完整版初高中数学衔接教材已整理.docx
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第一章数与式
1.1数与式的运算
1.1.1
1.1.2
1.1.3
1.1.4
绝对值乘法公式二次根式分式
1.2分解因式第二章二次方程与二次不等式
2.1一元二次方程
2.1.1根的判别式
2.1.2根与系数的关系
2.2二次函数
2.2.1二次函数y二ax2+bx+c的图像和性质
2.2.2二次函数的三种表达方式
2.2.3二次函数的应用
2.3方程与不等式
2.3.1二元二次方程组的解法
第三章相似形、三角形、圆
3.1相似形
3.1.1平行线分线段成比例定理
3.1.2相似三角形形的性质与判定3.2三角形
3.2.1三角形的五心
3.2.2解三角形:
钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用3.3圆
3.3.1直线与圆、圆与圆的位置关系:
圆幕定理
3.3.2点的轨迹
3.3.3四点共圆的性质与判定
3.3.4直线和圆的方程(选学)
1.1数与式的运算
1.1.1.绝对值
绝对值的代数意义:
正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零.即
a,a0,
|a|0,a0,
a,a0.
绝对值的几何意义:
一个数的绝对值,是数轴上表示它的点到原点的距离.两个数的差的绝对值的几何意义:
|ab表示在数轴上,数a和数b之间的距离.
例1解不等式:
|x1x3>4.
解法一:
由x10,得x1;由x30,得x3;
1若x1,不等式可变为(x1)(x3)4,
即2x4>4,解得XV0,
又xv1,
二xv0;
2若1x2,不等式可变为(x1)(x3)4,
即1>4,
二不存在满足条件的x;
3若x3,不等式可变为(x1)(x3)4,
即2x4>4,解得x>4.
又x>3
二x>4.
综上所述,原不等式的解为
xV0,或x>4.
解法二:
如图1.1-1,x1表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A
之间的距离|RA|,即|RA|=|x-1|;|x-3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的
P丄
C
L
A丄
B
L
D
L
x
0
1
3
4
x
V
|x-3|
|x-1|
图1.1-1
距离|PB|,即|PB|=|x-3|.
所以,不等式x1x3>4的几何意义即为
|RA|+|PB|>4.
由|AB|=2,可知
点P在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点
D(坐标为4)的右侧.
xV0,或x>4.
练
1.
2.
3.
习
填空:
(1)若x
(2)如果|ab选择题:
下
)
(A)
(C)
化简:
5,贝yx=
5,且a
_若x
则b=
4,贝yx=
;若1c
2,则C=
若a若a
|x—5|—|2x—13|(x>5).
1.1.2.乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式:
(1)平方差公式(ab)(ab)a2b2;
(2)完全平方公式(ab)2a22abb2.
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:
b,
b,则ab
(B)
(D)
若ab,贝Sa若ab,则a
解法
:
原式=(x21)(x21)2x2
=(x2
1)(x4
2x
1)
=
6x
1.
解法
*■.
原式=
(x
1)(x2
x
2
1)(x1)(xx1)
=
(x3
1)(x3
1)
=
6x
1.
例2
已知ab
c
4,
ab
bcac4,求a2b2c2的值
解:
2a
.22
bc
(ab
c)2
2(abbcac)8.
练
习
1.
填空:
(1)
12a
1.2
b(
4b
;a)
(
);
9
4
2
3
(2)
(4m
)216m2
4m();
(3)
(a
2bc)2
a2
4b2
c2
().
1).
选择题:
有兴趣的同学可以自己去证明.例1计算:
(x1)(x1)(x2x1)(x2x
(1)
立方和公式
(a
b)(a2abb2)
3a
.3
b;
(2)
立方差公式
(a
b)(a2abb2)
3a
3
b;
(3)
三数和平方公式
(a
bc)2a2b2
2c
2(abbc
(4)
两数和立方公式
(a
b)3a33a2b
3ab2
b3;
(5)
两数差立方公式
(a
b)3a33a2b
3ab2
b3.
ac);
对上面列出的五个公式,
(1)
x2
Imxk
平方式,
(A)m2
(B)-m2
(C)-m2(D)丄m2
4
316
(
(2)不论a,
b为何实
数,a2b22a4b8的值
(
(A)总是正数
(B)总是负数
(C)可以是零
(D)可以是正数也可以是负
数
1.1.3.二次根式
一般地,形如,a(a0)的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如3a「a?
—b2b,.a^b2等是无理式,而.2x2彳x1,x2、2xy,■■a2等是有理式.
1.分母(子)有理化
把分母(子)中的根号化去,叫做分母(子)有理化.为了进行分母(子)有理化,需要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,我们就说这两个代数式互为—有理化因式,例如J2与
.2,3'、a与,-.3.6与方.6,2-.33',2与2.33-2,等等.一般地,ax
与x,a、、xb.y与a、、xby,a、、xb与a、、xb互为有理化因式.
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分母中的根号的过程;而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分子中的根号的过程
在二次根式的化简与运算过程中,二次根式的乘法可参照多项式乘法进行,运算中要运用公式.ab(a0,b0);而对于二次根式的除法,通常先写成分式的形式,然后通过分母有理化进行运算;二次根式的加减法与多项式的加减法类似,应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.
2.二次根式-a2的意义
a,a0,a
a,a0.
例1
将下歹
J式子化为最简一次根式:
(1)
両;
(2)VOb(a
0);
(3)J4x6y(x0).
解:
(1)
^A2b
2顶;
(2)
Ja2b
a7baVb(a0);
(3)
』4x6y
2x^/y2x3TT(x
0).
例2
计算
:
暑
(373).
解法-
.
73(3
3V3
解法二:
解:
=-3(3.3)
(3.3)(3、、3)
=3^33
93
=3(、、31)
6
=.31
2
.3(3、、3)=—
3V3
试比较下列各组数的大小:
(1)..12'.诃禾口、、仃110;
(1)VJ2.111211
1
111011-10
1
=丽
3^31)
_1==
.31(.31)C31)
J2)_6^_
、石)(.12;11)
和2.2—6.
.12,11
(、石*10)(、11”10)
、石;10
又..12、一115^,10,
•••.,12,11v.11.
(2)..2运—庇2屁苗212-46)(242+46)
又4>22,_
•°•号6+4>.6+2习2,
•一2v2、、2—•、6.
.64
化简:
C.3,2)2004(-..3.2)2005
解:
(、、3,2)2004(.3、、2严
=,2)2004(-.3,2)2004(-.3=C3、、2C3
=12004(4
2、2+6
31
1
.1211'
1
11'一10'
2,2+「6’
.2)2004(「3.2)
5化简:
2)=.3、、2.
(1).94*5;
(2)
x2
解:
(1)原式
(2)原式={(x*)
.(5)222-522
1
x
•••0
6已知x
x1,-
丄32
、32
y
1
22(0x1).
x
7(2V5)227
1x,所以,原式=-
x
密茫,求3x25xy3y2的值.
、3<2
解:
「Xy:
3:
;〕2(―2)2do,
3232
Xy.3,2,3.21,
2222
…3x5xy3y3(xy)11xy31011289.
1.
填空:
1
(1)
(2)
(3)
(4)
13
若.、(5x)(x3)2(x3)、、亍,则x的取值范围是4.246,543.962.150
若x巨,则、厂''厂
2
2.
选择题:
.立
3.
4.
(B)
1U,求aa1
比较大小:
2—3;5—4(填
b的值.
(C)
N”.
(D)
0x2
练习
1.1.4.分式
1.分式的意义
形如A的式子,若
B中含有字母,且B0,则称A为分式.当MHO时,分
B
B
式A具有下列性质:
B
AAM
AAM
BBM'
BBM*
上述性质被称为分式的基本性质.
2.繁分式
a
像_^,mnp这样,分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.cd_2m_
nP
例1若空匕A—,求常数A,B的值.
x(x2)xx2
解:
~AB
•_
xx2
.AB5,
2A4,
(1)试证:
A(x2)Bx(AB)x2A5x4
x(x2)
解得
x(x
2)x(x2)
2,B
1.
2.
3.
4.
(1)
(2)
(2)
(3)
证明:
1
n
1
23
证明:
对任意大于
计算:
1
n(n1)
1
12
(其中n是正整数);
1
910'
的正整数n,有二—
2334
1
n(n1)
解:
由
12
(3)证明:
..11
•
nn1
.1
n(n1)
(1)可知
丄L
23
11
2334
1
n(n1),
(其中n是正整数)成立.
n
n(n1)
1
n1
(n1)
1
910
111
-)()1223
1111
—_(―一)(—n(n1)233
1
又n》2且n是正整数,二
.11,11
••LV
2334n(n1)2
且e>1,2c2—5ac+2a2_0,
解:
在2c2—5ac+2a2_0两边同除以a2,得
2呂—5e+2_0,
•(2e—1)(e—2)_0,
1
•e_2v1,舍去;
•-e_2.
或e=2.
一定为正数,
求e的值.
丄
10
9
10
_丄
_2
习
填空题:
选择题:
若
)
(A)
对任意的正整数
2xy
x
正数x,y满足
x2
n,
1
n(n
2)
(丄
n
(B)
2xy,求
5
4
xy
x
的值.
y
(C)4
(D)
计算丄-
99100
习题1.1
A组
1.解不等式:
(1)
(3)
2.已知xy1,
x13;
(2)
x3
x2
7;
x1
x1
6.
3xy的值.
求x3y3
3.
填空:
(1)
(2)
(3)
(2.3)18(2
若,(T
1
.2
a)2
1
(1a)22,
1
?
则a的取值范围是
1
4「5
1.
填空:
(1)a
2.
1.
(2)若
x2
xy
2y2
已知:
x
1
2,y
3a2
2
3a5ab2b
2小
0,则—xyy
x
y_
x.y
ab
2
2
2___
y
」y_的值.
xy
C组
选择题:
(
(A)ab
(B)ab
(C)a
b0
(D)b
a0
(2
)
计
算
a:
等
于
()
(A)<~
(b)■-a
(C)
-
(D)
、、a
2.解方程2(x2丄)
1
3(x-
)10.
x
x
3.计算:
-——-
1
L1.
1324
35
911
4.试证:
对任意的正整数
n,有
1L-
1
1
—<-.
b2一ab、、ba
若
则
)
a
(
)
n(n1)(n2)
234
123
1.2因式分解
因式分解的主要方法有:
十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,另外还应了解求根法及待定系数法.
1.十字相乘法
例1分解因式:
(1)x2-3x+2;
(2)x2+4x—12;
(3)x2(ab)xyaby2;(4)xy1xy.
解:
(1)如图1.1-1,将二次项x2分解成图中的两个x的积,再将常数项2分解成一1与一2的乘积,而图中的对角线上的两个数乘积的和为一3x,就是x2-3x+2中的一次项,所以,有
x2-3x+2=(x-1)(x-2).
图1.1—3
—ay
—by
说明:
今后在分解与本例类似的二次三项式时,可以直接将图1.1-1中
的两个x用1来表示(如图1.1-2所示).
(2)
由图1.1-3,得
x2+4x-12=(x-2)(x+6).
(3)
由图1.1-4,得
22
x(ab)xyaby=(xay)(xby)
x―1
(4)
xy1xy=xy+(x-y)—1
y”1
=(x-1)(y+1)(如图1.1-5所示).
图1.1-5
课堂练习
一、填空题:
1、把下列各式分解因式:
(1)
2x
5x6
。
(2)
2x
5x
6
。
(3)
2x
5x
6
。
(4)
2x
5x
6
。
(5)
x2
a
1xa
。
(6)
2x
11x
18
。
(7)
6x2
7x
2
。
(8)
4m2
12m9
。
(9)
57x6x2
。
(10)12x
2xy6y2
。
2、x24xx3x
3、若x2ax
bx
2x4则a,b
。
二、选择题:
(每小
、题四个答案中只有一个是正确的)
1、在多项式
(1)
x27x6
(2)x24x3(3)x26x
8
⑷
2x
7x10
(5)
x215x44中,有相冋因式的是(
)
A、只有
(1)
(2)
B、只有(3)(4)
C、只有(3)
(5)
D、
(1)和
(2);(3)和(
4);
(3)
和
(5)
2、分解因式
a28a
ib33b2得()
A、a11a
3
B、a11ba3bC、a11ba
3b
D、
a11ba3b
2
3、ab8
ab
20分解因式得()
A、ab10
ab
2
B、a
b
5ab
4
C、ab2
ab
10
D、a
b
4ab
5
4、若多项式
x23xa可分解为x5
x
b,则
a、
b的值是
()
A、a10,b
2
B、a
10,b2
C、a
10,b2
D、a10,b2
5、若x2mx
10
xax
b其中a、
b为整数,
则
m的值为
()
A、3或9
B、
3
C、9
D
、3或
9
三、把下列各式分解因式
1、62pq2
11q
2p3
2、a3
5a2b6ab2
42
4、b2b8
3、2寸4y6
2.提取公因式法
例2
分解因式:
(1)a2b5a5b
(2)x393x23x
解:
(1).a2b5a5b=a(b5)(a1)
(2)
32322
x93x3x=(x3x)(3x9)=x(x3)3(x3)
=(x3)(x23).
或
x393x2
3x=(x33x23x1)8=(x1)38=(x1)323
222
=[(x1)2][(x1)(x1)22]=(x3)(x3)
课堂练习:
一、填空题:
1、多项式6x2y
2
2xy
4xyz中各项的公因式是
2、mxyny
xx
y?
o
3、mxyny
2x
xy2?
c
)
4、mxyzn
yz
xxyz?
o
5、mxyzx
yz
xyz?
o
(
)
3、
3x3
22
6x15x3xx2x5
(
)
4、
nn
xx
1n1,
xx1
(
)
3:
公式法
例3分解因式:
(1)a416
(2)3x2y2xy2
解:
(1)a416=42(a2)2(4a2)(4a2)(4a2)(2a)(2a)
22
(2)3x2yxy=(3x2yxy)(3x2yxy)(4xy)(2x3y)
课堂练习~、a22ab
b2,
a2
b2,
a3
b3的公因式是
1、
、判断题:
42
x
9
9a2
(
25a2
(
2
x
(
a2
(
0.01
8b2
)
16b
)
2
y
)
bc
)
(正确的打上
2
2
x
3
2
3a
0.1
2
4b
2
x
3
3a4b3a
,错误的打上“X”)
-x0.1
3
4b
0.1
5a
4b
5a
4b
五、
1、
把下列各式分解
2n
2、
3x2
3、
4x24x
4、
2x21
4.分组分解法
例4
(1)x2
xy
3y3x
(2)
2x2
2
xyy
4x
5y6.
(2)
2x2
2
xyy
2
4x5y6=2x
(y
4)xy2
5y
6
2
=2x(y4)x(y2)(y
3)=(2xy
2)(x
y
3).
或
2xxyy24x5y6
2
=(2xxy
y2)
(4x
5y)6
=(2xy)(xy)(4x5y)
6
=(2xy2)(xy3).
课堂练习:
用分组分解法分解多项式
(1)x2y2a2
(2)a24ab4b26a12b9
b22ax2by
5.关于x的二次三项式ax2+bx+c(az0的因式分解.若关于x的方程ax2bxc0(a0)的两个实数根是捲、
X2,则二次三项式
ax2bxc(a0)就可分解为a(xxj(xx?
).
例5把下列关于x的二次多项式分解因式:
(1)
x2
2x
1;
(2)
x24xy4y2.
解:
(1)
令
2x
2x
1=0,则解得为
1/2,X21
迈,
・・
2x
2x
1=x(1x
(1^2)
=(x12)(x
1.2).
(2)
令
2x
4xy
4y2=0,则解得x
(22)y,
人(2^2)y,
・・
2x
4xy
4y
2=[x2(1,2)y][x
2(1-.2)y].
练习
1.选择题:
多项式2x2xy
15y的一个因式为
(
(A)2x5y
(B)x3y
(C)x3y
(D)x5y
2.分解因式:
(1)x2+6x+8;
(2)8a3—b3;
(3)x2—2x—1;
(4)4(xy1)y(y2x).
习题1.2
1.分解因式:
(1)a31;
(2)4x413x29;
(3)b2c22ab2ac2bc;
22
(4)3x5xy2yx9y
(2)x22、2x3;
(4)(x22x)27(x22x)12.
abbcca,试判定ABC的形状.
5.
(尝试题)已知abc=1
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