高考一轮复习热点难点精讲精析.docx
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高考一轮复习热点难点精讲精析
2014年高考一轮复习热点难点精讲精析:
1.2命题及其关系、充分条件与必要条件
一、命题的关系与真假的判断
1、相关链接
(1)对于命题真假的判定,关键是分清命题的条件与结论,只有将条件与结论分清,再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假。
(2)四种命题的关系的应用
掌握原命题和逆否命题,否命题和逆命题的等价性,当一个命题直接判断它的真假不易进行时,可以转而判断其逆否命题的真假。
注:
当一个命题有大前提而写出其他三种命题时,必须保留大前提,大前提不动。
2、例题解析
〖例1〗】
(1)(2012·苏州模拟)命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是______.
(2)(2012·岳阳模拟)命题“若a>b,则a-1>b-1”的否命题是______.
(3)给出命题:
若函数y=f(x)是幂函数,则函数y=f(x)的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是______.
【解题指导】
(1)、
(2)先分清原命题的条件和结论,再根据四种命题的概念,写出逆命题、否命题.
(3)在判断四种命题的真假时,可根据原命题与其逆否命题、原命题的逆命题与否命题的等价性来判断.
【解析】
(1)逆命题是将原命题的结论与条件互换位置,故该命题的逆命题是“若一个数的平方是正数,则它是负数”.
(2)同时否定原命题的条件和结论,所得命题就是它的否命题,故该命题的否命题是“若a≤b,则a-1≤b-1”.
(3)原命题与逆否命题等价,而原命题为真,所以逆否命题为真命题;原命题的逆命题为:
若y=f(x)的图象不过第四象限,则函数y=f(x)是幂函数,此命题为假命题,又因为逆命题与否命题同真同假,所以否命题为假命题,故真命题的个数是1.
答案:
(1)若一个数的平方是正数,则它是负数
(2)若a≤b,则a-1≤b-1
(3)1
〖例2〗以下列命题为原命题,分别写出它们的逆命题,否命题和逆否命题.
①内接于圆的四边形的对角互补;
②已知a、b、c、d是实数,若a=b,c=d,则a+c=b+d;
分析:
首先应当把原命题改写成“若p则q”形式,再设法构造其余的三种形式命题.
解析:
对①:
原命题:
“若四边形内接于圆,则它的对角互补”;
逆命题:
“若四边形对角互补,则它必内接于某圆”;
否命题:
“若四边形不内接于圆,则它的对角不互补”;
逆否命题:
“若四边形的对角不互补,则它不内接于圆”.
对②:
原命题:
“已知a、b、c、d是实数,若a=b,c=d,则a+c=b+d”,其中“已知a、b、c、d是实数”是大前提,“a=b,c=d”是条件,“a+c=b+d”是结论.所以:
逆命题:
“已知a、b、c、d是实数,若a+c=b+d,则a=b,c=d”;
否命题:
“已知a、b、c、d是实数,若a≠b或c≠d,则a+c≠b+d”(注意“a=b,c=d”的否定是“a≠b或c≠d”只需要至少有一个不等即可);
逆否命题:
“已知a、b、c、d是实数,若a+c≠b+d则a≠b或c≠d”.
逆否命题还可以写成:
“已知a、b、c、d是实数,若a+c≠b+d则a=b,c=d两个等式至少有一个不成立”
说明:
要注意大前题的处理.试一试:
写出命题“当c>0时,若a>b,则ac>bc”的逆命题,否命题,逆否命题,并分别判定其真假.
二、充分条件与必要条件的判定
1、相关链接
(1)利用定义判断
①若,则p是q的充分条件;
注:
“p是q的充分条件”是指有p就有q,但无p也可能有q.如“两个三角形全等”是“两个三角形面积相等”的一个充分(不必要)条件,但无“两个三角形全等”也可推出“两个三角形面积相等”,如“两个三角形同底等高”就又是“两个三角形面积相等”的另一个充分(不必要)条件.,则p是q的必要条件;
注:
ⅰ“q是p的必要条件”是指有q才能有p,但有q未必有p.如,一个偶数未必能被6整除(q:
为偶数,p:
能被6整除).,即无必然无,可见对于来说必不可少。
③若且,p是q的充要条件;
④
⑤p是q的必要而不充分条件.
(2)利用集合判断
记条件p、q对应的集合分别为A、B,则:
若
若,则p是q的充分不必要条件;
若
若,则p是q的必要不充分条件;
若A=B,则p是q的充要条件;
若,且,则是的既不充分也不必要条件。
注:
p与q之间的关系的方向性,充分条件与必要条件方向正好相反,不要混淆。
2、例题解析
〖例1〗
(1)设集合A={x∈R|x-2>0},B={x∈R|x<0},C={x∈R|x(x-2)>0},则“x∈A∪B”是“x∈C”的()
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件
(D)既不充分也不必要条件
(2012·驻马店模拟)已知条件p:
(1-x)(x+1)>0,条件有意义,则的()
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
【解题指导】
(1)求出集合C及A∪B,根据两集合的关系判断.
(2)化简条件p、q,求出与后根据集合间的关系判断.
解析:
(1)选C.集合C的解集是{x|x<0或x>2},
∵A∪B={x|x<0或x>2},∴A∪B=C,故选C.
(2)选B.由(1-x)(x+1)>0,得-1<x<1,即条件p:
-1<x<1,则或x≥1.
由得-1<x≤1.
即条件q:
-1<x≤1,则或x>1.
但
∴是的必要不充分条件,故选B.
〖例2〗已知p:
x1,x2是方程x2+5x-6=0的两根,q:
x1+x2=-5,则p是q的[]
A.充分但不必要条件 B
C.充要条件 D
分析:
利用韦达定理转换.
解析:
∵x1,x2是方程x2+5x-6=0的两根,
∴x1,x2的值分别为1,-6,
∴x1+x2=1-6=-5.
因此选A.
说明:
判断命题为假命题可以通过举反例.
三、充要条件的证明
〖例1〗(12分)求证方程ax2+2x+1=0有且只有一个负数根的充要条件为a≤0或a=1.
分析:
(1)讨论a的不同取值情况;
(2)利用根的判别式求a的取值范围.
解答:
充分性:
当a=0时,方程变为2x+1=0,其根为x=,方程只有一个负根;
当a=1时,方程为x2+2x+1=0.其根为x=-1,
方程只有一个负根。
当a<0时,Δ=4(1-a)>0,方程有两个不相等的根,且<0,方程有一正一负根。
必要性:
若方程ax2+2x+1=0有且仅有一个负根。
当a=0时,适合条件。
当a≠0时,方程ax2+2x+1=0有实根,
则Δ=4(1-a)≥0,∴a≤1,
当a=1时,方程有一个负根x=-1.
若方程有且仅有一负根,则∴a<0
综上方程ax2+2x+1=0有且仅有一负根的充要条件为a≤0或a=1
注:
(1)条件已知证明结论成立是充分性,结论已知证明条件成立是必要性;
(2)证明分为两个环节,一是充分性;二是必要性。
证明时,不要认为它是推理过程的“双向书写”,而应该进行由条件到结论,由结论到条件下的两次证明;
(3)证明条件时易出现必要性与充分性混淆的情形,这就要分清哪是条件,哪是结论。
〖例〗给出下列各组条件:
(1)p:
ab=0,q:
a2+b2=0;
(2)p:
xy≥0,q:
|x|+|y|=|x+y|;
(3)p:
m>0,q:
方程x2-x-m=0有实根;
(4)p:
|x-1|>2,q:
x<-1.
其中p是q的充要条件的有[]
A.1组B.2组C.3组D.4组
分析:
使用方程理论和不等式性质.
解析:
(1)p是q的必要条件
(2)p是q充要条件
(3)p是q的充分条件
(4)p是q的必要条件.选A.
说明:
ab=0指其中至少有一个为零,而a2+b2=0指两个都为零.
2014年高考一轮复习热点难点精讲精析:
1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
一、对“或”“且”“非”的理解
1、相关链接
(1)“或”与日常生活中的用语“或”的意义不同。
对于逻辑用语“或”的理解我们可以借助于集合中的并集的概念;在A∪B={x|x∈A或x∈B}中的“或”是指“x∈A”与“x∈B”中至少有一个成立,可以是“”,也可以是“”,也可以是“”,逻辑用语中的“或”与并集中的“或”的含义是一样的。
(2)对“且”的理解,可以联想到集合中的交集的概念;在A∩B={x|x∈A且x∈B}中的“且”是指:
“x∈A”、“x∈B”都要满足的意思,即x既要属于集合A,又要属于集合B。
(3)对“非”的理解,可以联想到集合中的补集的概念:
若将命题p对应集合P,则命题非p就对应着集合P在全集U中的补集,对于非的理解,还可以从字意上来理解,“非”本身就具有否定的意思。
一般地,写一个命题的否定,往往需要对正面叙述的词语进行否定。
2、“P∨q”、“p∧q”、“p”形式命题真假的判断步骤
(1)确定命题的构成形式;
(2)判断其中命题P、q的真假;
(3)确定“P∨q”、“p∧q”、“p”形式命题的真假。
4、含有逻辑联结词的命题的真假判断规律
(1)p∨q:
p、q中有一个为真,则p∨q为真,即一真全真;
(2)p∧q:
p、q中有一个为假,则p∧q为假,即一假即假;
(3):
与p的真假相反,即一真一假,真假相反.
4、例题解析
〖例1〗已知命题:
p1:
函数y=2x-2-x在R上为增函数
p2:
函数y=2x+2-x在R上为减函数
则在命题q1:
“p1∨p2”,q2:
“p1∧p2”,q3:
“( )∨p2”和q4:
“p1∧()”中,真命题是()
(A)q1,q3 (B)q2,q3
()q1,q4 ()q2,q4
解析:
选.命题p1为真命题,p2为假命题,则为假命题为真命题,从而q1,q4为真命题,q2,q3为假命题.故选.
注:
1.求解本题时,易由于对命题p1,p2的真假判断不正确,从而造成解题失误.
2.当一个命题,从字面上看不一定有“或”、“且”、“非”字样时,需要我们掌握一些词语、符号或式子与逻辑联结词“或”、“且”、“非”的关系,如“或者”、“x=±1”、“≤”的含义为“或”;“并且”、“”的含义为“且”;“不是”、“”的含义为“非”.
〖例2〗写出由下述各命题构成的“P∨q”,“p∧q”,“p”形式的复合命题,并指出所构成的这些复合命题的真假
(1)p:
9是144的约数,q:
9是225的约数
(2)p:
方程x2-1=0的解是x=1,q:
方程x2-1=0的解是x=-1;
(3)p:
实数的平方是正数,q:
实数的平方是0.
解析:
由简单命题构成复合命题,一定要检验是否符合“真值表”如果不符要作语言上的调整
P∨q:
9是144或225的约数;
p∧q:
9是144与225的公约数,(或写成:
9是144的约数,且9是225的约数);
p:
9不是144的约数.
∵p真,q真,∴“P∨q”为真,“p∧q”为真,而“p”为假.
(2)P∨q:
方程x2-1=0的解是x=1,或方程x2-1=0的解是x=-1(x2-1=0的解是x=±1”,这与真值表不符);
p∧q:
方程x2-1=0的解是x=1,且方程x2-1=0的解是x=-1;
p:
方程x2-1=0的解不都是x=1(注意,在命题p中的“是”应理解为“都是”的意思);
∵p假,q假,∴“P∨q”与,“p∧q”均为假,而“p”为真.
(3)P∨q:
实数的平方都是正数或实数的平方都是0;
p∧q:
实数的平方都是正数且实数的平方都是0;
p:
实数的平方不都是正数,(或:
存在实数,其平方不是正数);
∵p假,q假,∴“P∨q”与“p∧q”均为假,而“p”为真.
注:
在命题p或命题q的语句中,由于中文表达的习惯常常会有些省略,这种情况下应作词语上的调整。
二、全(特)称命题及真假判断
1、相关链接
(1)要判断一个全称命题是真命题,必须对限定的集合M中的每一个元素x,验证p(x)成立.
(2)要判断一个全称命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x=x0,使得p(x0)不成立即可;
(3)要判断一个特称命题是真命题,只要在限定的集合M中,至少能找到一个x=x0,使p(x0)成立即可,否则这一特称命题就是假命题。
2、例题解析
〖例〗
(1)下列命题中,真命题是()
()m0∈R,使函数f(x)=x2+m0x(x∈R)是偶函数
(B)m0∈R,使函数f(x)=x2+m0x(x∈R)是奇函数
()m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是偶函数
()m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是奇函数
(2)已知a>0,函数f(x)=ax2+bx+c,若m满足关于x的方程2ax+b=0,则下列选项中的命题为假命题的是()
()x0∈R,f(x0)≤f(m)
(B)x0∈R,f(x0)≥f(m)
()x∈R,f(x)≤f(m)
()x∈R,f(x)≥f(m)
解析:
(1)选A.当m0=0时,f(x)=x2是偶函数,故选.
当m=1时,f(x)=x2+x是非奇非偶函数,故、错误;
又y=x2是偶函数,则f(x)=x2+m0x不可能是奇函数,故错.
(2)选.由2am+b=0,得又a>0,∴f(m)是函数f(x)的最小值,即有f(x)≥f(m),故选.
三、全(特)称命题的否定
1、相关链接
(1)全称命题(特称命题)的否定与命题的否定有着一定的区别,全称命题(特称命题)的否定是其全称量词改为存在量词(或存在量词改为全称量词),并把结论否定,而命题的否定则直接否定结论即可,从命题形式上看,全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题。
(2)常见词语的否定形式有:
原语句是都是>至少有一个至多有一个对任意使真否定形式不是不都是≤一个也没有至少有两个存在使假2、例题解析
〖例1〗写出下列命题的否定,并判断命题的否定的真假,指出命题的否定属全称命题还是特称命题。
(1)所有的有理数是实数;
(2)有的三角形是直角三角形;
(3)每个二次函数的图象与轴相交;
(4)
分析:
否定量词否定判断词写出命题的否定判断命题真假。
解答:
(1)p:
存在一个有理数不是实数。
为假命题,属特称命题;
(2)p:
所有的三角形都不是直角三角形。
为假命题,属于全称命题;
(3)p:
为真命题,属特称命题。
〖例2〗写出下列命题的否定并判断其真假
(1)p:
存在一些四边形不是平行四边形;
(2)p:
所有的正方形都是矩形;
(3)p:
至少有一个实数,使;
(4)p:
解答:
(1):
所有的四边形都是平行四边形。
假命题;
(2):
至少存在一个正方形不是矩形。
假命题;
(3):
假命题;
(4):
假命题。
四、与逻辑联结词、全(特)称命题有关的参数问题
〖例1〗(12分)已知命题:
命题,若命题“且”是真命题,求实数的取值范围。
分析:
(1)已知的两个命题是全称命题和特称命题;
(2)根据“p且q”是真命题来确定a的不等式,从而求出a的取值范围。
解答:
由“p且q”是真命题,则p为真命题,q也为真命题.
若p为真命题,a≤x2恒成立,
∵x∈[1,2],∴a≤1.
若q为真命题,即x2+2ax+2-a=0有实根,Δ=4a2-4(2-a)≥0,
即a≥1或a≤-2,
综上所求实数a的取值范围为a≤-2或a=1.
注:
含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)命题的真假,求出此时参数成立的条件,再求出含逻辑联结词的命题成立的条件.
〖例2〗已知两个命题r(x):
sinx+cosx>m,s(x):
x2+mx+1>0.如果对x∈R,r(x)与s(x)有且仅有一个是真命题,求实数m的取值范围.
分析:
由已知先求出对x∈R,r(x),s(x)都是真命题时m的范围,再由要求分情况讨论出所求m的范围.
解答:
∵sinx+cosx=
∴当r(x)是真命题时,m<.
又∵对x∈R,s(x)为真命题,即x2+mx+1>0恒成立,有Δ=m2-4<0,∴-2
2014年高考一轮复习热点难点精讲精析:
2.1函数及其表示
一、求函数的定义域、值域
1、确定函数的定义域的原则
(1)当函数y=f(x)用列表法给出时,函数的定义域是指表格中实数x的集合;
(2)当函数y=f(x)用图象法给出时,函数的定义域是指图象在x轴上的投影所覆盖的实数的集合;
(3)当函数y=f(x)用解析式给出时,函数的定义域是指使解析式有意义的实数的集合;
(4)当函数y=f(x)由实际问题给出时,函数的定义域由实际问题的意义确定。
2、确定函数定义域的依据
(1)若f(x)是整式,则定义域为全体实数;
(2)若f(x)是分式,则定义域为使分式的分母不为零的x取值的集合;
(3)当f(x)是偶次根式时,定义域是使被开方式取非负的x取值的集合;
(4)当f(x)是非正数指数幂时,定义域是使幂的底数不为0的x取值的集合;
(5)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],其复合函数f(g(x))定义域由不等式a≤g(x)≤b解出;
(6)若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]时的值域。
3、求简单函数值域的方法
(1)观察法;
(2)图象观察法;(3)单调性法;(4)分离常数法;(5)均值不等式法;(6)换元法.
4、例题解析
〖例1〗(2012·大连模拟)求函数的定义域;
(2)已知函数f(2x)的定义域是[-1,1],求f(x)的定义域;
(3)求下列函数的值域.
①y=x2+2x,x∈[0,3],
②y=log3x+logx3-1,
③
分析:
(1)根据解析式,构建使解析式有意义的不等式组求解即可;
(2)要明确2x与f(x)中x的含义,从而构建不等式求解;
(3)根据解析式的特点,分别选用①图象观察法;②均值不等式法;③单调性法求值域.
解答:
(1)要使该函数有意义,
需要则有:
解得:
-3<x<0或2<x<3,
所以所求函数的定义域为(-3,0)∪(2,3).
(2)∵f(2x)的定义域为[-1,1],
即-1≤x≤1,
故f(x)的定义域为[].
(3)①y=(x+1)2-1在[0,3]上的图象如图所示,
由图象知:
0≤y≤32+2×3=15,
所以函数y=x2+2x,x∈[0,3]的值域为[0,15].
②,定义域为(0,1)∪(1,+∞),
当0<x<1时,
当x>1时,
综上可知,其值域为(-∞,-3]∪[1,+∞).
③因为x2-1≥-1,又y=2x在R上为增函数,
∴≥2-1=.
故值域为[,+∞).
【规律方法】求函数定义域的方法
(1)求具体函数y=f(x)的定义域:
(2)求抽象函数的定义域:
①若已知函数f(x)的定义域为[a,b],其复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出.
②若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]时的值域.
提醒:
定义域必须写成集合或区间的形式.
〖例2〗设函数则不等式的解集是(A)
.B.
C.D.
解析由已知,函数先增后减再增
当,令
解得。
当,
故,解得
【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用以及一元二次不等式的求解
〖例3〗试判断以下各组函数是否表示同一函数?
(1)f(x)=,g(x)=;
(2)f(x)=,g(x)=
(3)f(x)=,g(x)=()2n-1(n∈N*);
(4)f(x)=,g(x)=;
(5)f(x)=x2-2x-1,g(t)=t2-2t-1。
解:
(1)由于f(x)==|x|,g(x)==x,故它们的值域及对应法则都不相同,所以它们不是同一函数;
(2)由于函数f(x)=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),而g(x)=的定义域为R,所以它们不是同一函数;
(3)由于当n∈N*时,2n±1为奇数,
∴f(x)==x,g(x)=()2n-1=x,它们的定义域、值域及对应法则都相同,所以它们是同一函数;
(4)由于函数f(x)=的定义域为{x|x≥0},而g(x)=的定义域为{x|x≤-1或x≥0},它们的定义域不同,所以它们不是同一函数;
(5)函数的定义域、值域和对应法则都相同,所以它们是同一函数
注:
对于两个函数y=f(x)和y=g(x),当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时,y=f(x)和y=g(x)才表示同一函数若两个函数表示同一函数,则它们的图象完全相同,反之亦然。
〖例4〗求下列函数的值域:
(1);
(2);(3);
(4);(5);(6);
(7);(8);(9)
解:
(1)(配方法),
∴的值域为
改题:
求函数,的值域
解:
(利用函数的单调性)函数在上单调增
∴当时,原函数有最小值为;当时,原函数有最大值为
∴函数,的值域为
(2)求复合函数的值域:
设(),则原函数可化为
又∵,
∴,故,
∴的值域为
(3)(法一)反函数法:
的反函数为,其定义域为,
∴原函数的值域为
(法二)分离变量法:
,
∵,∴,
∴函数的值域为
(4)换元法(代数换元法):
设,则,
∴原函数可化为,∴,
∴原函数值域为
注:
总结型值域,
变形:
或
(5)三角换元法:
∵,∴设,
则
∵,∴,∴,
∴,
∴原函数的值域为
(6)数形结合法:
,
∴,∴函数值域为
(7)判别式法:
∵恒成立,∴函数的定义域为
由得:
①
①当即时,①即,∴
②当即时,∵时方程恒有实根,
∴△,
∴且,
∴原函数的值域为
(8),
∵,∴,
∴,
当且仅当时,即时等号成立
∴,
∴原函数的值域为
(9)(法一)方程法:
原函数可化为:
,
∴(其中),
∴,
∴,
∴,
∴,
∴原函数的值域为
注:
上面讨论的是用初等方法求函数值域的一些常见类型与方法,掌握这些方法对于以后的复习中求解综合性的题目时是非常有用的。
二、分段函数及实际应用题
1、相关链接
(1)解决分段函数的基本原则是分段进行,即自变量的取值属于哪一段范围,就用这一段的解析式来解决;
(2)对于实际应用题应根据题意确定好分段点,在每一段上分析出其解析式,然后再写成分段函数;
(3)对于分段函数的最值问题,一般是将每一段上的最值分别求出,其中的最大者就是整个函数的最大值,其中的最小者就是整个函数的最小值。
2.例题解析
〖例1〗我国是水资源相对匮乏的国家,为鼓励节约用水,某市打算制定一项水费措施,规定每季度每人用水不超过5吨时,每吨水费的价格(基本消费价)为1.3元,若超过5吨而不超过6吨时,超过部分的水费加收200%,若超过6吨而不超过7吨时,超过部分的水费加收400%,如果某人本季度实际用水量为x(x≤7)吨,试计算本季度他应缴纳的水费.
思路分析:
计算本季度他应缴纳的水费,应看他的用水量x在何范围内,不同的范围,缴纳的水费不同;可采用分段函数来表示.
解答:
设y表示本季度应缴纳的水费(元),
当0<x≤5时,y=1.3x;
当5<x≤6时,应将x分成两部分:
5与(x-5)分别计算,第一部分为基本消费1.3×5,第二部分由基本消费与加价消费组成,即
1.3×(x-5)+1.3(x-5)×200%=3.9x-19.5,
此时y=1.3×5+3.9x-19.5=3.9x-13,
当6<x≤7时,同理y=6.5x-28.6
综上可知:
.
〖例2〗某出版公司为一本畅销书定价如下:
这里的n∈N*表示购书的数量,C(n)是订购n本书所付的钱数(单位:
元).若一本书的成本价是5元,现有甲、乙两人来买书,每人
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