秋浙教版八年级数学上册三角形同步练习含答案.docx
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秋浙教版八年级数学上册三角形同步练习含答案
第1章三角形的初步知识
1.1认识三角形
(一)
A组
1.如图,图中共有__6__个三角形,以AD为边的三角形有△ABD,△ADE,△ADC,以E为顶点的三角形有△ABE,△ADE,△AEC,∠ADB是△ABD的内角,△ADE的三个内角分别是∠ADE,∠AED,∠DAE.
(第1题)
(第2题)
2.在“三角尺拼角实验”中,小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置,则∠1=__120°__.
3.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4,则∠A的度数为__40°__.
4.
(1)若一个三角形的两边长分别为5和8,则第三边长可能是(B)
A.14 B.10 C.3 D.2
(2)若长度分别为2,7,x的三条线段能组成一个三角形,则x的值可以是(C)
A.4 B.5 C.6 D.9
(第5题)
5.如图,在△ABC中,点D在AB上,点E在AC上,DE∥BC.若∠A=62°,∠AED=54°,则∠B的度数为(C)
A.54°B.62°
C.64°D.74°
6.若一个三角形三个内角的度数之比是2∶3∶7,则这个三角形一定是(C)
A.直角三角形B.锐角三角形
C.钝角三角形D.不能确定
(第7题)
7.如图,在△BCD中,BC=4,BD=5.
(1)求CD的取值范围.
(2)若AE∥BD,∠A=55°,∠BDE=125°,求∠C的度数.
【解】
(1)∵在△BCD中,BC=4,BD=5,∴1 (2)∵AE∥BD,∠BDE=125°, ∴∠AEC=55°, ∴∠C=180°-∠AEC-∠A=70°. B组 8.现有3cm,4cm,7cm,9cm长的四根木棒,任取其中三根组成一个三角形,那么可以组成的三角形的个数是(B) A.1 B.2 C.3 D.4 【解】 四根木棒任取三根的所有组合为3,4,7;3,4,9;3,7,9和4,7,9,其中3,7,9和4,7,9能组成三角形. 9.已知a,b,c是△ABC的三条边长,化简|a+b-c|-|c-a-b|的结果为(D) A.2a+2b-2cB.2a+2b C.2cD.0 【解】 ∵a+b>c, ∴a+b-c>0,c-a-b<0, ∴|a+b-c|-|c-a-b| =a+b-c+(c-a-b) =a+b-c+c-a-b=0. 10.各边长都是整数,且最大边长为8的三角形共有多少个? 【解】 ∵各边长度都是整数、最大边长为8, ∴三边长可以为: 1,8,8;2,7,8;2,8,8;3,6,8;3,7,8;3,8,8;4,5,8;4,6,8;4,7,8;4,8,8;5,5,8;5,6,8;5,7,8;5,8,8;6,6,8;6,7,8;6,8,8;7,7,8;7,8,8;8,8,8. 故各边长都是整数,且最大边长为8的三角形共有20个. (第11题) 11.在农村电网改造中,四个自然村分别位于如图所示的A,B,C,D处,现计划安装一台变压器,使到四个自然村的输电线路的总长最短,那么这个变压器应安装在AC,BD的交点E处,你知道这是为什么吗? 【解】 如图,另任取一点E′(异于点E),分别连结AE′,BE′,CE′,DE′. 在△BDE′中,DE′+BE′>DB. 在△ACE′中,AE′+CE′>AC. ∴AE′+BE′+CE′+DE′>AC+BD,即AE+BE+CE+DE最短. 数学乐园 12.观察并探求下列各问题: (1)如图①,在△ABC中,P为边BC上一点,则BP+PC__<__AB+AC(填“>”“<”或“=”). (2)将 (1)中的点P移到△ABC内,得图②,试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小,并说明理由. (3)将 (2)中的点P变为两个点P1,P2,得图③,试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小,并说明理由. (第12题) 【解】 (1)BP+PC<AB+AC.理由: 三角形两边的和大于第三边. (2)△BPC的周长<△ABC的周长.理由如下: 如解图①,延长BP交AC于点M. ∵PC ∵BM ∴BP+PC<AB+AC, ∴BP+PC+BC<AB+AC+BC, 即△BPC的周长<△ABC的周长. (第12题解) (3)四边形BP1P2C的周长<△ABC的周长.理由如下: 如解图②,分别延长BP1,CP2交于点M. 由 (2)知,BM+CM<AB+AC. 又∵P1P2<P1M+P2M, ∴BP1+P1P2+P2C<BM+CM<AB+AC, ∴BP1+P1P2+P2C+BC 即四边形BP1P2C的周长<△ABC的周长. 1.1认识三角形 (二) A组 1.如图,过△ABC的顶点A作BC边上的高线,下列作法正确的是(A) 2.能将三角形的面积分成相等两部分的是(A) A.中线B.角平分线 C.高线D.以上都不能 3.一个正方形和一个等边三角形的位置如图所示,若∠2=50°,则∠1=(C) A.50° B.60° C.70° D.80° (第3题)) (第4题)) 4.如图,AD是△ABC的中线,BC=10,则BD的长为__5__. 5.如图,在△ABC中,BD是∠ABC的平分线,已知∠ABC=80°,则∠DBC=__40°__. (第5题)) (第6题)) 6.如图,AD是△ABC的中线,AB-AC=5cm,△ABD的周长为49cm,则△ADC的周长为__44__cm. (第7题) 7.如图,在△ABC中,AD是高线,AE,BF是角平分线,它们相交于点O,∠CAB=50°,∠C=60°,求∠DAE和∠BOA的度数. 【解】 ∵∠CAB=50°,∠C=60°, ∴∠ABC=180°-50°-60°=70°. ∵AD是高线,∴∠ADC=90°, ∴∠DAC=180°-∠ADC-∠C=30°. ∵AE,BF是角平分线, ∴∠ABF= ∠ABC=35°,∠EAF= ∠CAB=25°, ∴∠DAE=∠DAC-∠EAF=5°, ∠AFB=180°-∠ABF-∠CAB=95°, ∴∠AOF=180°-∠AFB-∠EAF=60°, ∴∠BOA=180°-∠AOF=120°. B组 8.如图,在△ABC中,点D,E,F分别在三边上,E是AC的中点,AD,BE,CF交于一点G,BD=2DC,S△BDG=8,S△AGE=3,则S△ABC=(B) A.25B.30 C.35D.40 【解】 在△BDG和△GDC中, ∵BD=2DC,这两个三角形在BC边上的高线相等,∴S△BDG=2S△GDC,∴S△GDC=4. 同理,S△GEC=S△AGE=3. ∴S△BEC=S△BDG+S△GDC+S△GEC=8+4+3=15, ∴S△ABC=2S△BEC=30. (第8题) (第9题) 9.如图,在△ABC中,AD,BE是两条中线,则S△EDC∶S△ABC=__ __. 【解】 设S△ABC=S. ∵AD是中线, ∴BD=CD, ∴S△ACD=S△ABD= S△ABC= S. ∵BE是中线, ∴AE=CE, ∴S△EDC=S△EDA= S△ACD= S. ∴S△EDC∶S△ABC= = . (第10题) 10.如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,CE是∠ACB的平分线,∠A=20°,∠B=60°,求∠BCD和∠ECD的度数. 【解】 ∵CD⊥AB,∴∠CDB=90°. ∵∠B=60°, ∴∠BCD=180°-∠CDB-∠B=30°. ∵∠A=20°,∠B=60°,∠A+∠B+∠ACB=180°,∴∠ACB=100°. ∵CE是∠ACB的平分线, ∴∠BCE= ∠ACB=50°, ∴∠ECD=∠BCE-∠BCD=20°. (第11题) 11.如图,在△ABC中(AB>BC),AC=2BC,BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40的两部分,求AC和AB的长. 导学号: 91354001 【解】 ∵AD是BC边上的中线,AC=2BC, ∴BD=CD,AC=4BD. 设BD=CD=x,AB=y,则AC=4x. 分两种情况讨论: ①AC+CD=60,AB+BD=40, 则4x+x=60,x+y=40,解得x=12,y=28, 即AC=4x=48,AB=28,BC=2x=24,此时符合三角形三边关系定理. ②AC+CD=40,AB+BD=60, 则4x+x=40,x+y=60,解得x=8,y=52, 即AC=4x=32,AB=52,BC=2x=16, 此时不符合三角形三边关系定理. 综上所述,AC=48,AB=28. 数学乐园 12.如图,已知△ABC的面积为1.第一次操作: 分别延长AB,BC,CA至点A1,B1,C1,使A1B=AB,B1C=BC,C1A=CA,顺次连结点A1,B1,C1,A1,得到△A1B1C1.第二次操作: 分别延长A1B1,B1C1,C1A1至点A2,B2,C2,使A2B1=A1B1,B2C1=B1C1,C2A1=C1A1,顺次连结点A2,B2,C2,A2,得到△A2B2C2……按此规律,要使得到的三角形的面积超过2018,则最少经过__4__次操作. (第12题)) 【解】 由题意可得规律: 第n次操作后得到的三角形的面积变为7n,则7n>2018,可得n最小为4.故最少经过4次操作. 1.2定义与命题 (一) A组 1.下列语句中,属于定义的是(D) A.两点确定一条直线 B.两直线平行,同位角相等 C.等角的余角相等 D.直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离 2.下列语句中,属于命题的是(C) A.直线AB与CD垂直吗 B.过线段AB的中点作AB的垂线 C.同位角不相等,两直线不平行 D.连结A,B两点 3.命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”的题设是(D) A.垂直 B.两条直线 C.同一条直线 D.两条直线垂直于同一条直线 4.下列语句中,不属于命题的是(C) A.若两角之和为90°,则这两个角互补 B.同角的余角相等 C.作线段的垂直平分线 D.相等的角是对顶角 5.把“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式是如果两个角是对顶角,那么它们相等. 6.指出下列命题的条件和结论. (1)同旁内角互补,两直线平行. (2)如果∠1=∠2,∠2=∠3,那么∠1=∠3. (3)邻补角的平分线互相垂直. 【解】 (1)条件: 两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补;结论: 这两条直线平行. (2)条件: ∠1=∠2,∠2=∠3;结论: ∠1=∠3. (3)条件: 两条射线是邻补角的平分线;结论: 这两条射线互相垂直. 7.把命题改写成“如果……那么……”的形式. (1)等底等高的两个三角形的面积相等. (2)两直线平行,内错角相等. (3)等角的余角相等. 【解】 (1)如果两个三角形等底等高,那么它们的面积相等. (2)两条直线被第三条直线所截,如果这两条直线平行,那么内错角相等. (3)如果两个角同为等角的余角,那么这两个角相等. B组 8.下列命题正确的是(D) A.若a>b,b<c,则a>c B.若a>b,则ac>bc C.若a>b,则ac2>bc2 D.若ac2>bc2,则a>b 9.对同一平面内的三条直线,给出下列5个论断: a∥b,b∥c,a⊥b,a∥c,a⊥c.以其中两个论断为条件.一个论断为结论,组成一个你认为正确的命题. 条件: a∥b,b∥c,结论: a∥c. 【解】 本题答案不唯一. 10.定义两种新变换: ①f(a,b)=(a,-b),如f(1,2)=(1,-2);②g(a,b)=(b,a),如g(1,2)=(2,1).据此得g(f(5,-6))=(6,5). 【解】 ∵f(5,-6)=(5,6), ∴g(f(5,-6))=g(5,6)=(6,5). 数学乐园 (第11题) 11.如图,定义: 直线l1与l2交于点O,对于平面内任意一点M,点M到直线l1,l2的距离分别为p,q,则称有序实数对(p,q)是点M的“距离坐标”.根据上述定义,求“距离坐标”是(1,2)的点的个数.导学号: 91354002 (第11题解) 【解】 “距离坐标”是(1,2)的点表示的含义是该点到直线l1,l2的距离分别为1,2.由于到直线l1的距离是1的点在与直线l1平行且与l1的距离是1的两条平行线a1或a2上,到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线b1或b2上,它们有4个交点,即为如解图所示的点M1,M2,M3,M4.故满足条件的点的个数为4. 1.2定义与命题 (二) A组 1.下列命题是真命题的是(A) A.互余的两个角之和是90° B.同角的余角互余 C.等底的两个三角形面积相等 D.相等的角是直角 2.下列命题是假命题的是(C) A.三角形两边之和大于第三边 B.三角形的内角和等于180° C.等边三角形旋转180°后能与本身重合 D.三角形的中线能平分三角形的面积 3.能说明命题“对于任何实数a,|a|>-a”是假命题的一个反例可以是(A) A.a=-2B.a= C.a=1D.a= 4. (1)定理是真命题(填“真”或“假”,下同). “如果ab=0,那么a=0”是假命题. “如果a=0,那么ab=0”是真命题. (2)“如果(a-1)(a-2)=0,那么a=2”是假命题,反例是a=1. (第5题) 5.如图,若∠1=∠2,则AB∥CD,这是假命题(填“真”或“假”). 6.判断下列命题是真命题还是假命题,如果是假命题,请举出一个反例. (1)如果一个数是偶数,那么这个数是4的倍数. (2)两个负数的差一定是负数. 【解】 (1)假命题.反例: 6是偶数,但6不是4的倍数. (2)假命题.反例: (-5)-(-8)=+3. 7.如图,在△ABC中,∠B=∠C,AD∥BC,则AD平分∠EAC.请用推理的方法说明它是真命题. (第7题) 【解】 ∵AD∥BC, ∴∠EAD=∠B, ∠CAD=∠C. 又∵∠B=∠C, ∴∠EAD=∠CAD, ∴AD平分∠EAC. ∴该命题是真命题. B组 8.某班有20位同学参加围棋、象棋比赛,甲说: “只参加一项的人数大于14人.”乙说: “两项都参加的人数小于5人.”对于甲、乙两人的说法,有下列命题,其中是真命题的是(B) A.若甲对,则乙对B.若乙对,则甲对 C.若乙错,则甲错D.若甲错,则乙对 【解】 A项,若甲对,即只参加一项的人数大于14人,则两项都参加的人数小于6人,故乙可能对也可能错. B项,若乙对,即两项都参加的人数小于5人,则两项都参加的人数至多为4人,此时只参加一项的人数至少为16人,故甲对. C项,若乙错,即两项都参加的人数大于或等于5人,则只参加一项的人数小于或等于15人,故甲可能对也可能错. D项,若甲错,即只参加一项的人数至多为14人,则两项都参加的人数至少为6人,故乙错. 综上所述,真命题只有“若乙对,则甲对”. 9.有下列命题: ①若a+b>0且ab>0,则a>0且b>0;②若a>b且ab>0,则a>b>0;③一个锐角的补角比它的余角小90°.其中属于真命题的是__①__(填序号). 【解】 ①由ab>0,可得a,b同号. 又∵a+b>0,∴a>0且b>0,故本项正确. ②令a=-1,b=-2,则ab=2>0,b<a<0,故本项错误. ③一个锐角的补角比它的余角大90°,故本项错误. (第10题) 10.如图,GH,MN分别是∠EGB,∠EMD的平分线,若GH∥MN,则AB∥CD.请用推理的方法说明它是真命题. 【解】 ∵GH∥MN, ∴∠EGH=∠EMN. ∵GH,MN分别是∠EGB,∠EMD的平分线, ∴∠EGB=2∠EGH, ∠EMD=2∠EMN, ∴∠EGB=∠EMD,∴AB∥CD. ∴该命题是真命题. 数学乐园 11.如图,∠ABC的两边分别平行于∠DEF的两边,且∠ABC=25°. (第11题) (1)∠1=25°,∠2=155°. (2)请观察∠1,∠2与∠ABC分别有怎样的关系,并由此归纳一个真命题. 【解】 (2)∠1=∠ABC,∠2+∠ABC=180°.真命题: 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补. 1.3证明 (一) A组 1.如图,下面的推理正确的是(D) A.∵∠1=∠2,∴AB∥CD B.∵∠ABC+∠BCD=180°,∴AD∥BC C.∵AD∥BC,∴∠3=∠4 D.∵∠ABC+∠DAB=180°,∴AD∥BC (第1题)) (第2题)) 2.如图,若a∥b,则∠1的度数为(C) A.90° B.80° C.70° D.60° (第3题) 3.如图,下列条件中,能证明AD∥BC的是(D) A.∠A=∠C B.∠B=∠D C.∠B=∠C D.∠C+∠D=180° 4.字母a,b,c,d分别代表正方形、线段、正三角形、圆这四个图形中的一种,将它们两两组合,并用字母连接表示,如表是三种组合与连接的对应表,由此可推断图形 的连接方式为a⊕c. 组合, 连接,a⊕b,b⊕d,d⊕c (第5题) 5.如图,∠1与∠D互余,∠C与∠D互余.求证: AB∥CD. 【解】 ∵∠1与∠D互余, ∠C与∠D互余(已知), ∴∠1=∠C(同角的余角相等), ∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行). (第6题) 6.如图,直线a∥b,三角形纸板的直角顶点A落在直线a上,两条直线分别交直线b于B,C两点.若∠1=42°,求∠2的度数. 【解】 ∵直线a∥b,∠1=42°(已知), ∴∠ACB=42°(两直线平行,内错角相等). 又∵∠BAC=90°(已知), ∴∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=48°(三角形的内角和为180°), ∴∠2=∠ABC=48°(对顶角相等). (第7题) 7.如图,∠1=∠2,∠D=50°,求∠B的度数. 【解】 ∵∠1=∠AGF(对顶角相等), ∠1=∠2(已知), ∴∠2=∠AGF(等量代换), ∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行), ∴∠B+∠D=180°(两直线平行,同旁内角互补), ∴∠B=180°-∠D=180°-50°=130°. B组 (第8题) 8.如图,已知直线a∥b,直角三角形ABC的顶点B在直线a上,∠C=90°,∠β=55°,则∠α的度数为__35°__. 【解】 过点C作CE∥a. ∵a∥b,∴CE∥a∥b, ∴∠BCE=∠α,∠ACE=∠β=55°. ∵∠ACB=90°, ∴∠α=∠BCE=∠ACB-∠ACE=35°. (第9题) 9.如图,已知AB∥CD,EF与AB,CD分别相交于点E,F,EP⊥EF,与∠EFD的平分线FP相交于点P,且∠BEP=50°,则∠EPF的度数为__70°__. 【解】 ∵EP⊥EF,∴∠PEF=90°. 又∵∠BEP=50°, ∴∠BEF=∠BEP+∠PEF=140°. ∵AB∥CD,∴∠BEF+∠EFD=180°, ∴∠EFD=40°. ∵FP平分∠EFD, ∴∠EFP= ∠EFD=20°. ∵∠PEF+∠EFP+∠EPF=180°, ∴∠EPF=70°. 10.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,BE平分∠ABC,分别交AC,CD于点E,F.求证: ∠CEF=∠CFE. (第10题) 【解】 ∵BE平分∠ABC, ∴∠ABE=∠CBE. ∵∠ACB=90°,CD⊥AB, ∴∠CEF+∠CBE=90°,∠DFB+∠ABE=90°, ∴∠CEF=∠DFB. 又∵∠CFE=∠DFB, ∴∠CEF=∠CFE. 11.阅读: 如图①,∵CE∥AB,∴∠1=∠A,∠2=∠B,∴∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.这是一个有用的事实,请用这个事实,在图②中的四边形ABCD内引一条和边平行的直线,求出∠A+∠B+∠C+∠D的度数. (第11题) (第11题解) 【解】 如解图,过点D作DE∥AB交BC于点E,则∠A+∠ADE=180°,∠B+∠BED=180°. 由题意,得∠BED=∠C+∠CDE, ∴∠A+∠B+∠C+∠CDA=(∠A+∠ADE)+(∠CDE+∠C)+∠B=180°+∠BED+∠B=180°+180°=360°. 数学乐园 12.如图,∠EOF=90°,点A,B分别在射线OE,OF上移动,连结AB并延长至点D,∠DBO的平分线与∠OAB的平分线交于点C,试问: ∠ACB的度数是否随点A,B的移动而发生变化? 如果保持不变,请说明理由;如果随点A,B的移动而发生变化,请给出变化的范围. (第12题) 【解】 ∠ACB的度数不随点A,B的移动发生变化.理由如下: ∵BC,AC分别平分∠DBO,∠BAO, ∴∠DBC= ∠DBO, ∠BAC= ∠BAO. ∵∠DBO+∠OBA=180°,∠OBA+∠BAO+∠AOB=180°, ∴∠DBO=∠BAO+∠AOB, ∴∠DBO-∠BAO=∠AOB=90°. ∵∠DBC+∠ABC=180°,∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°, ∴∠DBC=∠BAC+∠ACB, ∴ ∠DBO= ∠BAO+∠ACB, ∴∠ACB= (∠DBO-∠BAO)= ∠AOB=45°. 1.3证明 (二) A组 1.如图,∠ACD=120°,∠B=20°,则∠A的度数为(C) A.120°B.90° C.100°D.30° (第1题)) (第2题)) 2.如图,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线.若∠B=35°,∠ACE=60°,则∠A的度数为(C) A.35°B.95° C.85°D.75° 3.如图,平面上直线a,b分别过线段OK的两端点,则a,b相交所成的锐角是(A) A.60° B.30° C.70° D.8° (第3题)) (第4题)) 4.如图,直线AB∥CD,∠A=70°,∠C=40°,则∠E等于(A) A.30° B.40° C.60° D.70° 5.若三角形的三个外角的度数之比为2∶3∶4,则与之对应的三个内角的度数之比为(C) A.4∶3∶2 B.3∶2∶4 C.5∶3∶1 D.3∶1∶5 6.如图,l1∥l2,则下列式子成立的是(B) A.∠α+∠β+∠γ=180° B.∠α+∠β-∠γ=180° C.∠β+∠γ-∠α=180° D.∠α-∠β+∠γ=180° (第6题)) (第7题)) 7.如图,点A,C,F,B在同一条直线上,CD平分
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