小学数学 鸽巢问题教学设计学情分析教材分析课后反思.docx

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小学数学鸽巢问题教学设计学情分析教材分析课后反思

《数学广角——鸽巢问题》教学设计

教学目标：

1.1知识与技能

1.初步了解“抽屉原理”，会运用“抽屉原理”解决简单的实际问题或解释相关的现象。

2.通过操作、观察、比较、推理等数学活动，引导学生理解并掌握这一类“抽屉原理”的一般规律。

1.2过程与方法

在探究“抽屉原理”的过程中”，经历将具体数学问题数学化的过程，培养学生解决问题的能力。

1.3情感态度与价值观

通过对“抽屉原理”的灵活运用，感受数学的魅力，体会数学的价值，提高学生解决问题的能力和兴趣。

教学重点：

经历“抽屉原理”的探究过程，理解“抽屉原理”，灵活运用该原理解决生活中的简单问题。

教学难点：

理解“总有”、“至少”，构建“抽屉原理”的数学模型，并能解决一些简单的问题。

教学准备：

与《鸽巢问题》相关的多媒体课件，笔，笔筒，一副扑克牌。

教学过程：

一:

创设情境，引入新课

谈话引入：

上课最初，老师想问问你们喜不喜欢魔术？

今天我给大家表演一个魔术。

这还需要同学们的配合。

向学生介绍：

这是一副扑克牌，取出大、小王，还剩52张，（请学生任意抽取5张牌），好，见证奇迹的时刻到了，这5张牌至少有2张牌的花色是一样的。

（学生打开牌让大家看）

引导：

老师为什么能作出准确的判断呢？

因为这个有趣的魔术蕴含一个数学问题：

鸽巢问题。

今天我们就一起来研究这一类问题。

（板书：

鸽巢问题）

（设计意图：

魔术表演是学生喜欢的，创设魔术表演的情境，抓住学生好奇的心理，激发学生的兴趣，唤起学生的主体意识，为学生自主探索、发现问题、解决问题营造氛围）

二：

自主探究，构建模型

教学例1，初步感知

师：

我们先从简单的例子入手，如果把4支笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒至少有2支笔。

师追问：

“总有”是什么意思？

生：

一定有。

师：

“至少”什么意思？

生：

最少，也有可能多。

教师引导：

“总有一个笔筒至少放2支笔”这句话怎么理解？

生：

一定有一个笔筒最少放2支，也有可能多。

师：

“总有一个笔筒至少放2支笔”这句话对吗？

我们得需要验证，请同学们拿出学具笔筒和笔，把4支笔放进3个笔筒里面有几种摆法，不考虑笔筒的顺序，下面以小组为单位摆一摆、想一想、议一议有几种摆法。

学生活动，教师巡视指导。

师：

哪组同学把你们的方法分享给大家？

一组同学上前汇报，一名学生演示摆的过程，一名学生解说

生：

第一种摆法：

可以先把4支笔都放在第一个笔筒里面，其他两个笔筒空着；第二种摆法：

第一个笔筒放3支笔，第二个放1支笔，第三个笔筒空着；第三种摆法是第一个笔筒放2支笔，第二个笔筒也放2支笔，第三个笔筒空着；第四种摆法：

第一个笔筒放2支，第二个笔筒放1支，第三个笔筒也放1支。

师:

你们还有不同的摆法吗？

稍微停顿

师：

看来你们的想法都真棒。

教师通过课件利用数的分解方式有序的把所有的可能罗列出来。

师：

你们观察一下老师的表示与你们有什么不同？

生：

按照一定的顺序。

师：

有序的思考可以避免重复和遗漏。

请同学们仔细观察、分析每一种方法，对照老师的猜测：

“总有一个笔筒里至少放两个小球”这个猜测对不对呢？

小组内讨论一下

生：

第一种方法有一个笔筒里放4个，大于2，符合至少2个；

第二种方法有一个笔筒里放3个，也大于2，符合至少2个；

第三种方法有一个笔筒里放2个，符合至少2个；

第四种方法有一个笔筒里放2个，符合至少2个。

所以“总有一个笔筒里至少放两支笔”这个猜测是正确的。

师：

说的有理有据，谁愿意再来说一遍。

（再找一名学生解释）

师：

这两位同学关注的都是每种方法中放的最多的抽屉，分别放了几支笔？

生：

4支，3支，2支，2支。

师：

最少几支？

生：

2支

师：

最少2支，有的超过了2支，我们就说至少2支。

刚才同学们在研究的时候，采用了一一列举的方法,（板书：

列举法），列举法是我们研究问题时常用的方法，它非常直观。

除了列举法还能有什么方法证明老师的猜测是正确的呢？

生1：

把笔分散放，每个笔筒里先放一支笔，剩下的一支笔放在其中任意一个笔筒里，这样总有一个笔筒里至少放了2支笔。

生2：

先把笔平均放，余下的1支笔不管放在哪个笔筒里，一定会出现总有一个笔筒至少放了2支笔。

师：

这位同学说的非常棒，先平均放也就是先平均分，可是为什么要先平均分？

生：

先平均分就能使每个笔筒里的笔分的均匀，再把余下的一支笔任意放在其中一个笔筒里，这样一定会出现“总有一个笔筒里至少放了2支笔”

找同学再来演示一下这个分法的过程。

师：

假设每个笔筒先放一支笔，余下的一支笔可以任意放在其中一个笔筒里，这样就会发现，不管怎么放，总有一个笔筒里至少放2支笔。

这种方法叫假设法（板书：

假设法）它体现了平均分的思想,同学们真聪明，利用列举法和假设法都验证了老师的猜测是正确的，对比这两种方法，哪种方法比较简便？

为什么？

生：

假设法，列举法需要把所有的情况有一一列举出来，假设法只需要研究一种情况，并且可以用算式简明地表示出来。

（设计意图：

让学生通过列举、假设等方法把抽象的数学知识同具体的分析策略结合起来，经历知识发生、发展过程，体验策略多样化。

）

教学例2，构建模型

师：

5只鸽子飞进3个鸽巢里，总有一个鸽巢至少飞进几只？

生1:

我利用画图方法，先让每个鸽巢飞进一只，剩下的两只鸽子分别飞进不同的鸽巢里。

生2:

我利用把笔看成鸽子，笔筒看成鸽巢，通过摆一摆发现，每个笔筒先放一只，剩下的两只分别放到两个不同笔筒里，所以总有一个鸽巢至少飞进2只鸽子。

师：

同学们的想法都非常好，假设没有学具，该怎么办？

生：

可以列式

师：

下面你们尝试列式

学生独立思考，小组讨论，汇报：

生：

5÷3=1......2,至少数：

1+1=2

师：

这个算式里面的每一个数字代表什么含义？

学生讨论，汇报

生：

5代表5只鸽子，3代表3个鸽巢，商1代表每个鸽巢先平均飞进1只鸽子，2代表剩下的两只鸽子，1+1=2里面的第二个加数1代表总有一个鸽巢再多飞进1只鸽子，所以总有一个鸽巢至少飞进2只鸽子。

课件出示：

1、把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有几本书？

把8本书，9本书，12本书呢？

学生依次汇报，课件呈现算式：

7÷3=2……1,至少数2+1=3;

8÷3=2……2,至少数2+1=3;

9÷3=3;至少数：

3

12÷3=4。

至少数：

4

师：

请同学们对比观察这些算式，你有什么发现？

同桌之间讨论一下

生：

当有余数的时候，至少数=商+1；没有余数的时候，至少数=商。

让学生再次感受一下过程，同时课件出示鸽巢原理的由来。

（设计意图：

这个环节抓住假设法的核心思路，用有余数的除法的形式表示，让学生直观地理解如果把笔尽量多的平均分给每个笔筒，看看每个笔筒里能分到多少，余下多少，能保证总有一个笔筒里的数量比平均数多1）

三：

运用模型，解释应用

1.拓展应用

课件出示：

（1）14只鸽子飞进了4个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进几只鸽子？

生：

14÷4=3……2,2+1=3，总有一个鸽笼至少飞进了3只鸽子。

这里的鸽子相当于笔，鸽笼相当于笔筒。

（2）随意找30名同学，他们当中至少有几个人在同一月出生？

（3）有7枚硬币放在4个口袋里，总有一个口袋里至少放几个硬币？

学生独立思考，自主完成。

师：

刚才我们用鸽巢原理解决了一些问题，解决这类问题的关键是找出什么是待分的物体笔，什么是笔筒，鸽巢原理就是解决该类问题的一种方法或者叫模型。

2．揭秘魔术，首尾照应

师：

还记得上课最初老师表演的魔术吗？

你能用今天所学解释一下吗？

生：

5÷4=1……1,1+1=2,所以至少有2张牌是同一花色。

四：

全课小结

通过这节课你学到了什么？

板书设计：

鸽巢问题

列举法

假设法：

平均分

有余数，至少数=商+1

没有余数，至少数=商

《数学广角——鸽巢问题》学情分析

六年级的学生理解能力、学习能力和生活经验已达到能够掌握本章内容的程度。

教材选取的是学生熟悉的，易于理解的生活实例，将具体实际与数学原理结合起来，有助于提高学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

鸽巢问题是学生从未接触过的新知识，因此在例1、例2为学生创设活动情境的基础上，要让学生进行深入观察、大胆尝试、互动交流，主动获取新知。

在这个过程中，教师要耐心细致的引导，重在让学生经历知识的发生、发展和过程，而不是生搬硬套，只求结论，不仅要让学生知其然，更要知其所以然。

《数学广角——鸽巢问题》效果分析

今天所学内容主题是《鸽巢问题》，学生在生活中常常遇到鸽巢问题的实例，但是并没有有意识的利用数学的角度去归类解决。

“兴趣是最好的老师”，本节课我以一个扑克牌的魔术导入，充分激起学生学习的兴趣。

，顺势引出了课题。

这样设计使学生在生动、活泼的数学活动中主动参与、主动实践、主动思考、主动探索、主动创造；使学生的数学知识、数学能力、数学思想、数学情感得到充分的发展，从而达到动智与动情的完美结合，全面提高学生的整体素质。

只有学生主动参与到学习活动中，才是有效的教学。

在教学过程中，鼓励学生充分利用学具操作，如把4支笔放入3个笔筒中，把5支笔放入3个笔筒中，都是让学生自己操作，这为学生提供主动参与的机会，让学生想一想，把抽象的数学知识同具体的实物结合起来，化难为易，化抽象为具体，让学生体验和感悟数学。

通过直观例子，借助实际操作，引导学生探究“鸽巢问题”，初步经历“数学证明“的过程，并有意识的培养学生的“模型思想。

为学生营造宽松自由的学习氛围和学习空间，能让学生自己动脑解决一些实际问题，从而更好的理解鸽巢问题。

在教学过程中能够及时地去发现并认可学生思维中闪光点。

但也有不足之处：

虽然在课堂上强调了本节课重要的几个词“总有”和“至少”，并进行了重要的讲解和理解，但是还是有个别学生没有理解题意，如：

有5只鸽子，要飞进3个鸽巢里，总有一个鸽巢里至少要飞进2只鸽子。

个别学生列式是：

5÷3=1.....2，1+2=3，得出了总有一个鸽巢里至少要飞进3只鸽子的结论。

没有理解“至少”的意思。

让学生直观地理解题意，但是还是有个别学生没有理解。

对于除法的意义，有一部分学生已经忘记，不知道5÷3=1.....2表示的含义是什么，所以又对这一部分知识进行了讲解，所以本节课就少了练习的时间。

这部分内容属于思维训练的内容，有少部分学生学起来困难大，效果差。

在课堂上如何更好地发挥学生的主体性，如何关注学困生的同步发展，我将继续寻找方法。

《数学广角——鸽巢问题》教材分析

鸽巢问题又称抽屉原理，它是组合数学中一个重要原理，这个原理最早是由德国数学家狄利克雷（Dirichlet）提出并运用于解决数论中的问题。

“鸽巢原理”来源于一个基本的数学事实。

在数学问题中，有一类与“存在性”有关的问题，如任意13名学生中，一定存在两名学生生日在同一个月。

在这类问题中，只需要确定某个物体（或某个人）的存在就可以了，并不需要指出是哪个物体（或哪个人），也不需要说明通过什么方式找出来的。

这类问题依据的理论就是“鸽巢问题”，它从原理出发，可以得出很多有趣的结果。

教材通过几个直观的例子，借助实际操作，向学生介绍了“鸽巢问题”。

学生在理解“鸽巢问题”这一数学方法的基础上，对一些简单的实际问题“模型化”，会用“鸽巢问题”解决相关问题，促进学生逻辑推理能力的发展。

教材首先编排了一个给学生表现“魔术”的主题情境，使学生产生探究魔术背后的数学原理的强烈欲望。

例1教材描述“鸽巢问题”的最简单的情况。

着重探讨为什么这样的结论是成立的。

教材呈现了两种思考方法：

第一种方法是用操作的方法，罗列所有的方法，通过完全归纳的方法看到在这四种情况都是满足结论的；还可以是说理的方式，先放3支，在每个笔筒里放1支，这时剩下1支。

剩下的1支不管放入哪一个笔筒中，这时都会有一个笔筒里有2支铅笔。

这种方法比第一种方法更为抽象，更具有一般性。

通过该例题的教学，使学生感知这类问题的基本结构，掌握两种思考的方法──枚举法和假设法，理解问题中关键词语“总有”和“至少”的含义，形成对“抽屉原理”的初步认识。

掌握把m个物体任意分别放进n个空抽屉里（m>n,n是非0自然数），那么一定有一个抽屉中至少放进了2个物体。

例2：

本例描述“鸽巢问题”更为一般的形式，即把多于kn个物体任意放进n个空抽屉（k是整数），那么一定有一个抽屉中至少放进了（k+1）个物体。

实际上，如果设定k=1,这类“鸽巢问题”就变成了例1的形式。

因此，这两类“鸽巢问题”本质是一致的，例1只是例2的一个特例。

在教学中要注意的问题：

第一，要让学生经历数学证明的过程，充分利用学生的生活经验，放手让学生自主思考，先让学生采用自己的方法去证明这种结论的正确性，这就是一种数学证明的思想；第二，要有意识地培养学生的模型思想。

第三，重视实践活动，帮助学生在自主探究中理解原理，将具体的情况推广到一般。

在例1、2中给出具体的问题，让学生在探究的过程中，逐渐找到一般的规律，发展学生的抽象思维能力。

教学重点：

经历“鸽巢问题”的探究过程，理解抽屉原理，灵活运用抽屉原理解决生活中的简单问题。

教学难点：

理解“总有”、“至少”，构建“鸽巢问题”的数学模型，并对一些简单的实际问题加以模型化。

《数学广角——鸽巢问题》评测练习

1.填空题

（1）10只鸽子飞回9个鸽舍，至少有（）只鸽子要飞进同一个鸽舍里。

（2）10只鸽子飞回3个鸽舍里，至少有（）只鸽子要飞进同一个鸽舍里。

（3）121只鸽子飞回20个鸽舍，至少有（）只鸽子要飞进同一个鸽舍里。

2.从电影院中任意找了13名观众，至少有两个人属相相同。

为什么？

2.有4个运动员练习投篮，一共投进了31个球，一定有1个远动员至少投进几个球？

3.实验小学六年级有学生297人，至少有多少人是同一月出生的？

4.将14个气球挂在教室的4面墙上，总有一面墙上至少要挂4个气球。

为什么？

《数学广角—鸽巢问题》课后反思

数学广角的教学是为了丰富学生解决问题的方法和策略，使学生感受到数学的魅力。

本节课我让学生经历探究“鸽巢原理”的过程，初步了解了“鸽巢原理”，并能够应用于实际，学会思考数学问题的方法，培养学生的数学思维。

一、游戏导入，初步感知

兴趣是最好的老师。

所以在本节课我就设计了表演魔术的游戏来导入新课，充分激发学生学习的兴趣，顺势引出了课题。

同时引入本节课的重点“总有”“至少”。

这个游戏虽简单却能真实的反映“鸽巢原理”的本质。

通过小游戏，一下就抓住学生的注意力，有效地调动和激发学生的学习主动性和兴趣，让学生觉得这节课要探究的问题，好玩又有意义。

二、活动中恰当引导，建立模型

例1让学生把4枝铅笔放入3个笔筒中的所有情况通过摆一摆、画一画或写一写等方式都列举出来，运用直观的方式，发现并描述，理解最简单的“鸽巢原理”即“铅笔数比笔筒数多1时，总有一个笔筒里至少有2枝笔”。

在例2的教学时，让学生借助直观操作发现列举法适用于数字较小时，有局限性，而假设法应用范围广，假设把书尽量多的“平均分”到各个抽屉，看每个抽屉能分到多少本书，剩下的书不管放到哪个抽屉里，总有一个抽屉比平均分得的本数多1本，可以用有余数的除法这一数学规律来表示。

大量列举之后，再引导学生总结归纳这一类“鸽巢原理”的一般规律，让学生借助直观操作、观察、表达等方式，让学生经历从不同的角度认识鸽巢原理。

特别是通过学生归纳总结的规律：

到底是“商＋余数”还是“商＋１”，引发学生的思维步步深入，并通过讨论和说理活动，使学生经历了一个初步的“数学证明”的过程，培养了学生的推理能力和初步的逻辑能力。

三、通过练习，解释应用

适当设计形式多样化的练习，可以引起并保持学生的练习兴趣。

如“随意找30名同学，他们至少有（）个人是同一个月生日，30÷12=2……6,2+1=3,所以总有3名同学是同一个月生日。

15只鸽子飞回4个鸽舍中，至少有（）只鸽子飞回同一个鸽舍，为什么？

教会学生用算式来说明理由，简洁明了，因为15÷4=4„„3，4+1=5，所以15只鸽子飞回4个鸽舍，总有5只鸽子飞进同一个鸽笼。

六年级4班由60个同学，总有多少个同学的属相相同？

学校有367个同学，总有各位同学同一天过生日？

练习内容紧密联系生活，让学生体会数学来源于生活。

练习由易到难，层层递进，符合学生的认知规律。

在练习中，学生兴趣盎然，达到了预期的效果。

不足之处是学生的语言表达能力还有待提高。

课堂中，数学语言精简性直接影响着学生对新知识的理解与掌握。

例如，教材中“不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进了几本书？

”对于这句话，学生听起来很拗口，也很难理解；通过思考，我将这句话变成“不管怎么放，至少有几本书放进了同一个抽屉中？

”这样对学生来说，相对显得通俗易懂。

因此，在以后的课堂教学中，我要严谨准确地使用数学语言，发现并灵活掌握各种数学语言所描述的条件及其相互转化，以加深对数学概念的理解和应用，增强提问的指向性、目的性。

《数学广角——鸽巢问题》课标分析

课标要求

《小学数学新课程标准》在“学段目标”的“第二学段”中提出：

“会独立思考，体会一些数学的基本思想”“在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力，能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果”“经历与他人合作交流解决问题的过程，尝试解释自己的思考过程”。

《小学数学新课程标准》在“课程内容”的“第二学段”中提出：

“探索给定情境中隐含的规律或变化趋势”“结合实际情境，体验发现和提出问题、分析和解决问题的过程”“通过应用和反思，进一步理解所用的知识和方法，了解所学知识之间的联系，获得数学活动经验”。

二、课标解读

（一）让学生初步经历“数学证明”的过程

在数学上，一般是用反证法对“抽屉原理”进行严格证明。

在小学阶段，虽然并不需要学生对涉及“抽屉原理”的相关现象给出严格的、形式化的证明，但仍可引导学生用直观的方式对某一具体现象进行“就事论事”式的解释。

结合学生个性化的表达，教师可展示分析解答过程，通过分析逐步消除学生的各种错误认识，让学生形成对这类问题中抽屉的模型结构的初步感知。

在得出答案后，应向学生提出运用“抽屉原理”来思考这个问题的要求，并根据学生学习的具体情况引导学生进行思考。

在此基础上，总结解决问题的一般的思考方法：

把什么看成“抽屉”，“抽屉”有几个，怎么用“抽屉原理”来思考解决问题的方法。

显然，教学的过程就是教师鼓励学生借助学具、实物操作或画草图的方式进行“说理”。

实际上，通过“说理”的方式来理解“抽屉原理”的过程就是一种数学证明的雏形。

通过这样的方式，有助于逐步提高学生的逻辑思维能力，为以后学习较为严密的数学证明做准备。

（二）要有意识地培养学生的“模型思想”

本单元讲的“鸽巢问题”，实际就是一个“抽屉原理”问题。

“抽屉问题”的变式很多，应用更具灵活性。

当我们面对一个具体的问题时，能否将这个具体问题与“抽屉问题”联系起来，能否找到该问题中的具体情境和“抽屉问题”的一般化模型之间的内在关系，能否找出该问题中什么是“待分的东西”，什么是“抽屉”，是能否解决该问题的关键因素。

因此，教师教学时，要引导

学生先判断某个问题是否属于用“抽屉原理”可以解决的范畴，如果可以，再思考如何寻找隐藏在其背后的“抽屉问题”的一般化模型。

这个过程，实际上是学生经历将具体问题“数学化”的过程，是从复杂的现实素材中寻找本质的数学模型的过程。

这样的过程，可有效地发展学生的数学思维能力，尤其可增强学生对“模型思想”的体验，增强运用能力。