中考数学一轮复习第三单元函数考 题 训 16二次函数的图象和性质二.docx
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中考数学一轮复习第三单元函数考题训16二次函数的图象和性质二
2019-2020年中考数学一轮复习第三单元函数考题训16二次函数的图象和性质
(二)
一、选择题
1.[2014·柳州]小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图K16-1,则关于x的方程x2+ax+b=0的解是( )
图K16-1
A.无解B.x=1
C.x=-4D.x=-1或x=4
2.[2015·荆州]将抛物线y=x2-2x+3向上平移2个单位,再向右平移3个单位后,得到的抛物线所对应的函数表达式为( )
A.y=(x-1)2+4B.y=(x-4)2+4
C.y=(x+2)2+6D.y=(x-4)2+6
3.[2014·临沂]在平面直角坐标系中,函数y=x2-2x(x≥0)的图象为C1,图象C1关于原点对称的图象为C2,则直线y=a(a为常数)与图象C1,C2的交点共有( )
A.1个
B.1个或2个
C.1个或2个或3个
D.1个或2个或3个或4个
4.[2015·兰州]二次函数y=x2+x+c的图象与x轴的两个交点为A(x1,0),B(x2,0),且x1<x2,点P(m,n)是图象上一点,那么下列判断正确的是( )
A.当n<0时,m<0
B.当n>0时,m>x2
C.当n<0时,x1<m<x2
D.当n>0时,m<x1
5.[2015·深圳]二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图K16-2所示,下列说法正确的个数是( )
①a>0;②b>0;③c<0;④b2-4ac>0.
图K16-2
A.1B.2C.3D.4
6.二次函数y=ax2+bx的图象如图K16-3,若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根,则m的最大值为( )
A.-3B.3C.-6D.9
图K16-3 图K16-4
7.如图K16-4,把抛物线y=x2沿直线y=x平移
个单位后,其顶点在直线上的点A处,则平移后抛物线所对应的函数表达式是( )
A.y=(x+1)2-1B.y=(x+1)2+1
C.y=(x-1)2+1D.y=(x-1)2-1
8.[2015·苏州]若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点(2,0)且平行于y轴的直线,则关于x的方程x2+bx=5的解为( )
A.x1=0,x2=4B.x1=1,x2=5
C.x1=1,x2=-5D.x1=-1,x2=5
9.[2014·聊城]如图K16-5是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,直线x=-1是对称轴,有下列判断:
①b-2a=0;②4a-2b+c<0;③a-b+c=-9a;④若(-3,y1),
是抛物线上两点,则y1>y2.其中正确的是( )
A.①②③B.①③④
C.①②④D.②③④
图K16-5 图K16-6
10.[2015·成都模拟]已知二次函数y=x2-2x-1的图象如图K16-6所示,根据图中提供的信息,求使得y≤2成立的x的取值范围是( )
A.x≤-1或x≥3B.-2≤x≤2
C.x≥-2D.-1≤x≤3
二、填空题
11.[2015·黄冈中学自主招生]若抛物线y=2x2-px+4p+1中不管p取何值时都通过定点,则定点坐标为________.
12.如图K16-7是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分,给出下列命题:
①a+b+c=0;②b>2a;③关于x的方程ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1;④a-2b+c>0.其中正确的命题是________(只要求填写正确命题的序号).
图K16-7
三、解答题
13.[2015·宁波]已知抛物线y=(x-m)2-(x-m),其中m是常数.
(1)求证:
不论m为何值,该抛物线与x轴一定有两个公共点;
(2)若该抛物线的对称轴为直线x=
.
①求该抛物线所对应的函数表达式;
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点.
14.[2015·张家界模拟]在平面直角坐标系中,将抛物线y1=x2-4x+1向左平移3个单位,再向上平移4个单位,得到抛物线y2,然后将抛物线y2绕其顶点顺时针旋转180°,得到抛物线y3.
(1)求抛物线y2,y3所对应的函数表达式;
(2)求y3<0时,x的取值范围;
(3)判断以抛物线y3的顶点以及其与x轴的交点为顶点的三角形的形状,并求它的面积.
15.[2014·娄底]如图K16-8,抛物线y=x2+mx+(m-1)与x轴交于点A(x1,0),B(x2,0),x1 (1)求抛物线所对应的函数表达式. (2)在抛物线上能不能找到一点P,使∠POC=∠PCO,若能,请求出点P的坐标;若不能,请说明理由. 图K16-8 参考答案 1.D [解析]∵函数y=x2+ax+b的图象与x轴的交点坐标分别是(-1,0),(4,0),∴关于x的方程x2+ax+b=0的解是x=-1或x=4.故选D. 2.B 3.C [解析]函数y=x2-2x(x≥0)的图象为C1,图象C1关于原点对称的图象为C2,∴图象C2所对应的函数表达式是y=-x2-2x,当a时,直线y=a与图象有一个交点;当-1<a<0或0<a<1时,直线y=a与图象C1,C2共有两个交点;当a=0时,直线y=a(a为常数)与图象C1,C2的交点共有3个.故选C. 4.C [解析]∵a=1>0, ∴图象开口向上. ∵抛物线的对称轴为直线x=- =- =- , 二次函数y=x2+x+c的图象与x轴的两个交点A(x1,0),B(x2,0),且x1<x2, 无法确定x1与x2的正负情况, ∴当n<0时,x1<m<x2,但m的正负无法确定,故A项错误,C项正确; 当n>0时,m<x1或m>x2,故B,D两项错误, 故选C. 5.B [解析]∵抛物线开口向下, ∴a<0,所以①错误; ∵抛物线的对称轴在y轴右侧, ∴- >0, ∴b>0,所以②正确; ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方, ∴c>0,所以③错误; ∵抛物线与x轴有两个交点, ∴Δ=b2-4ac>0,所以④正确. 故选B. 6.B [解析]∵抛物线的开口向上,顶点的纵坐标为-3, ∴a>0, =-3,即b2=12a. ∵关于x的一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根, ∴Δ=b2-4am≥0,即12a-4am≥0, 即12-4m≥0,解得m≤3, ∴m的最大值为3. 故选B. 7.C [解析]∵点A在直线y=x上, ∴设点A(m,m). ∵OA= ,∴m2+m2=( )2,解得m=1, ∴点A(1,1), ∴抛物线所对应的函数表达式为y=(x-1)2+1.故选C. 8.D [解析]∵对称轴是经过点(2,0)且平行于y轴的直线, ∴- =2, 解得b=-4, 解方程x2-4x=5, 得x1=-1,x2=5. 故选D. 9.B [解析]∵抛物线的对称轴是直线x=-1, ∴- =-1,b=2a,∴b-2a=0,∴①正确. ∵抛物线的对称轴是直线x=-1,和x轴的一个交点是(2,0), ∴抛物线和x轴的另一个交点是点(-4,0), ∴把x=-2代入函数表达式得y=4a-2b+c>0, ∴②错误. ∵图象过点(2,0),将(2,0)代入二次函数表达式得4a+2b+c=0. 又∵b=2a,∴c=-4a-2b=-8a, ∴a-b+c=a-2a-8a=-9a,∴③正确. ∵抛物线和x轴的交点坐标是(2,0)和(-4,0),抛物线的对称轴是直线x=-1, ∴点(-3,y1)关于对称轴的对称点的坐标是(1,y1). ∵ 在抛物线上,1< , ∴y1>y2,∴④正确.即正确的有①③④,故选B. 10.D 11.(4,33) [解析]y=2x2-px+4p+1可化为y=2x2-p(x-4)+1, 当x=4时,y=33,且与p的取值无关. 故不管p取何值时都通过定点(4,33). 12.①③ [解析]从图象可知,当x=1时, y=a+b+c=0,故①正确; 对称轴为直线x=- =-1,所以b=2a,②不正确; 从抛物线与x轴的两个交点来看, 关于x的方程ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1,故③正确; 因为对称轴在原点左侧,a,b同号,a>0,b>0, 因为b=2a,所以a-2b+c=a-4a+c=-3a+c. 又因为抛物线与y轴交于负半轴, 所以c<0, 所以-3a+c<0,即a-2b+c<0,④不正确. 所以①③正确. 13.解: (1)证明: y=(x-m)2-(x-m)=x2-(2m+1)x+m2+m, ∵Δ=(2m+1)2-4(m2+m)=1>0, ∴不论m为何值,该抛物线与x轴一定有两个公共点. (2)①∵x=- = , ∴m=2, ∴抛物线所对应的函数表达式为y=x2-5x+6. ②设抛物线沿y轴向上平移k个单位后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点,则平移后抛物线所对应的函数表达式为y=x2-5x+6+k, ∵抛物线y=x2-5x+6+k与x轴只有一个公共点, ∴Δ=52-4(6+k)=0, ∴k= , 即把该抛物线沿y轴向上平移 个单位后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点. 14.解: (1)由y1=x2-4x+1得y1=(x-2)2-3, 由题意,得y2=(x-2+3)2-3+4, 即y2=x2+2x+2. 因为将抛物线y2绕其顶点顺时针旋转180°得到的抛物线开口向下,顶点不变,形状不变,所以y3=-(x+1)2+1. 即y3=-x2-2x. (2)令y3=0,即-x2-2x=0,解得x1=0,x2=-2, 由函数图象可知,当x<-2或x>0时,y3<0. (3)由图象可知,此三角形为等腰直角三角形. 由题意知抛物线y3的顶点的横坐标为x= =-1,则顶点的纵坐标为y=-1+2=1. ∴抛物线y3的顶点坐标为(-1,1), ∴S= ×2×1=1,所以三角形的面积为1. 15.解: (1)由题意,得x1+x2=-m,x1·x2=m-1. ∵x12+x22+x1x2=7, ∴(x1+x2)2-x1x2=7, ∴m2-m+1=7, 解得m1=3(舍去),m2=-2, ∴抛物线所对应的函数表达式为y=x2-2x-3. (2)能,点P是线段OC的垂直平分线与抛物线的交点. ∵点C(0,-3), ∴线段OC的中点坐标是 . 把y=- 代入抛物线所对应的函数表达式,得- =x2-2x-3,解得x1= ,x2= , ∴点P的坐标是 或 . 2019-2020年中考数学一轮复习第三单元函数考题训17二次函数的应用 一、选择题 1.[2015·湘阴模拟]某种品牌的服装进价为每件150元,当售价为每件210元时,每天可卖出20件.现需降价处理,且经市场调查: 每件服装每降价2元,每天可多卖出1件.在确保盈利的前提下,若设每件服装降价x元,每天售出服装的利润为y元,则y与x的函数表达式为( ) A.y=- x2+10x+1200(0<x<60) B.y=- x2-10x+1250(0<x<60) C.y=- x2+10x+1250(0<x<60) D.y=- x2+10x+1250(x≤60) 2.在一大片空地上有一堵墙(线段AB),现有铁栏杆40m,准备充分利用这堵墙建造一个封闭的矩形花圃,如果墙AB=8m,那么设计的花圃面积最大为( ) A.100m2B.128m2 C.144m2D.200m2 3.[2015·铜仁]河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图K17-1所示的平面直角坐标系,其函数表达式为y=- x2,当水面离桥拱顶的高度OD是4m时,这时水面宽度AB为( ) 图K17-1 A.-20mB.10m C.20mD.-10m 二、填空题 4.[2013·崇左]崇左市政府大楼前广场有一喷水池,水从地面喷出,喷出水的路径是一条抛物线.如果以水平地面为x轴,建立如图K17-2所示的平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x(单位: 米)的一部分,则水喷出的最大高度是________米. 图K17-2 5.[2013·韶关]一司机发现前面有一不明物体,于是采取紧急刹车,汽车刹车后行驶距离s(m)与行驶时间t(s)之间的函数表达式为s=20t-5t2,则这个物体至少在________m以外,司机刹车后才不会撞到物体. 6.[2015·兰州二模]如图K17-3所示,抛物线y=- x2+bx+c过点A(0,2),B(1,3),CB⊥x轴于点C,四边形CDEF为正方形,点D在线段BC上,点E在此抛物线上,且在直线BC的左侧,则正方形CDEF的边长为________. 图K17-3 三、解答题 7.[2014·成都]在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图K17-4所示的直角墙角(两边足够长),用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边),设AB=xm. (1)若花园的面积为192m2,求x的值; (2)若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15m和6m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),求花园面积S的最大值. 图K17-4 8.[2015·南通]某网店打出促销广告: 最潮新款服装30件,每件售价300元.若一次性购买不超过10件时,售价不变;若一次性购买超过10件时,每多买1件,所买的每件服装的售价均降低3元.已知该服装成本是每件200元,设顾客一次性购买服装x件时,该网店从中获利y元. (1)求y与x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围; (2)当顾客一次性购买多少件时,该网店从中获利最多? 9.[2015·荆门]甲经销商库存有1200套A品牌服装,每套进价400元,每套售价500元,一年内可卖完.现市场流行B品牌服装,每套进价300元,每套售价600元,但一年内只允许经销商一次性订购B品牌服装,一年内B品牌服装销售无积压.因甲经销商无流动资金可用,只有低价转让A品牌服装,用转让来的资金购进B品牌服装,并销售.经与乙经销商协商,甲、乙双方达成转让协议,转让价格y(元/套)与转让数量x(套)之间的函数表达式为y=- x+360(100≤x≤1200),若甲经销商转让x套A品牌服装,一年内所获总利润为W(元). (1)求转让后剩余的A品牌服装的销售款Q1(元)与x(套)之间的函数表达式; (2)求B品牌服装的销售款Q2(元)与x(套)之间的函数表达式; (3)求W(元)与x(套)之间的函数表达式,并求W的最大值. 10.[2013·连云港]我市某海域内有一艘渔船发生故障,海事救援船接到求救信号后立即从港口出发沿直线匀速前往救援,与故障渔船会合后立即将其拖回.如图K17-5,折线段O—A—B表示救援船在整个航行过程中离港口的距离y(海里)随航行时间x(分)的变化规律.抛物线y=ax2+k表示故障渔船在漂移过程中离港口的距离y(海里)随漂移时间x(分)的变化规律.已知救援船返程速度是前往速度的 . 根据图象提供的信息,解答下列问题: (1)救援船行驶了________海里与故障渔船会合; (2)求救援船的前往速度; (3)若故障渔船在发出求救信号后40分钟内得不到营救就会有危险,请问救援船的前往速度每小时至少是多少海里,才能保证故障渔船的安全? 图K17-5 参考答案 1.A 2.B 3.C [解析]根据题意,知点B的纵坐标为-4, 把y=-4代入y=- x2,得x=±10, ∴点A(-10,-4),B(10,-4), ∴AB=20m. 即水面宽度AB为20m. 故选C. 4.4 [解析]∵水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x,∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=-x2+4x的顶点的纵坐标. ∵y=-x2+4x=-(x-2)2+4, ∴顶点坐标为(2,4), ∴水喷出的最大高度为4米. 5.20 [解析]函数表达式为s=20t-5t2, 变形得s=-5(t-2)2+20, 所以当t=2时,汽车滑行距离最远为20m. 故这个物体至少在20m以外,司机刹车后才不会撞到物体. 6. [解析]把点A(0,2),B(1,3)代入y=- x2+bx+c,得 解得 所以二次函数表达式为y=- x2+ x+2. 设正方形CDEF的边长为a,则D(1,a),E(1-a,a), 把点E(1-a,a)代入y=- x2+ x+2, 得- (1-a)2+ (1-a)+2=a, 整理得a2+3a-6=0,解得a1= ,a2= (舍去), 所以正方形CDEF的边长为 . 7.解: (1)∵AB=xm,则BC=(28-x)m, ∴x(28-x)=192,解得x1=12,x2=16. 即x的值为12或16. (2)由题意,得S=x(28-x)=-x2+28x=-(x-14)2+196. ∵在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15m和6m, ∴ ∴6≤x≤13. ∵二次函数图象的对称轴为直线x=14, ∴在6≤x≤13时,S随x的增大而增大, ∴当x=13时,S取得最大值,S最大值=-(13-14)2+196=195. 答: 花园面积S的最大值为195m2. 8.解: (1) y= (2)当0≤x≤10时,y=100x,当x=10时,y有最大值1000; 当10 当x=21 时,y取得最大值. ∵x为整数,根据抛物线的对称性得x=22时,y有最大值1408. ∵1408>1000, ∴当顾客一次性购买22件时,该网店从中获利最多. 9.解: (1)∵甲经销商库存有1200套A品牌服装,每套售价500元,转让x套给乙, ∴Q1=500×(1200-x)=-500x+600000(100≤x≤1200). (2)∵转让价格y(元/套)与转让数量x(套)之间的函数表达式为y=- x+360(100≤x≤1200),B品牌服装每套进价300元, ∴转让后的资金可以购进B品牌服装 件, ∴Q2= ×600=- x2+720x(100≤x≤1200). (3)∵由 (1) (2)知,Q1=-500x+600000,Q2=- x2+720x, ∴W=Q1+Q2-400×1200=-500x+600000- x2+720x-480000=- (x-550)2+180500, 当x=550时,W有最大值,最大值为180500元. 10.解: (1)16 (2)设救援船的前往速度为每分钟V海里,则返程速度为每分钟 海里. 由题意得 = -16,解得V=0.5. 经检验,V=0.5是原方程的解且符合题意. 答: 救援船的前往速度为每分钟0.5海里(或写成每小时30海里). (3)由 (2)知t=16÷0.5=32,则点A(32,16). 将点A(32,16),C(0,12)代入y=ax2+k, 可求得y= x2+12. 当x=40时,y= ×402+12= , ÷ = (海里). 所以救援船的前往速度每小时至少是 海里.
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