振动力学习题集.docx
- 文档编号:29467421
- 上传时间:2023-07-23
- 格式:DOCX
- 页数:53
- 大小:724.33KB
振动力学习题集.docx
《振动力学习题集.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《振动力学习题集.docx(53页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
振动力学习题集
《振动力学》习题集(含答案)
质量为m的质点由长度为I、质量为m的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动,如图所示。
求系统的固有频率。
图
解:
系统的动能为:
1.212
Tmxllx
22
其中I为杆关于铰点的转动惯量:
利用xnX和TU可得:
32mm,g
23mmJ
CA=aWA点系有
图
质量为m半径为R的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动,在两根弹性刚度系数为k的水平弹簧,如图所示。
求系统的固有频率。
利用
12
1
_2
1_22
3f
TIB
mR
mR
mR
2
2
2
4
1,
2.—
22
U2
_k
Ra
kR
a
2
U可得:
4kRa2
3mR2
转动惯量为J的圆盘由三段抗扭刚度分别为k1,k2和k3的轴约束,如图所示。
求系
统的固有频率。
ki
k2
解:
系统的动能为:
R2
k2和k3相当于串联,则有:
k2
k33
以上两式联立可得:
系统的势能为:
k?
k3kik?
k3
答案图
解:
对m进行受力分析可得:
如图可得:
k1k2k3ab2
~222
mk1k2abk3k1ak2b
质量m1在倾角为的光滑斜面上从高h处滑下无反弹碰撞质量m2,如图所示。
确定
系统由此产生的自由振动。
解:
对mi由能量守恒可得(其中Vi的方向为沿斜面向下)
121
mgh2叶《,即V1.2gh
对整个系统由动量守恒可得:
令m2引起的静变形为X2,则有:
得:
则系统的自由振动可表示为:
其中系统的固有频率为:
mim2
注意到Vo与X方向相反,得系统的自由振动为:
质量为m长为I的均质杆和弹簧k及阻尼器c构成振动系统,如图所示。
以杆偏角
为广义坐标,建立系统的动力学方程,给出存在自由振动的条件。
若在弹簧原长处立即释手,问杆的最大振幅是多少?
发生在何时?
最大角速度是多少?
发生在何时?
是否在过静平衡位置时?
mgl
2ka2
面积为S、质量为m的薄板连接于弹簧下端,在粘性流体中振动,如图所示。
作用于薄板的阻尼力为Fd2Sv,2S为薄板总面积,v为速度。
若测得薄板无阻尼自由振动的
解:
平面在液体中上下振动时:
mx2Sxkx0
2
To,
dn;1
22
Td
S2
2s2
n
mn'
k
12
k2S2
k
2k2S2TdT。
1k
2m
ST0Td
图所示系统中,已知me,ki,k2,Fo和。
求系统动力学方程和稳态响应。
/rzr,
k2》巴C2
mx
k2x
X1
k1
「c
心出Ci
Xi
答案图(a)
解:
等价于分别为Xi和X2的响应之和。
先考虑
力为图(b),故:
mx
k1k2xq
mxcx
kxk1Aisin
C1
c2,kk1
(1)的解可参照释义()
,为:
其中:
故
(2)为:
k1A1
Ytk
..1
k)x捲c1x
答案图(b)
X1,此时右端固结,系统等价为图(
C2x
k1x
c1x
a),受
1GA1
1cos
1t
(1)
k2,
k1
k2
m
xt
sin1t1
1s22
tg
C1A11
cos1t
k・22
k.1s2
12s
1s2
2
1
k2
Kk2c1
k1A1sin
1t
22
c21
k2
22
2
1
1m
c1
c21
1
k1
k2
k1
k2
22
22
.k1
k2
m1
c1
c21
2s
K
k1k2
1gA1cos1t1
2222
1c1c21
——k—S亦1t12
k1k2m1GC21
考虑到x2t
2
xt
tgii2jS2
is
tg
的影响,则叠加后的
A,K2
iikik2
Ci
ki
tg
为:
22
Cii
2222miCiC2i
2
im
k2
icii
ki
sin
it
一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动,如图
iciC2i
gkik2fm
T2-i所示。
已知,
k=49N/cm,开始运动时弹簧无伸长,速度为零,求系统的运动规律。
解:
mgsin
kxo,Xo
mgsin
k
tg
1Cii
k
30,m=ikg,
答案图T2-i
i9.8丄
20.1cm
49
49102
70rad/s
xx0cosnt0.1cos70tcm
如图T2-2所示,重物Wi悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡位置,另一重物W2从
高度为h处自由下落到Wi上而无弹跳。
求W2下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。
解:
动量守恒:
故:
xXqcosnt沧sinnt
n
Xqcosnt些sinnt
n
在图所示系统中,已知mki,k2,Fq和,初始时物块静止且两弹簧均为原长。
求物块运动规律。
ki
一Xi
k2
X2
k1x1k2x2
Xi
Xi
m
F0sint
F0sint
mx2
答案图
解:
取坐标轴Xi和X2,对连接点A列平衡方程:
即:
(1)
k1k2x1k2x2F0sint
对m列运动微分方程:
mx2k2x2x1
即:
(2)
mx2k2x2k2x1
由
(1),
(2)消去x1得:
验证系统响应为对初值的响应和零初值下对激励力响应的叠加。
解:
F0cost
xt
x0v0
teotCcos
dt
Dsindt
Acost
1
s222s2'
0x0CAcos
oeotCcosdtDsinotCdsindtDd
0CDdAsin
dt
cos
tg
X0
dt
Vo
i2s
1s2
Acos
Asin
oC
Asin
求出C,D后,代入上面第一个方程即可得。
由一对带偏心质量的等速反向旋转齿轮构成的振动机械安装在弹簧和阻尼器构成的支
承上,如图所示。
当齿轮转动角速度为时,偏心质量惯性力在垂直方向大小为
me2sint。
已知偏心重W=N,偏心距e=15.0cm支承弹簧总刚度系数k=Ncm,
测得垂直方向共振振幅Xm1.07cm,远离共振时垂直振幅趋近常值X。
0.32cm。
求支
解:
图
2
s
22
s
—sint
2
tg
s=1时共振,振幅为:
X1
me
M
—1.07cm
2
(1)
远离共振点时,振幅为:
X2
me
M
0.32cm
(2)
由
(2)
M匹
X2
由
(1)
me1
M2X1
me
meX2
2X1
X2
2X1
0.15
故:
300rmin,
2
X乎冷凭
3.8
3
10m
求图T2-7中系统的固有频率,悬臂梁端点的刚度分别是k1及k3,悬臂梁的质量忽略
不计。
m
ki2和k3为并联(因为ki2的变形等于k3的变形),则:
k123和k4为串联(因为总变形为求和),故:
故:
如图T2-9所示,一质量m连接在一刚性杆上,杆的质量忽略不计,求下列情况系统作垂直振动的固有频率:
(1)振动过程中杆被约束保持水平位置;
解:
(2)杆可以在铅锤平面内微幅转动;
(3)比较上述两种情况中哪种的固有频率较高,并说明理由。
k
[»»
(1)保持水平位置:
(2)微幅转动:
故:
z.
7
g冷m
LIT
xx1x
F1
X2
X1h
k1
h
12
Jmg
h
h
12
1112
k1
1112
1112
mg
k?
1112k[
Jmg
h
11k1
12k2mgk1k2
1112
k1
1112
1112
12
1%
1112k2
2mg
1112k〔k?
l;kil;k2
--2--mg1112k-k?
1-12
2k1k2
112k1
l“2
求图T2-10所示系统的固有频率,刚性杆的质量忽略不计。
解:
答案图T2-10
尸—a]
l
mI
图T2-10
m的位置:
xx2xA
mg
k2
Xa
mglFia,Fi
mgl
a
Xi
mgl
ak1
xia
Xal
XayXi
mgl2a2k|
xx2xA
mg
k2
mgl2a2k1
a2k1
mg
a2k,l2k2
mg
a2Kk2
a2kil2k2
m刚杆质量可忽略,每个弹簧的刚度为
图T2-11所示是一个倒置的摆。
摆球质量为
k
。
2
(1)求倒摆作微幅振动时的固有频率;
(2)摆球质量m为0.9kg时,测得频率fn为Hz,m为1.8kg时,测得频率为Hz,
问摆球质量为多少千克时恰使系统处于不稳定平衡状态?
-ml22
2
2
kamgl
图T2-17所示的系统中,四个弹簧均未受力,k1=k2=k3=k4=k,试问:
(1)若将支承缓慢撤去,质量块将下落多少距离?
(2)若将支承突然撤去,质量块又将下落多少距离?
图T2-17
k2
J
k3
m
I
解:
k123
k1k?
3
2k
3
k23
k1234
k123k4
丄k
2
k123k4
2mg
k
Xmax2x0
4mgk
(1)mgk1234x0,x0
(2)xtx0cosnt,
k?
3k?
k32k
如图T2-19所示,质量为m的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动,鼓轮绕轴的
转动惯量为I,忽略绳子的弹性、质量及各轴承间的摩擦力,求此系统的固有频率。
图T2-19
系统动能为:
根据:
T1m1x2
2
mi
1mex
2
il
2
R2
3
m2
2
12
m2x
2
2k2謂
2R2
fkeX2
k2
Ri
x
R2
x2
nxmax
mi
12
m2r
2
如图T2-20所示,刚性曲臂绕支点的转动惯量为Io,求系统的固有频率。
图T2-20
2io21mia"
m2l
2
■i2-22
I0m^am2l
2
系统动能为:
1kl
2a
2
n
1k1a2k2l2k3b22
k1a2k2l2k3b2
I0ma2mJ2
一长度为I、质量为m的均匀刚性杆铰接于0点并以弹簧和粘性阻尼器支承,如图T2-24
所示。
写出运动微分方程,并求临界阻尼系数和无阻尼固有频率的表达式。
ml
3cl22
22n,
解:
利用动量矩方程,有:
J
kaac
II,J
12ml
3
ml23cl2
3ka2
0
1
3ka2
n\
ml2
图T2-25所示的系统中,刚杆质量不计,写出运动微分方程,并求临界阻尼系数及阻
尼固有频率。
解:
图T2-26所示的系统中,m=1kg,k=144N/m,c=48N?
s/m,l1=l=0.49
n及阻尼
ml2=0.5l,l3=0.25l,不计刚杆质量,求无阻尼固有频率
图T2-26答案图T2-25
解:
受力如答案图T2-26。
对O点取力矩平衡,有:
ml1l1cl3l3kl2l20
ml12cl;kl;0
11
mck0164
6rad/s
36
m
2n
c
1
0.25
16m
2n
n
两质量均为m的质点系于具有张力F的弦上,如图所示。
忽略振动过程中弦张力的变化写出柔度矩阵,建立频率方程。
求系统的固有频率和模态,并计算主质量、主刚度、简正模态,确定主坐标和简正坐标。
答案图
(1)
解:
sinj1-,sin2
y2y-,sin
y2
T
根据m-和mi?
的自由体动力平衡关系,有:
m1y1Fsin1Fsin2
m2y2Fsin2Fsin3
故:
m-0y-
0m2y2
l
Fy2
y-
l
F
7y2
2y-
Fy2
l
y-
F上l
F
Ty-
2y2
F2
1
y-
0
l-
2
y2
当m-=m2时,令:
y-Y-sint,y2Y2sint,
2ml
F
代入矩阵方程,有:
-Y-
F
ml
根据2丫丫20得:
-,23
F3Fml2ml
第一振型
第二振型
答案图
(2)
多自由度振动系统质量矩阵M和刚度矩阵K均为正定。
对于模态Xj和Xj及自然数n证明:
XiTMK1MXj0,XiTKM1KXj0
解:
21
KXj2jMXj,等号两边左乘KM1
KM1KXjj2KM1MXj2jKXj,等号两边左乘XiT
T12T
xTKM1Kxj2xTKxj0,当ij时
重复两次:
KM1Kxj2jKxj,等号两边再左乘KM1
1121T
KM1KM1Kxjj2KM1Kxj,等号两边左乘xiT
T122T1
xiTKM12Kxjj2xiTKM1Kxj0,当ij时
重复n次得到:
T1n
xiTKM1nKxj0
21Kxj2jMxj,等号两边左乘MK1
MK1Kxj2jMK1Mxj
故:
Mxj
j2MK1Mxj,
等号两边左乘xiT
xiTMxj
2T1
2jxiTMK1M
xj0,当ij时
即xiTMxj0,
当ij时
重复运算:
MK1Mxj2jMK12Mxj
T12T12
xTMK1Mxj2xTMk1Mxj0,当ij时
重复n次。
解:
先求刚度矩阵。
令
得:
k11
k2a
k21
k2a
得:
k12
k2a
k2
则刚度矩阵为:
K
再求质量矩阵。
令
1,x
0,得
12
01
3吩,
m21
令
0,x
1,得
mi12
0,m22
m2
则质量矩阵为:
故频率方程为:
m2
k1b2
Kb2
k2a
k2a2k2a
1
m^a
3
2M
图T4-11
a
k2a
k12
答案图T4-11
(2)
k21
质量m长I、抗弯刚度El的均匀悬臂梁基频为(El/ml3)1/2,在梁自由端放置集
中质量m。
用邓克利法计算横向振动的基频。
解:
6.088EI
l3m12.355ml
不计质量的梁上有三个集中质量,如图所示。
用邓克利法计算横向振动的基频。
mm3m
1/
1/
1/
1/
4
4
4
4
解:
当系统中三个集中质量分别单独存在时:
在图所示系统中,已知m和k。
用瑞利法计算系统的基频。
0.461
Vm
两端边界条件为:
固定端:
X0R
,自由端:
1
S2X
XiR
SiXoR
由自由端边界条件得频率方程:
1
2J1
11
kk
2J2J
1—
2kk
11
2Jk
2
2J
k
2J
2J
2J
1
1
2k
2k
k
1
0k
2J
2k
2k
0.765
1.848
代入各单元状态变量的第-「兀素,
即:
得到模态:
(1)1
1.414
(2)
11.414T
在图所示系统中,已知Gb(i=1,2)
li(i=1,2)
和Ji(i=1,2)
用传递矩阵法计算系统的固有频率和模态。
J1
两自由端的边界条件为:
X1L
X2S2X1.5
其中:
k1
X1'
RPL
X1S1X1
X1;
J2
k2
2J2
k2
Glp1
"V,
Glp2
o
12
由自由端边界条件得频率方程:
J』
k1
4J』
k2
2J1
J2
代入各单元状态变量的第
元素,即:
得到模态:
(1)1
1T
10
2J11
J1
k1
1
1
J1
J1
k1
J1
在图所示系统中悬臂梁质量不计,频率。
(0
弓I入无量纲量:
J
k1
2J1
1
k1
EI
y》,m処,Fs
IEl
4JJ2
k1
2J1
k2
2J1
k1
J1J2
k2
2J1
k2
J1
I
Glp11p2J1J2
;J1J21p1I21p2I1
2J2
EI已知。
用传递矩阵法计算系统的固有
Fsl2
EI
(1
■'m
ml32
EI
定义无量纲的状态变量:
MFs
边界条件:
左端固结:
x(R
0MFs,右端自由:
xr
00T
根据传递矩阵法,有:
X1R
S1PsFx0
其中点传递矩阵和场传递矩阵分别为:
得:
S1P
1
6
1
2
1
1Fs
利用此齐次线性代数方程的非零解条件导出本征方程:
3EI
在图所示系统中梁质量不计,
mI和EI已知,支承弹簧刚度系数k=6EI/I3。
用传递矩阵法计算系统的固有频率。
解:
图
引入无量纲量:
y—yy,M
定义无量纲的状态变量:
X
边界条件:
左端铰支:
x(R0
Ml
FSI2
ml32
Fs—,
El
El
El
y
MFsT
TR
0Fs,右端自由:
XiRy
根据传递矩阵法,有:
1
1
1-
1
1
F
2
6
6'
X0.5sfX"0
1
1
1
2
x.
2'
0
0
1
1
Fs
0
0
0
1
Fs
1
在支承弹簧处:
X;5^F;
T
1
Fs
Fs
Fs
62
R
0.5
RR
X1S1X0.5
解:
模态函数的一般形式为:
题设边界条件为:
边界条件可化作:
13EI
21.ml
m
p
k
-A/VW—
ES
图
cx
C2cos——
a
ESl
导出C2=0及频率方程:
一端连接抗扭刚度为k的弹簧,如图所示。
求系统扭振的频率方程。
图
解:
模态函数的一般形式为:
C2cos
题设边界条件为:
GI
0,t
t2
GIp
kl,t
边界条件可化作:
GIp0J20,GIplkl
以上两式联立消去C和C2得频率方程:
长为I、单位长度质量为pi的弦左端固定,右端连接在一质量弹簧系统的物块上,如图所示。
物块质量为m弹簧刚度系数为k,静平衡位置在y=0处。
弦线微幅振动,弦内张力F保持不变,求弦横向振动的频率方程。
图
解:
模态函数的一般形式为:
x
Gsin
xa
x
C2cos
a
题设边界条件为:
y0,t0,f
yi,t
2yi,t
m2
kyl,t
x
t
边界条件可化作:
00,
FI
m2Ik
I
导出G=0及频率方程:
tan
F
2
1
,其中a
F
aa
m
k
V
I
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 振动 力学 习题集