优质公开课一元一次方程.docx

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优质公开课一元一次方程

第五章　一元一次方程

5．1　认识一元一次方程

第1课时　认识一元一次方程

1．借助类比、归纳的方法概括一元一次方程的概念．（重点）

2．能根据实际问题列一元一次方程．（难点）

阅读教材P130～131，完成预习内容．

（一）知识探究

1．只含有一个未知数，且方程中的代数式都是整式，未知数的指数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．

2．使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解．

（二）自学反馈

1．下列是一元一次方程的是（C）

A．x2－x＝4　　　B．2x－y＝0

C．2x＝1D.

＝2

2．根据题意列出方程：

（1）x的2倍与3的和等于5：

2x＋3＝5；

（2）x的

与1的和为8：

x＋1＝8；

（3）x与

的商与4的差为9：

x－4＝9．

活动1　小组讨论

例1　判断下列是不是一元一次方程，是打“√”，不是打“×”．

①x＋3＝4；（√）

②－2x＋3＝1；（√）

③2x＋13＝6－y；（×）

④

＝6；（×）

⑤2x－8>－10；（×）

⑥3＋4x＝7x.（√）

例2　检验2和－3是否为方程

－1＝x－2的解．

解：

－3是，2不是．

　代入方程中使方程左右两边相等的值就是方程的解．

例3　根据下面实际问题中的数量关系，设未知数列出方程：

（1）用一根长为24cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长为多少？

解：

设正方形的边长为xcm，列方程得：

4x＝24．

（2）练习本每本0.8元，小明拿了10元钱买了若干本，还找回4.4元．问：

小明买了几本练习本？

解：

设小明买了x本，列方程得：

0.8x＝10－4.4．

（3）长方形的周长为24cm，长比宽多2cm，求长和宽分别是多少．

解：

设长为xcm，则宽为x－2cm，依题意得方程：

2（x＋x－2）＝24．

　设未知数，找等量关系，用方程表示简单实际问题中的相等关系．

活动2　跟踪训练

1．如果方程

x2n－7－

＝1是关于x的一元一次方程，那么n的值为（B）

A．2　　　B．4　　　C．3　　　D．1

2．下列值中，是方程x＋3＝－1的解的是（B）

A．x＝2B．x＝－4

C．x＝4D．x＝－2

3．若关于x的方程（m－1）x＋5＝0是一元一次方程，则m的值应满足（A）

A．不可能是1B．不可能是2

C．不可能是0D．不可能是－2

4．小丁今年5岁，妈妈30岁，几年后，妈妈的年龄是小丁的2倍？

设x年后，妈妈的年龄是小丁的2倍．

则x年后小丁的年龄为（x＋5）岁，妈妈的年龄为（x＋30）岁．根据题意列出方程为2（x＋5）＝（x＋30）．

活动3　课堂小结

1．方程及一元一次方程的定义．

2．如何列方程，什么是方程的解．

第2课时　等式的基本性质

1．借助直观对象理解等式的基本性质．

2．掌握利用等式的基本性质解一元一次方程的基本技能．（重点）

3．进一步体会解一元一次方程的含义和解方程的基本过程．

阅读教材P132～133，完成预习内容．

（一）知识探究

等式的基本性质：

等式两边同时加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式．

等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式．

（二）自学反馈

1．下列变形符合等式的基本性质的是（D）

A．如果2x－3＝7，那么2x＝7－3

B．如果3x－2＝x＋1，那么3x－x＝1－2

C．如果－2x＝5，那么x＝5＋2

D．如果－

x＝1，那么x＝－3

2．解方程－

x＝12时，应在方程两边（D）

A．同时乘－

B．同时乘4

C．同时除以

D．同时除以－

3．利用等式的性质解下列方程：

（1）x＋7＝26；　

（2）－5x＝20.

解：

x＝19.解：

x＝－4.

　注意用等式性质对方程进行逐步变形，最终可变形为“x＝a”的形式．

活动1　小组讨论

例　解下列方程：

（1）x＋2＝5；　　　　　　　　

（2）3＝x－5.

解：

方程两边同时减去2,解：

方程两边同时加上5，

得x＋2－2＝5－2.得3＋5＝x－5＋5.

∴x＝3.∴x＝8.

（3）－3x＝15;（4）－

－2＝10.

解：

方程两边同时除以－3,解：

方程两边同时加上2，

得

＝

，得－

－2＋2＝10＋2.

化简，得x＝－5.化简，得－

＝12.

方程两边同时乘－3，

得n＝－36.

　运用等式的性质解方程时不能漏掉某一边或某一项．

活动2　跟踪训练

1．如果

x＝0.5，那么x＝1；如果x－3＝2，那么x＝5．

2．若－2x＝2y，则x＝－y，根据是等式的基本性质2．

3．方程2x－1＝0的解是x＝0.5．

4．利用等式的基本性质解下列方程：

（1）x＋1＝6；　　　　

（2）3－x＝7；

解：

x＝5.解：

x＝－4.

（3）－3x＝21;（4）－

x＋2＝13－

x.

解：

x＝－7.解：

x＝－22.

活动3　课堂小结

1．通过对等式的基本性质的探讨研究，我们知道等式的基本性质在小学的基础上“代数化”了．

2．利用等式的基本性质可进行一元一次方程的求解，它使得解方程的每一个环节都有充分的代数依据．

3．本课学习的完成，使得上课时的实际问题得以解决．

4．要养成对所解方程解回顾检验的习惯.

5.2　求解一元一次方程

第1课时　用移项和合并同类项解一元一次方程

1．进一步熟悉利用等式的基本性质解一元一次方程的基本技能．

2．在解方程的过程中分析、归纳出移项法则，并能运用这一法则解方程．（重难点）

阅读教材P135～136，完成预习内容．

（一）知识探究

1．把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项．必须牢记，移项要变号．

2．利用移项解一元一次方程的一般步骤：

移项→合并同类项→系数化为1．

（二）自学反馈

1．方程3x－7＝x＋3，移项得（A）

A．3x－x＝7＋3　　　B．3x＋x＝7＋3

C．3x－x＝－7＋3D．3x＋x＝－7＋3

2．方程6x＝3＋5x的解是（B）

A．x＝2B．x＝3

C．x＝－2D．x＝－3

3．解方程：

2.5x＋318＝1068.

解：

x＝300.

活动1　小组讨论

例1　解方程：

（1）2x＋6＝1；　

（2）3x＋3＝2x＋7.

解：

（1）移项，得2x＝1－6.

化简，得2x＝－5.

方程两边同时除以2，得x＝－

.

（2）移项，得3x－2x＝7－3.

合并同类项，得x＝4.

例2　解方程：

x＝－

x＋3.

解：

移项，得

x＋

x＝3.

合并同类项，得

x＝3.

方程两边同时除以

（或同乘

），得x＝4.

活动2　跟踪训练

1．下列变形属于移项的是（D）

A．由3x＝5＋2得到3x＋2＝5

B．由－x＝2x－1得到－1＝2x＋x

C．由5x＝15得到x＝

D．由1－7x＝－6x得到1＝7x－6x

2．解方程6x＋1＝－4，移项正确的是（D）

A．6x＝4－1B．－6x＝－4－1

C．6x＝1＋4D．6x＝－4－1

3．解方程3x－4＝3－2x有三个步骤：

①移项，得3x＋2x＝3＋4；②合并同类项，得5x＝7；③系数化为1，得x＝

．

4．解下列方程：

（1）－7x＝63；　　　　　

（2）

x＋1＝

；

解：

x＝－9.解：

x＝－

.

（3）3x＋2＝5x－7;（4）0.4x＋0.9＝－0.1－0.6x.

解：

x＝

.解：

x＝－1.

活动3　课堂小结

1．本节课学习了哪些内容？

哪些思想方法？

2．移项的目的是什么？

3．为什么学习了等式的基本性质还学习移项法则呢？

第2课时　解带括号的一元一次方程

1．会解含有括号的一元一次方程，进一步体会解方程是运用方程解决实际问题重要环节．（重点）

2．通过观察、思考，使学生探索方程的解法，经历和体验用多种方法解方程的过程，提高解决问题的能力．

阅读教材P137～138，完成预习内容．

（一）知识探究

要去括号，就要根据去括号法则及乘法分配律，特别是当括号前是“－”号时，去括号时，各项都要变号，若括号前有数字，则要乘遍括号内所有项，不能漏乘并注意符号．

（二）自学反馈

解方程：

（1）2（x－2）＝－（x＋3）；　

（2）2（x－4）＋2x＝7－（x－1）；

解：

x＝

.解：

x＝

.

（3）－3（x－2）＋1＝4x－（2x－1）．

解：

x＝

.

　去括号不能漏乘，并注意符号．

活动1　小组讨论

例　解方程：

（1）4（x＋0.5）＋x＝17；

解：

去括号，得4x＋2＋x＝17.

移项，得4x＋x＝17－2.

合并同类项，得5x＝15.

方程两边同除以5，得x＝3.

（2）－2（x－1）＝4.

解法一：

去括号，得－2x＋2＝4.

移项，得－2x＝4－2.

化简，得－2x＝2.

方程两边同时除以－2，得x＝－1.

解法二：

方程两边同时除以－2，得x－1＝－2.

移项，得x＝－2＋1.

即x＝－1.

活动2　跟踪训练

1．将方程5（x－1）＝1去括号，正确的是（D）

A．5x－1＝1B．5x－5＝5

C．5x＋5＝1D．5x－5＝1

2．方程4（x－1）－x＝2的解是（B）

A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4

3．阅读并填空：

解方程：

5（x＋8）－5＝6（2x－7）．

解：

去括号，得5x＋40－5＝12x－42.

移项，得5x－12x＝－42－40＋5.

合并同类项，得－7x＝－77.

系数化为1，得x＝11．

4．解下列方程：

（1）5（x－8）－5＝0；　　

（2）8y－6（y－2）＝0；

解：

x＝9.解：

y＝－6.

（3）4x－3（20－x）＝－4;（4）－6－3（8－x）＝－2（15－2x）．

解：

x＝8.解：

x＝0.

活动3　课堂小结

1．本节课我们学习了哪些内容？

哪些思想方法？

2．解含有括号的一元一次方程的一般步骤是什么？

每步变形的依据及需注意什么？

第3课时　解含分母的一元一次方程

1．会用较简单的方法解含分数系数的一元一次方程，并归纳解一元一次方程的步骤．（重点）

2．掌握一元一次方程的解法、步骤，并灵活运用解答相关题目，体验把复杂转化为简单，把“陌生”转化为“熟知”基本思想．（难点）

阅读教材P138～139，完成预习内容．

（一）知识探究

解一元一次方程的步骤：

解一元一次方程，一般要通过去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1等步骤，把一个一元一次方程“转化”成x＝a的形式．

（二）自学反馈

1．解方程：

3x＋

＝

－

.

解：

两边都乘12，去分母，得12×3x＋6（x－1）＝3（x＋1）－4（2x－1）．

去括号，得36x＋6x－6＝3x＋3－8x＋4．

移项，得36x＋6x－3x＋8x＝3＋4＋6．

合并同类项，得47x＝13．

系数化为1，得x＝

．

2．解方程：

＋1＝2－

.

解：

x＝

.

　去分母时不要漏乘每一项，去分母后分子是多项式的要用括号括起来．

活动1　小组讨论

例　解方程：

（1）

（x＋14）＝

（x＋20）；

解法一：

去括号，得

x＋2＝

x＋5.

移项、合并同类项，得－3＝

x.

两边同时除以

（或同乘以

），得－28＝x.

即x＝－28.

解法二：

去分母，得4（x＋14）＝7（x＋20）．

去括号，得4x＋56＝7x＋140.

移项，合并同类项，得－3x＝84.

方程两边同除以－3，得x＝－28.

（2）

（x＋15）＝

－

（x－7）．

解：

去分母，得6（x＋15）＝15－10（x－7）．

去括号，得6x＋90＝15－10x＋70.

移项、合并同类项，得16x＝－5.

方程两边同除以16，得x＝－

.

活动2　跟踪训练

1．将方程

＝2＋x去分母，得（C）

A．x＋3＝2＋x　　　　　　B．x＋3＝2＋2x

C．x＋3＝2（2＋x）D．x＋3＝2＋x

2．方程

＝

的解为（D）

A．x＝4B．x＝1

C．x＝－1D．x＝－4

3．方程

＝

的解是x＝

．

4．解方程：

（1）

x＝－

；　　　　　　　　

（2）

－

＝1；

解：

x＝－10.解：

x＝

.

（3）y－

＝2－

；（4）

＝

－1.

解：

x＝

.解：

x＝－

.

活动3　课堂小结

1．本节课我们有哪些收获？

2．解一元一次方程的一般步骤是什么？

3．解一元一次方程每步变形的依据及需注意事项有哪些？

5.3　应用一元一次方程——水箱变高了

1．分析简单问题中的数量关系，建立方程解决问题．（重难点）

2．通过具体问题的解决体会利用方程解决问题的关键是寻找等量关系．

阅读教材P141～142，完成预习内容．

（一）知识探究

1．解一元一次方程的一般步骤：

①去分母，②去括号，③移项，④合并同类项，⑤系数化为1.

2．解决“水箱变高了”的关键是找出当形状、体积或面积发生变化时存在的等量关系进而列方程求解．

一般常见的有以下几种情况：

（1）形状发生了变化，而体积没变．此时，相等关系为变化前后体积相等；

（2）形状、面积发生了变化，而周长没变．此时，相等关系为变化前后周长相等；

（3）形状、体积不同，但根据题意能找出体积之间的关系，把这个关系作为相等关系．

（二）自学反馈

1．用一根铁丝围成一个长4dm、宽2dm的长方形，然后再将这个长方形改成正方形，则下列说法错误的是（D）

A．铁丝的长度没变B．正方形的面积比长方形多1dm2

C．图形的形状发生了变化D．长方形和正方形的面积相等

2．一个圆柱体，半径增加到原来的3倍，而高度变成原来的

，则变化后的圆柱体积是原来圆柱体体积的（C）

A．6倍　　　B．2倍　　　C．3倍　　　D．9倍

3．用5.2cm长的铁丝围成一个长方形，使得长比宽多0.6cm，求围成的长方形的长和宽各是多少米？

设宽为xcm，可得方程2（x＋x＋0.6）＝5.2；

设长为xcm，可得方程2（x＋x－0.6）＝5.2．

活动1　小组讨论

例　将一个底面直径是10厘米，高为36厘米的“瘦长”形圆柱锻压成底面直径是20厘米的“矮胖”形圆柱，高变成了多少？

解：

设锻压后圆柱的高为x厘米，填写下表：

锻压前

锻压后

底面半径/cm

5

10

高/cm

36

x

体积/cm2

π

　　根据等量关系，列出方程π·52·36＝π·102·x．

解得x＝9．

因此，“矮胖”形圆柱，高变成了9cm.

活动2　跟踪训练

1．一个长方形的周长为40cm，若长减少6cm，宽增加4cm，长方形就变成了正方形，则原长方形的长为15cm，宽为5cm.

2．用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆，已知正方形边长比圆的半径长2米，求两个等长铁丝长度，并通过计算比较说明谁的面积大（π≈3）．

解：

设圆的半径为x米，由题意得，正方形的边长为（x＋2）米，根据等量关系，列出方程

4（x＋2）＝2π瘙簚x.

解得x＝4.

因此，圆的半径为4米，正方形的边长为6米，则圆的面积为π瘙簚42≈48，正方形的面积为62＝36，所以圆的面积比较大．

活动3　课堂小结

“水箱变高了”问题的解题关键.

5.4　应用一元一次方程——打折销售

1．分析实际问题中的数量关系，建立方程解决问题．（重难点）

2．进一步经历运用方程解决实际问题的过程，体会数学的应用价值．

阅读教材P145～146，完成预习内容．

（一）知识探究

1．利润＝售价－成本价．

2．售价＝标价×

.

3．利润率＝利润÷成本×100%.

4．利润＝成本价×利润率．

（二）自学反馈

1．某商品原来每件零售价是a元，现在每件降价10%，降价后每件零售价是a（1－10%）．

2．某商品按定价的八折出售，售价是14.8元，则原定价是18.5元．

3．某商场把进价为1980元的商品按标价的八折出售，仍获利10%，则该商品的标价为2__722.5元．

4．我国政府为解决老百姓看病问题，决定下调药品的价格，某种药品在1999年涨价30%后，2001降价70%至a元，则这种药品在1999年涨价前价格为

元．

活动1　小组讨论

例　某商场将某种商品按原价的8折出售，此时商品的利润率是10%.已知这种商品的进价为1800元，那么这种商品的原价是多少？

分析：

利润率＝

＝

，在解决这类问题的过程中，要抓住这个等量关系，由于本例中只提到售价、进价和利润率，因此我们可以用“进价”代替“成本”．

解：

设商品原价是是x元，根据题意，得

＝10%.

解得x＝2475.

因此，这种商品的原价为2475元．

活动2　跟踪训练

1．某商品的进价是1000元，售价为1500元，由于情况不好，商店决定降价出售，但又要保证利润率为5%，那么商店可降多少元出售此商品？

解：

设可降x元出售此商品，由题意，得

＝5%.解得x＝450.

答：

商店可降450元出售此商品．

2．某商场将某种DVD产品按进价提高35%，然后打出“九折酬宾，外送50元打的费”的广告，结果每台DVD仍获利208元，则每台DVD的进价是多少元？

解：

设每台的进价是x元，由题意，得

x（1＋35%）－50－x＝208.解得x＝1200.

答：

每台DVD的进价是1200元．

活动3　课堂小结

1．由学生谈谈本节课学到了哪些知识？

学后有何感受？

2．商品销售中的基本等量关系有哪些？

5.5　应用一元一次方程——“希望工程”义演

1．借助表格分析复杂问题中的数量关系，建立方程解决实际问题，发展分析问题、解决问题的能力．（重难点）

2．对同一问题设不同未知数列出不同的方程，体会算法多样化．

3．归纳利用方程解决实际问题的一般步骤，进一步体会模型思想．

阅读教材P147～148，完成预习内容．

（一）知识探究

列方程解“希望工程”义演问题的关键是找出能够反映题意的一个等量关系．对于复杂问题的等量关系可采用列表法分析数量之间的关系．一般可从以下几个方面确定等量关系：

（1）抓住问题中的关键词，确定等量关系．如问题中的“和”“差”“倍”“多”“少”“快”“慢”等都是确定等量关系的关键词；

（2）利用公式或基本数量关系找等量关系；

（3）从变化的关系中寻找不变的量，确定等量关系．

（二）自学反馈

1．一个饲养场，鸡的只数与兔的只数之和是70，鸡、兔的腿数之和为196，若设鸡的只数是x，依题意可列方程为（C）

A．2x＝196＋4（70－x）　　B．4x＋2（70－x）＝196

C．2x＋4（70－x）＝196D．2x＋196＝4（70－x）

2．李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔的承包地去年甲种蔬菜有6亩．

3．王大爷用280元买了甲、乙两种药材，甲种药材每千克20元，乙种药材每千克60元，且甲种药材比乙种药材多买了2千克，则甲种药材买了5千克．

活动1　小组讨论

例　某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演，共售出1000张票，筹得票款6950元．成人票与学生票各售出多少张？

方法一：

设售出的学生票为x张，填写下表：

学生

成人

票数/张

x

1__000－x

票款/元

5x

8（1__000－x）

根据等量关系②，可列出方程：

5x＋8（1__000－x）＝6__950．

解得x＝350．

因此，售出成人票650张，学生票350张．

方法二：

设所得的学生票款为y元，填写下表：

学生

成人

票数/张

票款/元

y

6950－y

根据等量关系①，可列出方程：

＋

＝__1__000．

解得y＝1__750．

因此，售出成人票650张，学生票350张．

　根据具体情况进行指导，说明，引导分析，使学生明确必须检验方程的解是否符合实际．

活动2　跟踪训练

1．刘成用150元买了甲、乙两种书，共20本，甲种书单价10元，乙种书单价5元，则刘成买了这两种书各多少本？

解：

设刘成买了甲种书x本，则买了乙种书（20－x）本，根据题意，得

10x＋5（20－x）＝150.

解得x＝10.

20－10＝10（本）．

答：

刘成买了甲、乙两种书各10本．

2．高一某班在入学体检中，测得全班同学的平均体重是48千克，其中男同学平均体重比女同学平均体重多20%，而女同学人数比男同学人数多20%，求男、女同学的平均体重．

解：

设女同学平均体重为x千克，则男同学平均体重为1.2x千克，设男同学为y人，则女同学为1.2y人．根据题意，得

1．2xy＋1.2xy＝48（y＋1.2y），

合并同类项，得2.4xy＝48×2.2y.

因为y≠0，所以方程两边同除以2.4y，得x＝44.

1．2x＝1.2×44＝52.8（千克）．

答：

男同学的平均体重为52.8千克，女同学的平均体重为44千克．

活动3　课堂小结

“希望工程”义演问题.

5.6　应用一元一次方程——追赶小明

1．熟悉行程问题中路程、速度、时间之间的关系，从而实现从文字语言到符号语言的转换．

2．能借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系，从而列出方程，解决问题．（重难点）

3．经历画“线段图”找等量关系，列出方程解决问题的过程，进一步体验画“线段图”也是解决实际问题的有效途径．

阅读教材P150～151，完成预习内容．

（一）知识探究

1．速度×时间＝路程．

2．相遇问题（甲、乙相向而行）的相等关系是：

甲走的路程＋乙走的路程＝全路程．

3．追及问题（甲、乙同向而行，同地不同时）的相等关系是：

甲的时间＝乙的时间－时间差；甲的路程＝乙的路程．

4．追及问题（同向而行，同时不同地）的相等关系是：

甲的时间＝乙的时间；甲走的路程－乙走的路程＝原来甲、乙相距的路程．

（二）自学反馈

1．两地相距500米，小红和小明同时从两地相向而行，小红每分钟行60米，小明每分钟行65米，几分钟相遇（B）

A．3　　　B．4　　　C．5　　　D．6

2．甲乙两人在相距12千米的AB两地同时出发，同向而行．甲步行每小时行4千米，乙骑车在后面，每小时速度是甲的3倍．几小时后乙能追上甲？

解：

设x小时后乙追上甲，依题意，得

3×4x－4x＝12，解得x＝1.5.

答：

1.5小时后乙追上甲．

活动1　小组讨论

例　小明早晨要在7：

20以前赶到距家1000米的学校上学，一天，小明以80米/分的速度出发.5分钟后，小明的爸爸发现他忘了带历史作业，于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他．

（1）爸爸追上小明用了多长时间？

（2）追上小明时，距离学校还有多远？

分析：

等量关系：

小明所用时间＝5＋爸爸所用时间，小明走过的路程＝爸爸走过的路程．

线段图：

解：

（1）设爸爸追上小明用了x分钟，据题意，得

80×5＋80x＝180x.

解得x＝4.