高三数学人教版A版数学理高考一轮复习教案27 函数的图象 Word版含答案.docx
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高三数学人教版A版数学理高考一轮复习教案27函数的图象Word版含答案
第七节 函数的图象
1.函数图象的识辨
会结合函数性质判断函数图象.
2.函数图象的应用
会运用函数图象理解和研究函数的性质.
知识点一 描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线,具体为:
首先:
①确定函数的定义域;②化简函数解析式;③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性);
其次:
列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点);
最后:
描点,连线.
易误提醒
1.在使用描点法作图象时易忽视定义域及图象的一些特殊点(与x、y轴交点、最高、最低点等).
2.连线时必须区分是光滑的曲线还是直线,易出错.
[自测练习]
1.函数y=1-
的图象是( )
解析:
将y=-
的图象向右平移1个单位,再向上平移一个单位,即可得到函数y=1-
的图象.
答案:
B
知识点二 利用图象变换法作函数的图象
1.平移变换
y=f(x)
y=f(x-a);
y=f(x)
y=f(x)+b.
2.伸缩变换
y=f(x)
y=f(ωx);
y=f(x)
y=Af(x).
3.对称变换
y=f(x)
y=-f(x);
y=f(x)
y=f(-x);
y=f(x)
y=-f(-x).
4.翻折变换
y=f(x)
y=f(|x|);
y=f(x)
y=|f(x)|.
易误提醒
1.在解决函数图象的变换问题时,要遵循“只能对函数关系式中的x,y变换”的原则,写出每一次的变换所得图象对应的解析式,这样才能避免出错.
2.明确一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称的不同,前者是自身对称,且为偶函数,后者是两个不同函数的对称关系.
[自测练习]
2.为了得到函数f(x)=log2x的图象,只需将函数g(x)=log2
的图象向________平移________个单位.
解析:
g(x)=log2
=log2x-3=f(x)-3,
因此只需将函数g(x)的图象向上平移3个单位即可得到函数f(x)=log2x的图象.
答案:
上 3
3.函数f(x)=
的图象如图所示,则a+b+c=________.
解析:
由题图可求得直线的方程为y=2x+2.
又函数y=logc
的图象过点(0,2),
将其坐标代入可得c=
,
所以a+b+c=2+2+
=
.
答案:
4.若不等式x2-logax<0在
内恒成立,则a的取值范围是________.
解析:
∵不等式x2-logax<0在
内恒成立,
∴0<a<1,且
<loga
.
∴
解得
<a<1.
答案:
考点一 作图|
分别画出下列函数的图象:
(1)y=|lgx|;
(2)y=2x+2;
(3)y=x2-2|x|-1.
解:
(1)y=
图象如图1.
(2)将y=2x的图象向左平移2个单位.图象如图2.
(3)y=
图象如图3.
画函数图象的两种方法
(1)直接法.当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时,就可根据这些函数的特征直接作出.
(2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序.对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
考点二 识图|
(1)(2015·高考浙江卷)函数f(x)=
cosx(-π≤x≤π且x≠0)的图象可能为( )
[解析] 根据y1=x-
为奇函数,y2=cosx为偶函数,可得函数f(x)为奇函数,因此排除A,B项,又当x=π时,y1>0,y2<0,因此选D.
[答案] D
(2)(2015·贵州七校联考)已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可以是( )
A.f(x)=
B.f(x)=
C.f(x)=
-1
D.f(x)=x-
[解析] 由图象知f(x)应为奇函数,故排除B、C,又当x∈(0,+∞)时,f(x)=x-
单调递增,故排除D,故A正确.
[答案] A
识图常用的三种方法
(1)定性分析法:
通过对问题进行定性的分析,从而得出图象的上升(或下降)的趋势,利用这一特征分析解决问题.
(2)定量计算法:
通过定量的计算来分析解决问题.
(3)函数模型法:
由所提供的图象特征,联想相关函数模型,利用这一函数模型来分析解决问题.
(2015·山西四校联考)已知函数f(x)=
则函数y=f(1-x)的大致图象是( )
解析:
当x=0时,y=f
(1)=3,即y=f(1-x)的图象过点(0,3),排除A;当x=-2时,y=f(3)=-1,即y=f(1-x)的图象过点(-2,-1),排除B;当x=-
时,y=f
=log
<0,即y=f(1-x)的图象过点
,排除C,故选D.
答案:
D
考点三 用图|
函数图象是函数的一种表达形式,它形象地揭示了函数的性质,为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性.归纳起来,图象的应用常见的命题探究角度有:
1.确定方程根的个数.
2.求参数的取值范围.
3.求不等式的解集.
4.研究函数性质.
探究一 确立方程根的个数
1.(2015·日照一模)已知f(x)=
则函数y=2f2(x)-3f(x)+1的零点个数是________.
解析:
方程2f2(x)-3f(x)+1=0的解为f(x)=
或1.作出y=f(x)的图象,由图象知零点的个数为5.
答案:
5
探究二 求参数的取值范围
2.已知函数y=
的图象与函数y=kx的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是________.
解析:
将函数y=
化成分段函数,并作出其图象如图所示.利用图象可得实数k的取值范围为(0,1)∪(1,2).
答案:
(0,1)∪(1,2)
探究三 求不等式的解集
3.(2015·成都模拟)设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数且f
(1)=0,则不等式
<0的解集为( )
A.(-1,0)∪(1,+∞)
B.(-∞,-1)∪(0,1)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞)
D.(-1,0)∪(0,1)
解析:
f(x)为奇函数,所以不等式
<0化为
<0,即xf(x)<0,f(x)的大致图象如图所示.所以xf(x)<0的解集为(-1,0)∪(0,1).
答案:
D
探究四 研究函数的性质
4.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x-1),已知当x∈[0,1]时,f(x)=
1-x,则:
①2是函数f(x)的周期;
②函数f(x)在(1,2)上递减,在(2,3)上递增;
③函数f(x)的最大值是1,最小值是0;
④当x∈(3,4)时,f(x)=
x-3.
其中所有正确命题的序号是________.
解析:
由已知条件:
f(x+2)=f(x),则y=f(x)是以2为周期的周期函数,①正确;
当-1≤x≤0时,0≤-x≤1,
f(x)=f(-x)=
1+x,
函数y=f(x)的图象如图所示:
当3 f(x)=f(x-4)= x-3,因此②④正确,③不正确. 答案: ①②④ 6.数形结合思想求函数取值范围 【典例】 (2015·石家庄质检)已知定义域为R的函数f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=|x-a2|-a2,且对x∈R,恒有f(x+1)≥f(x),则实数a的取值范围为( ) A.[0,2] B. C.[-1,1]D.[-2,0] [思路点拨] 作出f(x)在[0,+∞)上的图象后,利用奇函数性质再作出f(x)在R上的图象,向左平移一个单位可知f(x+1)图象,然后结合图象分析. [解析] 作出f(x)与f(x+1)的图象如图.要使f(x+1)≥f(x),则只要使点(a2,-a2)向左平移1个单位后到了点(-3a2,-a2)的左侧,或者与点(-3a2,-a2)重合,即4a2≤1,解得- ≤a≤ ,故选B. [答案] B [思想点评] (1)对于一些无法求解的不等式或已知不等关系,常转化为函数图象的上、下关系,通过数形结合发现规律. (2)本题易忽视点p(a2,-a2)平移1个单位后与点(-3a2,-a2)重合. [跟踪练习] 已知函数f(x)= 则对任意x1,x2∈R,若0<|x1|<|x2|,下列不等式成立的是( ) A.f(x1)+f(x2)<0B.f(x1)+f(x2)>0 C.f(x1)-f(x2)>0D.f(x1)-f(x2)<0 解析: 函数f(x)的图象如图所示: 且f(-x)=f(x),从而函数f(x)是偶函数且在[0,+∞)上是增函数.又0<|x1|<|x2|, ∴f(x1)<f(x2),即f(x1)-f(x2)<0. 答案: D A组 考点能力演练 1.(2015·东北三校联考)函数y=lncosx 的图象是( ) 解析: ∵cos(-x)=cosx, ∴y=lncosx 是偶函数,可排除B、D; 由cosx≤1得lncosx≤0,排除C,故选A. 答案: A 2.函数f(x)=1+log2x与g(x)=21-x在同一坐标系中的图象大致是( ) 解析: 因为函数f(x)=1+log2x的零点是 ,排除A;g(x)=21-x是减函数,且与y轴的交点为(0,2),排除B和D,故选C. 答案: C 3.(2016·西安质检)函数f(x)=axm(1-x)2在区间[0,1]上的图象如图所示,则m的值可能是( ) A.1 B.2 C.3D.4 解析: f′(x)=maxm-1(1-x)2-2axm(1-x)=axm-1(1-x)·[m-(m+2)x],令f′(x)=0,可得x=1或x= ,由图象可得0< <0.5,解得0<m<2,故选A. 答案: A 4.函数f(x)是周期为4的偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)=x-1,则不等式xf(x)>0在[-1,3]上的解集为( ) A.(1,3)B.(-1,1) C.(-1,0)∪(1,3)D.(-1,0)∪(0,1) 解析: f(x)的图象如图. 当x∈(-1,0)时,由xf(x)>0得x∈(-1,0); 当x∈(0,1)时,由xf(x)<0得x∈∅; 当x∈(1,3)时,由xf(x)>0得x∈(1,3). 故x∈(-1,0)∪(1,3). 答案: C 5.如图,直线l和圆C,当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动(转动角度不超过90°)时,它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数,这个函数的大致图象是( ) 解析: 随着时间的增长,直线被圆截得的弦长先慢慢增加到直径,再慢慢减小,所以圆内阴影部分的面积增加速度先越来越快,然后越来越慢,反映在图象上面,则先由平缓变陡,再由陡变平缓,结合图象知,选C. 答案: C 6.已知曲线C: y= (-2≤x≤0)与函数f(x)=loga(-x)及函数g(x)=a-x(a>1)的图象分别交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则x +x 的值为________. 解析: 作出曲线C和函数f(x),g(x)的图象如图所示,显然f(x),g(x)的图象关于直线y=-x对称,所以x1=-y2,x2=-y1,所以x +x =x +y =4. 答案: 4 7.(2016·荆州模拟)对a,b∈R,记max{a,b}= 函数f(x)=max{|x+1|,|x-2|}(x∈R)的最小值是________. 解析: 函数f(x)=max{|x+1|,|x-2|}(x∈R)的图象如图所示,由图象可得,其最小值为 . 答案: 8.已知定义在区间[0,1]上的函数y=f(x)的图象如图所示,对于满足0<x1<x2<1的任意x1,x2给出下列结论: ①f(x2)-f(x1)>x2-x1; ②x2f(x1)>x1f(x2); ③ <f . 其中正确结论的序号是________.(写出所有正确结论的序号) 解析: 由f(x2)-f(x1)>x2-x1得 >1,即两点(x1,f(x1))与(x2,f(x2))连线的斜率大于1,显然结论①不正确;由x2f(x1)>x1f(x2)得 > ,即点(x1,f(x1))与原点连线的斜率大于点(x2,f(x2))与原点连线的斜率,由图象易知结论②正确;结合函数图象,容易判断结论③正确. 答案: ②③ 9.已知函数f(x)=2x,x∈R. 当m取何值时,方程|f(x)-2|=m有一个解? 两个解? 解: 令F(x)=|f(x)-2|=|2x-2|, G(x)=m,画出F(x)的图象如图所示. 由图象看出,当m=0或m≥2时,函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点,原方程有一个解; 当0 函数F(x)与G(x)的图象有两个交点, 原方程有两个解. 10.已知函数f(x)=x|m-x|(x∈R),且f(4)=0. (1)求实数m的值; (2)作出函数f(x)的图象并判断其零点个数; (3)根据图象指出f(x)的单调递减区间; (4)根据图象写出不等式f(x)>0的解集. 解: (1)∵f(4)=0,∴4|m-4|=0,即m=4. (2)∵f(x)=x|m-x|=x|4-x|= ∴函数f(x)的图象如图: 由图象知f(x)有两个零点. (3)从图象上观察可知: f(x)的单调递减区间为[2,4]. (4)从图象上观察可知: 不等式f(x)>0的解集为{x|0<x<4或x>4}. B组 高考题型专练 1.(2013·高考山东卷)函数y=xcosx+sinx的图象大致为( ) 解析: 法一: 令f(x)=xcosx+sinx, ∵f(-x)=-x·cosx-sinx=-f(x). ∴函数y=xcosx+sinx为奇函数,可排除B. 令xcosx+sinx=0,得tanx=-x,在同一坐标系中画出函数y=tanx和y=-x的图象如图,由图可知函数y=xcosx+sinx的零点有一个介于 到π之间,可排除A、C,故选D. 法二: 令f(x)=xcosx+sinx,则f(-x)=-xcosx-sinx=-f(x),∴f(x)为奇函数,∵奇函数的图象关于原点对称,而B中图象不关于原点对称,∴排除B;当x= 时,y=1,而由C中图象知当x= 时,y≠1,∴排除C;当x=π时,y=-π,而A中,当x=π时,y>0,∴排除A,故选D. 答案: D 2.(2014·高考新课标全国卷Ⅰ)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]上的图象大致为( ) 解析: 由题图可知: 当x= 时,OP⊥OA,此时f(x)=0,排除A、D;当x∈ 时,OM=cosx,设点M到直线OP的距离为d,则 =sinx,即d=OMsinx=sinxcosx, ∴f(x)=sinxcosx= sin2x≤ ,排除B,故选C. 答案: C 3.(2014·高考辽宁卷)已知f(x)为偶函数,当x≥0时,f(x)= 则不等式f(x-1)≤ 的解集为( ) A. ∪ B. ∪ C. ∪ D. ∪ 解析: 作出y=f(x)与y= 的图象,如图,由图易知f(x)≤ 的解集为 ∪ , ∴f(x-1)≤ 的解集为 ∪ ,故选A. 答案: A 4.(2015·高考安徽卷)函数f(x)= 的图象如图所示,则下列结论成立的是( ) A.a>0,b>0,c<0B.a<0,b>0,c>0 C.a<0,b>0,c<0D.a<0,b<0,c<0 解析: ∵f(x)= 的图象与x,y轴分别交于N,M,且点M的纵坐标与点N的横坐标均为正,∴x=- >0,y= >0,故a<0,b>0,又函数图象间断点的横坐标为正,∴-c>0,故c<0,故选C. 答案: C 5.(2014·高考湖北卷)如图所示,函数y=f(x)的图象由两条射线和三条线段组成. 若∀x∈R,f(x)>f(x-1),则正实数a的取值范围为________. 解析: ∀x∈R,f(x)>f(x-1). 由题图易知a>0,且6a<1, ∴0<a< . 答案:
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