

考点　十进位制化k进制

题点　十进位制化其它进制

答案　A

解析　采用“除k取余法”，得

即189＝21000（3）.

4.已知10b1

（2）＝a02（3），则a＋b的值为（　　）

A.0B.1

C.2D.3

考点　k进位制化十进制

题点　其它进制之间的互化

答案　C

解析　∵10b1

（2）＝1×23＋b×2＋1＝2b＋9，

a02（3）＝a×32＋2＝9a＋2，

∴2b＋9＝9a＋2，即9a－2b＝7.

∵a∈{1,2}，b∈{0,1}，

∴当a＝1，b＝1时符合题意，

当a＝2，b＝

时不合题意，

∴a＝1，b＝1，即a＋b＝2，

故选C.

5.

（1）将二进制数

（2）转化成十进制数；

（2）将53（8）转化为二进制数.

考点　k进位制化十进制

题点　其它进位制之间的互化

解　

（1）

（2）＝1×215＋1×214＋…＋1×21＋1×20＝216－1.

（2）先将八进制数53（8）转化为十进制数：

53（8）＝5×81＋3×80＝43；

再将十进制数43转化为二进制数的算法如图.

所以53（8）＝101011

（2）.

1.要把k进制数化为十进制数，首先把k进制数表示成不同位上数字与k的幂的乘积之和，其次按照十进制的运算规则计算和.

2.十进制数化为k进制数（除k取余法）的步骤：

3.把一个非十进制数化为另一个非十进制数时，要先把这个数化为十进制数，再利用“除k取余法”化为另一个非十进制数.

一、选择题

1.下列各数可能是五进制数的是（　　）

A.55B.106

C.732D.2134

考点　k进位制化十进制

题点　k进位制的概念

答案　D

解析　五进制数的基数是5，在所构成的数中，只可能用0,1,2,3,4这5个数字.

2.下列写法正确的是（　　）

A.751（16）B.751（7）

C.095（12）D.901

（2）

考点　k进位制化十进制

题点　k进位制的概念

答案　A

解析　七进制不可能有数字7，二进制也不可能有数字9，B，D错.C项首位为0，也错.

3.两个二进制数101

（2）与110

（2）的和用十进制数表示为（　　）

A.12B.11

C.10D.9

考点　k进位制化十进制

题点　k进位制化十进制

答案　B

解析　101

（2）＝1×22＋0×21＋1×20＝5,110

（2）＝1×22＋1×21＋0×20＝6.即和为5＋6＝11.

4.四位二进制数能表示的最大十进制数是（　　）

A.4B.64

C.255D.15

考点　k进位制化十进制

题点　k进位制化十进制

答案　D

解析　由二进制数化为十进制数的过程可知，当四位二进制数为1111时表示的十进制数最大，

此时，1111

（2）＝15.

5.已知44（k）＝36，把67（k）转化为十进制数为（　　）

A.8B.55

C.56D.62

考点　k进位制化十进制

题点　k进位制化十进制

答案　B

解析　由题意得，36＝4×k1＋4×k0，所以k＝8.

则67（k）＝67（8）＝6×81＋7×80＝55.

6.下列与二进制数1001101

（2）相等的是（　　）

A.115（8）B.113（8）

C.114（8）D.116（8）

考点　k进位制化十进制

题点　其它进位制间的互化

答案　A

解析　先化为十进制数：

1001101

（2）＝1×26＋1×23＋1×22＋1×20＝77，

再化为八进制：

所以77＝115（8），

所以1001101

（2）＝115（8）.

7.已知一个k进制的数132与十进制的数30相等，那么k等于（　　）

A.7或4B.－7

C.4D.都不对

考点　k进位制化十进制

题点　k进位制化十进制

答案　C

解析　132（k）＝1×k2＋3×k＋2＝k2＋3k＋2，

∴k2＋3k＋2＝30，

即k2＋3k－28＝0，

解得k＝4或k＝－7（舍去）.

8.三位七进制数中的最大数表示的十进制的数是（　　）

A.322B.402

C.342D.365

考点　k进位制化十进制

题点　k进位制化十进制

答案　C

解析　三位七进制数中的最大数为666（7），则转化为十进制为666（7）＝6×72＋6×71＋6×70＝294＋42＋6＝342.

9.下列四个数最大的是（　　）

A.322（7）B.402（6）

C.342（7）D.355（6）

考点　k进位制化十进制

题点　k进位制化十进制

答案　C

解析　342（7）＝3×72＋4×7＋2＝177，

402（6）＝4×62＋0×6＋2＝146.

所以342（7）＞402（6）.

而342（7）＞322（7），402（6）＞355（6），

所以最大的数是342（7）.

10.类似于十进制中的逢10进1，十二进制的进位原则是逢12进1，采用数字0,1,2，…，9和字母M，N作计数符号，这些符号与十进制的数字对应关系如下表：

十二进制

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

M

N

十进制

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

例如，因为563＝3×122＋10×12＋11，所以十进制中的563在十二进制中就表示为3MN.那么十进制中的2008在十二进制中被表示为（　　）

A.11N4B.1N25

C.12N4D.1N24

考点　十进位制化k进制

题点　十进位制化其它进制

答案　A

解析　利用除12取余法得

∴2008（10）＝11N4（12）.

二、填空题

11.若146（x）＝66，则x的值为________.

考点　k进位制化十进制

题点　k进位制化十进制

答案　6

解析　146（x）＝1×x2＋4×x＋6×x0＝66.

可得x＝6.

12.若6×6＝44，则在这种进制里的数76记成十进制数是________.

考点　k进制化十进制

题点　k进位制中的运算

答案　62

解析　设44为k进制数，而6×6＝36，

∴44（k）＝36.

∴4×k＋4＝36，∴k＝8.

故76（8）＝7×8＋6＝62.

三、解答题

13.将五进制数44（5）转化为二进制数.

考点　k进位制化十进制

题点　其它进制之间的互化

解　44（5）＝4×51＋4×50＝24，

所以24＝11000

（2），即44（5）＝11000

（2）.

四、探究与拓展

14.已知三个数12（16），25（7），33（4），将它们按由小到大的顺序排列为________________.

考点　k进制化十进制

题点　k进位制化十进制

答案　33（4）<12（16）<25（7）

解析　将三个数都化为十进制数.

12（16）＝1×16＋2＝18,25（7）＝2×7＋5＝19，

33（4）＝3×4＋3＝15，

∴33（4）<12（16）<25（7）.

15.十六进制数与十进制数的对应如表：

十六进制数

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

A

B

C

D

E

F

十进制数

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

例如：

A＋B＝11＋12＝16＋7＝F＋7＝17（16），所以A＋B的值用十六进制表示就等于17（16）.

试计算：

A×B＋D＝________.（用十六进制表示）

考点　k进位制化十进制

题点　k进位制化十进制

答案　92（16）

解析　∵A×B＋D＝11×12＋14＝146，

146÷16＝9…2,9÷16＝0…9，

∴用十六进制表示146为92（16）.