完整版概率论与数理统计试题库.docx
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完整版概率论与数理统计试题库
《概率论与数理统计》试题
(1)
判断题(本题共15分,每小题3分。
正确打“V”,错误打“X”)
⑴对任意事件A和B,必有P(AB)=P(A)P(B)()
⑵设A、B是Q中的随机事件,则(AUB)-B=A()
⑶若X服从参数为入的普哇松分布,则EX=DX
⑷假设检验基本思想的依据是小概率事件原理
1n_
⑸样本方差S:
=—(XiX)2是母体方差DX的无偏估计(
nii
、(20分)设A、B、C是Q中的随机事件,将下列事件用A、B、C表示出来
(1)仅A发生,B、C都不发生;
(2)代B,C中至少有两个发生;
(3)代B,C中不多于两个发生;
(4)代B,C中恰有两个发生;
(5)代B,C中至多有一个发生。
三、(15分)
把长为
a的棒任意折成三段,求它们可以构成三角形的概率
四、(10分)
已知离散型随机变量
X的分布列为
X
2
10
1
3
1
11
1
11
P
5
65
15
30
2求YX的分布列.
1
五、(10分)设随机变量X具有密度函数f(x)-e|x|,VxV
2
求X的数学期望和方差•
X表示在
六、(15分)某保险公司多年的资料表明,在索赔户中,被盗索赔户占20%,以
随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数,求P(14X30).
x
0
0.5
1
1.5
2
①(x)
0.500
0.691
0.841
0.933
0.977
2.53
0.9940.999
七、(15分)设X1,X2,L,Xn是来自几何分布
k1
P(Xk)p(1p),k1,2,L,0p1,
的样本,试求未知参数p的极大似然估计•
《概率论与数理统计》试题
(1)评分标准
⑴X;
(2)X;⑶“;⑷";(5)Xo
解
(1)ABC
(2)ABUACUBC或ABCUABCUABCUABC;
(3)AUBUC或ABCUABCUABCUABCUABCUABCUABC;
(4)ABCUABCUABC;
(5)ABUACUBC或ABCUABCUABCUABC
每小题4分;
解设A'三段可构成三角形'又三段的长分别为x,y,axy,
Oxa,0ya,Oxya,不等式构成平面域S.
Aa
A发生0x—,0
2
不等式确定S的子域A,所以
aa
y,xya
22
10
A的面积1
S的面积4
15
则
分
分
分
六解
X“
P(14
^b(k;100,0.20),EX=100X0.2=20,DX=100X0.2X0.8=16.--
--5分
分
30201420、
X30)()()
V16J16
10
(2.5)(1.5)
=0.994+0.933—1
0.927.
n
——15
分
七
解
nxn
L(X1,L,xn;p)p(1p)xi1pn(1p)i1---
5
分
10分
四
解
Y的分布列为
Y
0
14
9
1
71
11
P
—
—
—
5
305
30
Y的取值正确得2分,
分布列对一组得
2分;
五
解
EX
x2凶dx
0,
(因为被积函数为奇函数)
2
DX
EX2
2x
1|x|1
—edx
x2exdx
2
0
2x
xe
0
2
xexdx
0
4分
2[xex00exdx]2.
InLnInp
dInLn
dpp
(Xin)ln(1p),
i1
Xin
@0,
10分
解似然方程
n
nXi
ni1
得p的极大似然估计
15分
《概率论与数理统计》期末试题
(2)与解答
一、填空题(每小题3分,共15分)
1.设事件代B仅发生一个的概率为0.3,且P(A)P(B)0.5,则代B至少有一个不发
生的概率为.
2.设随机变量X服从泊松分布,且P(X1)4P(X2),则P(X3).
2
3.设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布,则随机变量YX在区间(0,4)内的概率密度为fY(y).
的指数分布,P(X1)e2,则
4.
设随机变量X,Y相互独立,且均服从参数为
5.
P{min(X,Y)1}=设总体X的概率密度为
(1)x,0x1,
f(x)
0,其它
1.
X1,X2,,Xn是来自X的样本,则未知参数的极大似然估计量为
解:
1.P(ABAB)0.3
即0.3P(AB)P(AB)P(A)P(AB)P(B)P(AB)0.52P(AB)
所以P(AB)0.1
P(AB)P(AB)1P(AB)09
2.
P(X
1)
P(X0)P(X
1)ee,P(X2)e
2
由
P(X
1)
4P(X2)知
ee22e
即
22
10解得
1,故
P(X
3)
11e.
6
3•设丫的分布函数为Fy(y),X的分布函数为Fx(x),密度为fx(x)则
Fy(v)P(Yy)P(X2y)P(...yX,y)FxG.y)Fx(,y)因为X~U(0,2),所以Fx(,y)0,即FY(y)FxG.y)
J(y)Fy
(y)
1_
2丁x(J)
0y4,
另解在(0,2)上函数y
所以
2
x严格单调,反函数为
h(y)
其它.
.5
fY(y)
A
fx(7?
)诙
4孑
0,其它.
y4,
4.P(X1)1P(X
P{min(X,Y)1}1
1
1)e
P{min(X,Y)
4e・
1}
P(X1)P(Y1)
5.似然函数为L(X1,L,Xn;
n
(
i1
n
1)Xi
(1叽1_X)
解似然方程得
lnL
nln(
1)
lnxi
lnxi
i1
@0
的极大似然估计为
1.
lnxi
ni1
二、单项选择题(每小题3分,共15分)
1.设A,B,C为三个事件,且A,B相互独立,则以下结论中不正确的是
(A)若P(C)1,则AC与BC也独立.
(B)若P(C)1,则AUC与B也独立.
(C)若P(C)0,则AUC与B也独立.
(D)若CB,则A与C也独立•()
2•设随机变量X~N(0,1),X的分布函数为(x),贝UP(|X|2)的值为
(A)2[1
(2)].(B)2
(2)1.
(C)2
(2).(D)12
(2).()
3•设随机变量X和Y不相关,则下列结论中正确的是
(A)X与Y独立.(B)D(XY)DXDY.
(C)D(XY)DXDY.(D)D(XY)DXDY.()
4•设离散型随机变量X和Y的联合概率分布为
(C)X1是的相合(一致)估计量
(D)Xi不是的估计量.()
解:
1.因为概率为1的事件和概率为
0的事件与任何事件独立,所以(
A),(B),(C)
都是正确的,只能选(
事实上由图
可见A与C不独立.
(X,Y)
(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)
P
1
1
1
1
6
9
18
3
若X,Y独立,则
7
的值为
2
1
1
2
(A)-,
—
(A)
J
—
9
9
9
9
1
1
5
1
(C),
—
(D)
—
.()
6
6
18
18
5•设总体X的数学期望为
X1,X2
丄,Xn
为来自
X的样本,则下列结论中
正确的是
(A)Xi是的无偏估计量
(B)Xi是的极大似然估计量
2)
应选(A)
2.X~N(0,1)所以P(|X|2)1P(|X|2)1P(2X
1
(2)
(2)1[2
(2)1]2[1
(2)]
1
2
3
P(X2,Y2)
1
1
1
1
1
—
—
■—
1
、/1
6
9
18
3
(-
)(-
3
9
1
1
2
3
3
2
1
1
丄
9
2
9
18
故应选
(A).
3•由不相关的等价条件知应选(B)
4•若X,Y独立则有
)
P(X2)P(Y2)
f(o
三、(7分)已知一批产品中90%是合格品,检查时,一个合格品被误认为是次品的概率为
0.05,一个次品被误认为是合格品的概率为0.02,求
(1)一个产品经检查后被认为是
合格品的概率;
(2)一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率
解:
设A‘任取一产品,经检验认为是合格品’
B‘任取一产品确是合格品’
则
(1)P(A)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)
0.90.950.10.020.857.
P(AB)0.90.95
(2)P(B|A)0.9977.
P(A)0.857
四、(12分)从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事
件是相互独立的,并且概率都是2/5.设X为途中遇到红灯的次数,求X的分布列、分布函数、数学期望和方差.
解:
X的概率分布为
k2k33k
k0,1,2,3.
p(xk)cf(5)k(5)3k
X
0
1
2
即
P
27
54
36
125
125
125
X的分布函数为
0,
x
0,
27
125,
0
x
1,
F(x)
81
1
x
2,
125
117
2
x
3,
125
1,
x
3.
26
EX
3--
55
DX
c23
18
3--
55
25
五、(10分)
设二维随机变量(X,Y)在区域
D
匀分布.求
(1)(X,Y)关于X的边缘概率密度;
3
8
125
{(x,y)|x0,y0,xy1}上服从均
(2)ZXY的分布函数与概率密
(1)(X,Y)的概率密度为
f(x,y)
2,(x,y)D
0,其它.
2
fx(X)
2x,0x1
f(x,y)dy0,其它
(2)利用公式fZ(z)f(x,zx)dx
其中f(x,zx)
2,0x1,0zx1x
0,其它
2,0x1,xz1.
0,其它.
当z0或z1时fz(z)0
z的分布函数为
zz
0z1时fz(z)2qdx2x02z
故Z的概率密度为
fz(z)
2z,0z1,
0,其它.
0,
z
0
0,
z
0,
fZ⑵
zz
fZ(y)dy02ydy,
0
z1
2
z,
0
z1,
1,
1,
z
1.
z
1
或利用分布函数法
0,
z
0,
Fz(z)P(Zz)P(XY
z)
2dxdy,
0
z1
D1
1,
z
1.
0,
z
0,
2
z,
0
z
1,
1,z1.
fz(z)
Fz⑵
2z,
0,
0z1,
其它.
六、(10分)向一目标射击,目标中心为坐标原点,已知命中点的横坐标X和纵坐标Y相
互独立,且均服从N(0,22)分布.求
(1)命中环形区域D{(x,y)|1x2y22}的概率;
(2)命中点到目标中心距离ZXY2的数学期望.
D
(1)P{X,Y)D}f(x,y)dxdy
D
x2
8dxdy
8rdrd
(2)EZE(XY)
r2
2_
e8
2
2
y
r2
e「8
x2
11
e"e;
2
y
8dxdy
12
-8
re8rdrd
1
e8r2dr
80
0
40
r2
re丁
r2
eTdr0
0
2
冷dr阪
七、(11分)设某机器生产的零件长度(单位:
cm)X〜N(,2),今抽取容量为
16的
的置信
样本,测得样本均值X10,样本方差s20.16.
(1)求的置信度为0.95
2
区间;
(2)检验假设H。
:
0.1(显著性水平为0.05).
(附注)阮5(16)1.746,阮5(15)1.753,t°.025(15)2.132,
222
0.05(16)26.296(15)24.996(15)27.488.
解:
(1)
的置信度为1下的置信区间为
(X
t/2(n
1)
t/2(n
X10,s0.4,n16,
0.05,t0.025(15)2.132
所以的置信度为0.95的置信区间为(9.7868,10.2132)
222
(2)H0:
0.1的拒绝域为(n1).
因为
2
15S
0.1
4
151.6
24.996
2
24,0.05(15)24.996
2
0.05(15),所以接受H。
.
《概率论与数理统计》期末试题(3)与解答
、填空题(每小题3分,共15分)
(1)设事件A与B相互独立,事件B与C互不相容,事件A与C互不相容,且
P(A)P(B)0.5,P(C)0.2,则事件A、B、C中仅C发生或仅C不发生的概率为.
(2)甲盒中有2个白球和3个黑球,乙盒中有3个白球和2个黑球,今从每个盒中各取2
个球,发现它们是同一颜色的,则这颜色是黑色的概率为.
2x0x1
(3)设随机变量X的概率密度为f(x)'»亠'现对X进行四次独立重复观
0,其它,
察,用Y表示观察值不大于0.5的次数,则EY2.
(4)设二维离散型随机变量(X,Y)的分布列为
(X,Y)
(1,0)
(1,1)
(2,0)
(2,1)
P
0.4
0.2
a
b
若EXY0.8,则Cov(X,Y)
(5)设X1,X2,L,X
a
仃是总体
N(,4)的样本,S2是样本方差,
若P(S2a)
0.01,则
2
(注:
0.01(17)
33.4
J
22
0.005(17)35.7,0.01(16)32.0
2
0.005(16)
34.2)
解:
(1)P(ABC
ABC)
P(ABC)P(ABC)
因为A与C不相容,B与C不相容,所以AC,BC,故ABcc
同理ABCAB.
P(ABCABC)P(C)P(AB)0.20.50.50.45.
(2)设A'四个球是同一颜色的'
B1
'四个球都是白球’,B2
'四个球都是黑球'
则AB1B2.
所求概率为P(B2|A)
P(AB2)P(B2)
P(A)P(BJP(B2)
c2d3
c2c;100
P(B2)
3
100
1
所以P(B2|A).
2
(3)Y~B(4,p),
其中
P
P(X0.5)
0.5
0
2xdx
2x
2
0
-
4
1
1
3
3
EY
4-
1,DY4
—
—
4
4
4
4
EY2
DY
21
(EY)2-
1
5
EX0.620.41.4,EY0.5
故
cov(X,Y)
EXY1
EXEY
0.80.70.1.
(5)
P(S2a)
16S2
P{4
4a}
0.01
即
2
0.01(16)
4a,亦即
4a
32a8
、单项选择题(每小题3分,共15分)
(1)设A、B、
C为三个事件,
P(AB)0且P(C|AB)1,则有
(A)P(C)
P(A)P(B)
1.(B)P(C)P(AUB).
(C)P(C)
P(A)P(B)
1.(D)P(C)P(AUB).
()
(2)设随机变量
X的概率密度为
1(X2)2
f(x)
14
2「e,X
(4)(X,Y)的分布为
这是因为
得0.2
2b
0.8
且YaXb~N(0,1),则在下列各组数中应取
(A)a1/2,b1.(B)a.2/2,b迈
置信度为1的置信区间为
(B)(X
2-
U1
X
(C)a1/2,b1.(D)a.2/2,b、、2.()
(3)设随机变量X与Y相互独立,其概率分布分别为
X
0
1
Y
01
P
0.4
0.6
P
0.40.6
则有
(A)
P(X
Y)
0.
(B)
P(X
Y)0.5.
(C)
P(X
Y)
0.52.
(D)
P(X
Y)1.
对任意随机变量
X,若
EX存在,则
E[E(EX
)]等于
3
(A)0.(B)X.(C)EX.(D)(EX)3.()
(5)设X1,X2丄,Xn为正态总体N(,4)的一个样本,x表示样本均值,则的
2
U/2).
'-n
(C)
(x
(D)
(X
2_歸,%U
2_
J"*
由P(C|AB)
P(C)P(AB)
应选C.
(1)
2
、n).
u/22n)'(
1知P(ABC)P(AB),故P(C)P(AB)P(A)
P(B)P(AUB)P(A)
P(B)1
[X
(2)]21e2(、.2)2
即
X〜
N(2,
2)
故当
a
1
2,
b
应选
B.
(3)
P(X
Y)
P(X
0.4
应选
C.
(4)
E[E(
EX)]
EX
应选
C.
(5)
因为方
「差已知,
所以
(X
U/2
、、n
Xu
应选
D.
(2)
0,
Y0)P(X1,
0.4
的置信区间为
/^n)
2_
.2时YaX
2
f(x)^e
(X2)2
~4~
0.60.60.52
三、(8分)装有10件某产品(其中一等品5箱子中丢失一件产品,但不知是几等品,旦一举品,求丢失的也是一等品的概率。
'从箱中任取2件都是
‘丢失i等号
疋等
解:
设A
Bi
则P(A)
P(B1)P(A|B1)
1C2aC52
2c;10c;
所求概率为
P(B1|A)
b~N(0,
Y1)
1)
3件,三等品2件)的
件,二等品
今从箱中任取2件产品,结果都
等品’
i1,2,3.
P(B2)P(A|B2)
5C|9
P®)P(A|B」
P(A)
四、(10分)设随机变量X的概率密度为
f(x)
ax
1,0
P(B3)P(A|Bs)
x2,
其它.
求
(1)常数a;
(2)X的分布函数F(x);(3)P(1X3).
2a22
解:
(1)1f(x)dx(ax1)dx(—xx)02a2
02
1
a—
2
f(x,y)
ex,0yx,
0,其它•
求
(1)边缘概率密度fx(x),fY(y);
(2)P(XY1);
(2)X的分布函数为
0,
x
0,
x
xu
F(x)f(u)du
0
(1)du,
0、2
0
x2
1,
x
2.
0,
x0,
2x
x,
0x2,
4
1,
x2.
3
2
x
1
(3)P(1x3)1
f(x)dx1(1
)dx
2
4
五、(12分)设(X,Y)的概率密度为
(3)ZXY的概率密度fz(z).
解:
(1)fx(x)f(x,y)dy
0,x
0
0,
x
0,
x
0exdy,x
0.
xex,
x
0.
0,
y
0
f(x,y)dx
x
edx,
y
y
0.
0,y0,ey,y0.
1"exdxdy
y
(2)P(XY1)f(x,y)dxdy
xy1
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