小学六年级数学竞赛试题及详细复习资料.docx
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小学六年级数学竞赛试题及详细复习资料
小学六年级数学竞赛试题及详细答案
二、填空题(共40分,每小题5分)
1.在下面的“□”中填上合适的运算符号,使等式成立:
(1□9□9□2)×(1□9□9□2)×(19□9□2)=1992
2.一个等腰梯形有三条边的长分别是55厘米、25厘米、15厘米,并且它的下底是最长的一条边。
那么,这个等腰梯形的周长是__厘米。
3.一排长椅共有90个座位,其中一些座位已经有人就座了。
这时,又来了一个人要坐在这排长椅上,有趣的是,他无论坐在哪个座位上都与已经就座的某个人相邻。
原来至少有__人已经就座。
4.用某自然数a去除1992,得到商是46,余数是r。
_,_。
5.“重阳节”那天,延龄茶社来了25位老人品茶。
他们的年龄恰好是25个连续自然数,两年以后,这25位老人的年龄之和正好是2000。
其中年龄最大的老人今年_岁。
6.学校买来历史、文艺、科普三种图书若干本,每个学生从中任意借两本。
那么,至少个学生中一定有两人所借的图书属于同一种。
7.五名选手在一次数学竞赛中共得404分,每人得分互不相等,并且其中得分最高的选手得90分。
那么得分最少的选手至少得分,至多得分。
(每位选手的得分都是整数)
8.要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管,每锯一次都要损耗1毫米铜管。
那么,只有当锯得的38毫米的铜管为段、90毫米的铜管为_段时,所损耗的铜管才能最少。
三、解答下面的应用题(要写出列式解答过程。
列式时,可以分步列式,可以列综合算式,也可以列方程)(共20分,每小题5分)
1.甲乙两个工程队共同修筑一段长4200米的公路,乙工程队每天比甲工程队多修100米。
现由甲工程队先修3天。
余下的路段由甲、乙两队合修,正好花6天时间修完。
问:
甲、乙两个工程队每天各修路多少米?
2.一个人从县城骑车去乡办厂。
他从县城骑车出发,用30分钟时间行完了一半路程,这时,他加快了速度,每分钟比原来多行50米。
又骑了20分钟后,他从路旁的里程标志牌上知道,必须再骑2千米才能赶到乡办厂,求县城到乡办厂之间的总路程。
3.一个长方体的宽和高相等,并且都等于长的一半(如图12)。
将这个长方体切成12个小长方体,这些小长方体的表面积之和为600平方分米。
求这个大长方体的体积。
4.某装订车间的三个工人要将一批书打包后送往邮局(要求每个包内所
多35本。
第2次他们把剩下的书全部领来了,连同第一次多的零头一起,刚好又打11包。
这批书共有多少本?
四、问答题(共35分)
1.有1992粒钮扣,两人轮流从中取几粒,但每人至少取1粒,最多取4粒,谁取到最后一粒,就算谁输。
问:
保证一定获胜的对策是什么?
(5分)
2.有一块边长24厘米的正方形厚纸,如果在它的四个角各剪去一个小正方形,就可以做成一个无盖的纸盒。
现在要使做成的纸盒容积最大,剪去的小正方形的边长应为几厘米?
(6分)
3.个体铁铺的金师傅加工某种铁皮制品,需要如图13所示的(a)、(b)两种形状的铁皮毛坯。
现有甲、乙两块铁皮下脚料(如图14、图15),图13、图14、图15中的小方格都是边长相等的正方形。
金师傅想从其中选用一块,使选用的铁皮料恰好适合加工成套的这种铁皮制品(“成套”,指(a)、(b)两种铁皮同样多),并且一点材料也不浪费。
问:
(1)金师傅应当从甲、乙两块铁皮下脚料中选哪一块?
(3分)
(2)怎样裁剪所选用的下脚料?
(请在图上画出裁剪的线痕或用阴影表示其中一种形状的毛坯)(5分)
4.只修改21475的某一位数字,就可以使修改后的数能被225整除。
怎样修改?
(6分)
5.
(1)要把9块完全相同的巧克力平均分给4个孩子(每块巧克力最多只能切成两部分),怎么分?
(5分)
(2)如果把上面
(1)中的“4个孩子”改为“7个孩子”,好不好分?
如果好分,怎么分?
如果不好分,为什么?
(5分)
详解与说明
一、计算题
说明:
要想得到简便的算法,必须首先对题中每个数和运算符号作全面、
,马上就应该知道它可以化为3.6;而3.6与36只差一个小数点,于是,又容易想到把“654.3×36”变形为“6543×3.6”,完成了这步,就为正
”采用了同样的手段,这种技巧本报多次作过介绍。
说明:
解这道题可以从不同的角度来观察。
解法一是先观察、比较分子部分每个加数(连乘积)的因数,发现了前后之间的倍数关系,从而把“1×3×24”作为公因数提到前面,分母部分也作了类似的变形。
而解法二,是着眼于整个繁分数,由分子看到分母,发现分子部分的左、中、右三个乘
分子部分括号内三个乘积的和约去了。
本题是根据《数学之友》(7)第2页例5改编的。
3.解法一:
解法二:
说明:
解法一是求等比数列前n项和的一般方法,这种方法本报217期第一版“好伙伴信箱”栏中曾作过介绍。
由于本题中后一个加数总是前一个加数的一半,因而,只要添上一个最小的加数,就能凑成“2倍”,也就是它前面的一个加数,这就不难想到解法二。
二、填空题
1.解:
(1×9×9+2)×(1+9-9+2)×(19-9-2)
=83×3×8
=1992
或(1×9×9+2)×(1×9÷9×2)×(19-9+2)
=83×2×12
=1992
(本题答案不唯一,只要所填的符号能使等式成立,都是正确的)
说明:
在四个数字之间填上三个运算符号,使它们的计算结果为某个已知数,这是选手们熟悉的“算式谜”题。
而这道题却不容易一下子判断括号内的计算结果应该是多少,这就需要把1992分解为三个数连乘积的形式,1992=83×3×2×2×2,因为83、3、2、2、2组成三个乘积为1992的数有多种组合形式,所以填法就不唯一了。
2.解:
55+15+25×2=120(厘米)
说明:
要算周长,需要知道上底、下底、两条腰各是多长。
容易判断:
下底最长,应为55厘米。
关键是判断腰长是多少,如果腰长是15厘米,15×2+25=55,说明上底与两腰长度之和恰好等于下底长,四条边不能围成梯形,所以,腰长只能是25厘米。
读者从本报190期第三版《任意三根小棒都能围成三角形吗》一文中应当受到启发。
3.解:
最少有
说明:
根据题意,可推知这排长椅上已经就座的任意相邻的两人之间都有两个空位。
但仅从这个结果中还不能肯定长椅上共有多少个座位,因为已经就座的人最左边一个(最右边一个)既可以坐在左边(右边)起第一个座位上,也可以坐在左边(右边)起第二个座位上(如图16所排出的两种情况,“●”表示已经就座的人,“○”表示空位)”。
不过,题目中问“至少”有多少人就座,那就应选第二种情况,每三人(○●○)一组,每组中有一人已经就座。
(1)●○○●○○●……
(2)○●○○●○○●○……
图16
4.解法一:
由1992÷46=43……14
立即得知:
43,14
解法二:
根据带余除法的基本关系式,有
1992=46(0≤r<a)
由1992-46a≥0,推知
由1992-46a<a,推知
因为a是自然数,所以43
1992-46×43=14
说明:
本题并不难,因此应尽可能运用简单的方法,迅速地算出答案。
解法一是根据1992÷a的商是46,因而直接用1992÷46得到了a和r。
解法二用的是“估值法”。
5.解法一:
先算出这25位老人今年的岁数之和为
2000-25×2=1950
年龄最大的老人的岁数为
[1950+(1+2+3+4+……+24)]÷25
=2250÷25
=90(岁)
解法二:
两年之后,这25位老人的平均年龄(年龄处于最中间的老人的年龄)为2000÷25=80(岁)
两年后,年龄最大的老人的岁数为80+12=92(岁)
年龄最大的老人今年的岁数为92-2=90(岁)
说明:
解法一采用了“补齐”的手段(详见本报241期第一版《“削平”与“补齐”》一文)。
当然,也可以用“削平”法先求年龄最小的老人的岁数,再加上24。
解法二着眼于25人的平均年龄,先算年龄处于最中间的老人的岁数,算起来更简便些。
6.解:
根据“抽屉原理”,可知至少7个学生中有两人所借图书的种类完全相同。
说明:
本题是抽屉原理的应用。
应用这个原理的关键是制造抽屉。
从历史、文艺、科普三种图书若干本中任意借两本,共有——(史,史)、(文,文)、(科,科)、(史,文)、(史,科)、(文,科)这六种情况,可把它们看作六只“抽屉”,每个学生所借的两本书一定是这六种情况之一。
换句话说,如果把借书的学生看作“苹果”,那么至少7个苹果放入六个抽屉,才能有两个苹果放在同一个抽屉内。
本题是由本报234期“奥林匹克学校”拦的例2改换而成的。
7.解:
得分最低者最少得
404-(90+89+88+87)=50(分)
得分最低者最多得
[404-90-(1+2+3)]÷4=77(分)
说明:
解这道题要考虑两种极端情形:
(1)要使得分最低的选手的得分尽可能地少,在五名选手总分一定的条件下,应该使前四名领先于第五名的分数尽可能多才行。
第一名得分是已知的(90分),这就要求第二、三、四名的得分尽可能靠近90分,而且互不相等,只有第二、三、四名依次得89分、88分、87分时,第五名得分最少。
(2)要使得分最低的选手得分最多,在总分和第一名得分一定的条件下,应当使第二、三、四、五名的得分尽可能接近。
考虑到他们的得分又要互不相等,只有当第二、三、四、五名的得分为四个连续自然数时才能做到,用“削平”的方法可以算出第五名最多得多少分。
本题是根据《数学之友》(7)第46页第13题改编的。
8.解:
设38毫米、90毫米的铜管分别锯X段、Y段,那么,根据题意,有
3890
(1)=1000
39911001
要使损耗最少,就应尽可能多锯90毫米长的铜管,也就是说上面式中的X应尽可能小,Y尽可能大。
由于X、Y都必须是自然数,因而不难推知:
7,8。
即38毫米的铜管锯7段,90毫米的铜管锯8段时,损耗最少。
说明:
选手们读题之后,可以马上想到:
要使损耗最少,应尽可能多锯90毫米长的铜管,但必须符合“两种铜管都有”、“两种铜管长度之和加上损耗部分长度应等于1米”两个条件,这样算起来就不那么简单了。
这种题目,借助等量关系式来进行推理比较方便,不过,列方程时可别忘掉那损耗的1毫米,而且损耗了几个“1毫米”也不能算错,应该是“总段数-1”。
列出方程式之后,还有两点应当讲究:
(1)变形要合理;
(2)要选用简便算法。
如上面解法中,把1001写成7×11×13,39写成3×13,91写成7×13,使分子部分和分母部分可以约分,对于迅速推知最后结果是大有帮助的。
本题是《数学之友》(7)第51页练习六中的原题。
三、应用题
1.解法一:
假设乙工程队每天与甲工程队修的路同样多,那么两队一共修的路就要比4200米少600米,这3600米就相当于甲工程队用15天(15=3+6×2)修完的,列式为
(4200-600)÷(3+6×2)
=3600÷15=240(米)
240+100=340(米)
解法二:
设甲工程队每天修路X米,那么乙工程队每天修路“100”米,根据题意,列方程
36×(100)=4200
解得240
从而100=340(米)
答:
甲工程队每天修路240米,乙工程队每天修路340米。
说明:
“假设”是我们解应用题时经常采用的算
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