版高中数学苏教版必修一学案221 函数的单调性一.docx
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版高中数学苏教版必修一学案221函数的单调性一
2.2.1 函数的单调性
(一)
学习目标
1.理解函数单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间,判断单调性.3.会用定义证明函数的单调性.
知识点一 函数的单调性
思考 画出函数f(x)=x、f(x)=x2的图象,并指出f(x)=x、f(x)=x2的图象的升降情况如何?
梳理 一般地,单调性是相对于区间来说的,函数图象在某区间上上升,则函数在该区间上为单调增函数,该区间称为单调增区间.反之则为单调减函数,相应区间称为单调减区间.因为很多时候我们不知道函数图象是什么样的,而且用上升下降来刻画单调性很粗糙.所以有以下定义:
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I⊆A.
(1)如果对于区间I内的任意两个值x1,x2,当x1 (2)如果对于区间I内的任意两个值x1,x2,当x1 单调增区间和单调减区间统称为单调区间. 知识点二 函数的单调区间 思考 我们已经知道f(x)=x2的单调减区间为(-∞,0],f(x)= 的单调减区间为(-∞,0),这两个单调减区间的书写形式能不能交换? 梳理 一般地,有下列常识 (1)函数单调性关注的是整个区间上的性质,单独一点不存在单调性问题,所以单调区间的端点若属于定义域,则该点处区间可开可闭,若区间端点不属于定义域则只能开. (2)单调区间D⊆定义域I. (3)遵循最简原则,单调区间应尽可能大. 类型一 求单调区间并判断单调性 例1 如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是单调增函数还是单调减函数? 反思与感悟 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,单调区间是定义域的子集;当函数出现两个以上单调区间时,单调区间之间可用“,”分开,不能用“∪”,可以用“和”来表示;在单调区间D上函数要么是单调增函数,要么是单调减函数,不能二者兼有. 跟踪训练1 写出函数y=|x2-2x-3|的单调区间,并指出单调性. 类型二 证明单调性 命题角度1 证明具体函数的单调性 例2 证明f(x)= 在其定义域上是单调增函数. 反思与感悟 运用定义判断或证明函数的单调性时,应在函数的定义域内给定的区间上任意取x1,x2且x1 取值→作差→变形→定号→小结. 跟踪训练2 求证: 函数f(x)=x+ 在[1,+∞)上是单调增函数. 命题角度2 证明抽象函数的单调性 例3 已知函数f(x)对任意的实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且当x>0时,f(x)>1.求证: 函数f(x)在R上是单调增函数. 反思与感悟 因为抽象函数不知道解析式,所以不能代入求f(x1)-f(x2),但可以借助题目提供的函数性质来确定f(x1)-f(x2)的大小,这时就需要根据解题需要对抽象函数进行赋值. 跟踪训练3 已知函数f(x)的定义域是R,对于任意实数m,n,恒有f(m+n)=f(m)·f(n),且当x>0时,0 f(x)在R上是单调减函数. 类型三 单调性的应用 命题角度1 利用单调性求参数范围 例4 若函数f(x)= 是定义在R上的单调减函数,则a的取值范围为________. 反思与感悟 分段函数在定义域上单调,除了要保证各段上单调外,还要保证在接口处不能反超.另外,函数在单调区间上的图象不一定是连续不断的. 跟踪训练4 已知函数f(x)=x2-2ax-3在区间[1,2]上单调,则实数a的取值范围为________________. 命题角度2 用单调性解不等式 例5 已知y=f(x)在定义域(-1,1)上是单调减函数,且f(1-a) 反思与感悟 若已知函数f(x)的单调性,则由x1,x2的大小,可得f(x1),f(x2)的大小;由f(x1),f(x2)的大小,可得x1,x2的大小. 跟踪训练5 在例5中若函数y=f(x)的定义域为R,且为单调增函数,f(1-a) 1.函数y=f(x)在区间[-2,2]上的图象如图所示,则此函数的单调增区间是________. 2.函数y= 的单调减区间是________. 3.在下列函数f(x)中,满足对任意x1,x2∈(0,+∞),当x1 ①f(x)=x2;②f(x)= ;③f(x)=|x|; ④f(x)=2x+1. 4.给出下列说法: ①若定义在R上的函数f(x)满足f(3)>f (2),则函数f(x)在R上为单调增函数; ②若定义在R上的函数f(x)满足f(3)>f (2),则函数f(x)在R上不可能为单调减函数; ③函数f(x)=- 在(-∞,0)∪(0,+∞)上为单调增函数;④函数f(x)= 在定义域R上为单调增函数. 其中说法正确的是________.(填序号) 5.若函数f(x)在R上是单调减函数,且f(|x|)>f (1),则x的取值范围是________. 1.若f(x)的定义域为D,A⊆D,B⊆D,f(x)在A和B上都为单调减函数,未必有f(x)在A∪B上为单调减函数. 2.对单调增函数的判断,对任意x1 (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0或 >0.对单调减函数的判断,对任意x1 (x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0或 <0. 3.熟悉常见的一些函数的单调性,包括一次函数,二次函数,反比例函数等. 4.若f(x),g(x)都是单调增函数,h(x)是单调减函数,则: ①在定义域的交集(非空)上,f(x)+g(x)为单调增函数,f(x)-h(x)为单调增函数,②-f(x)为单调减函数,③ 为单调减函数(f(x)≠0). 5.对于函数值恒正(或恒负)的函数f(x),证明单调性时,也可以作商 与1比较. 答案精析 问题导学 知识点一 思考 两函数的图象如下: 函数f(x)=x的图象由左到右是上升的;函数f(x)=x2的图象在y轴左侧是下降的,在y轴右侧是上升的. 知识点二 思考 f(x)=x2的单调减区间可以写成(-∞,0),而f(x)= 的单调减区间(-∞,0)不能写成(-∞,0],因为0不属于f(x)= 的定义域. 题型探究 例1 解 y=f(x)的单调区间有[-5,-2],[-2,1],[1,3],[3,5],其中y=f(x)在区间[-5,-2],[1,3]上是单调减函数,在区间[-2,1],[3,5]上是单调增函数. 跟踪训练1 解 先画出f(x)= 的图象,如图. 所以y=|x2-2x-3|的单调区间有(-∞,-1],[-1,1],[1,3],[3,+∞),其中单调减区间是(-∞,-1],[1,3];单调增区间是[-1,1],[3,+∞). 例2 证明 f(x)= 的定义域为[0,+∞). 设x1,x2是定义域[0,+∞)上的任意两个实数,且x1 则f(x1)-f(x2)= - = = . ∵0≤x1 ∴x1-x2<0, + >0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1) ∴f(x)= 在定义域[0,+∞)上是单调增函数. 跟踪训练2 证明 设x1,x2是实数集R上的任意实数,且1≤x1 则f(x1)-f(x2)=x1+ -(x2+ ) =(x1-x2)+( - ) =(x1-x2)+ =(x1-x2)(1- ) =(x1-x2)( ). ∵1≤x1 ∴ >0,故(x1-x2)( )<0, 即f(x1)-f(x2)<0,即f(x1) ∴f(x)=x+ 在区间[1,+∞)上是单调增函数. 例3 证明 方法一 设x1,x2是实数集上的任意两个实数,且x1>x2.令x+y=x1,y=x2,则x=x1-x2>0. f(x1)-f(x2)=f(x+y)-f(y)=f(x)+f(y)-1-f(y)=f(x)-1. ∵x>0,∴f(x)>1,f(x)-1>0, ∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2). ∴函数f(x)在R上是单调增函数. 方法二 设x1>x2,则x1-x2>0, 从而f(x1-x2)>1, 即f(x1-x2)-1>0. f(x1)=f[x2+(x1-x2)] =f(x2)+f(x1-x2)-1>f(x2), 故f(x)在R上是单调增函数. 跟踪训练3 证明 ∵对于任意实数m,n,恒有f(m+n)=f(m)·f(n),令m=1,n=0,可得f (1)=f (1)·f(0), ∵当x>0时,0<f(x)<1,∴f (1)≠0,∴f(0)=1. 令m=x<0,n=-x>0, 则f(m+n)=f(0)=f(-x)·f(x)=1, ∴f(x)f(-x)=1, 又∵-x>0时,0<f(-x)<1, ∴f(x)= >1. ∴对任意实数x,f(x)恒大于0. 设任意x1 ∴0 ∴f(x2)-f(x1) =f[(x2-x1)+x1]-f(x1) =f(x2-x1)f(x1)-f(x1) =f(x1)[f(x2-x1)-1]<0, ∴f(x)在R上是单调减函数. 例4 [ , ) 解析 要使f(x)在R上是单调减函数,需满足: 解得 ≤a< . 跟踪训练4 (-∞,1]∪[2,+∞) 解析 由于二次函数开口向上,故其单调增区间为[a,+∞),单调减区间为(-∞,a],而f(x)在区间[1,2]上单调,所以[1,2]⊆[a,+∞)或[1,2]⊆(-∞,a],即a≤1或a≥2. 例5 解 f(1-a) 解得0 ,
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