高中教学案22第一章 13 131 函数的单调性与导数 高中数学人教A版选修.docx
- 文档编号:29461726
- 上传时间:2023-07-23
- 格式:DOCX
- 页数:21
- 大小:139.56KB
高中教学案22第一章 13 131 函数的单调性与导数 高中数学人教A版选修.docx
《高中教学案22第一章 13 131 函数的单调性与导数 高中数学人教A版选修.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中教学案22第一章 13 131 函数的单调性与导数 高中数学人教A版选修.docx(21页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
高中教学案22第一章13131函数的单调性与导数高中数学人教A版选修
1.3.1 函数的单调性与导数
预习课本P22~26,思考并完成下列问题
(1)函数的单调性与导数的正负有什么关系?
(2)利用导数判断函数单调性的步骤是什么?
(3)怎样求函数的单调区间?
1.函数的单调性与其导数正负的关系
在某个区间(a,b)内,如果f′(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果f′(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减;如果恒有f′(x)=0,那么函数y=f(x)在这个区间内是常数函数.
[点睛] 对函数的单调性与其导数正负的关系的两点说明
(1)若在某区间上有有限个点使f′(x)=0,在其余的点恒有f′(x)>0,则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似).
(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f′(x)≥0且在(a,b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.
2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系
如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么这个函数在这个范围内变化的快,其图象比较陡峭.即|f′(x)|越大,则函数f(x)的切线的斜率越大,函数f(x)的变化率就越大.
1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0,则函数f(x)在定义域上单调递增.( )
(2)函数在某一点的导数越大,函数在该点处的切线越“陡峭”.( )
(3)函数在某个区间上变化越快,函数在这个区间上导数的绝对值越大.( )
答案:
(1)×
(2)× (3)√
2.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是( )
A.(-∞,2) B.(0,3)
C.(1,4)D.(2,+∞)
答案:
D
3.函数f(x)=2x-sinx在(-∞,+∞)上( )
A.是增函数
B.是减函数
C.在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减
D.在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增
答案:
A
4.函数y=x3+x在(-∞,+∞)上的图象是________(填“上升”或“下降”)的.
答案:
上升
判断或讨论函数的单调性
[典例] 已知函数f(x)=ax3-3x2+1-
,讨论函数f(x)的单调性.
[解] 由题设知a≠0.
f′(x)=3ax2-6x=3ax
,
令f′(x)=0,得x1=0,x2=
.
当a>0时,若x∈(-∞,0),则f′(x)>0.
∴f(x)在区间(-∞,0)上为增函数.
若x∈
,则f′(x)<0,
∴f(x)在区间
上为减函数.
若x∈
,则f′(x)>0,
∴f(x)在区间
上是增函数.
当a<0时,若x∈
,则f′(x)<0.
∴f(x)在
上是减函数.
若x∈
,则f′(x)>0.
∴f(x)在区间
上为增函数.
若x∈(0,+∞),则f′(x)<0.
∴f(x)在区间(0,+∞)上为减函数.
利用导数证明或判断函数单调性的思路
[活学活用]
判断函数y=ax3-1(a∈R)在(-∞,+∞)上的单调性.
解:
∵y′=(ax3-1)′=3ax2.
①当a>0时,y′≥0,函数在R上单调递增;
②当a<0时,y′≤0,函数在R上单调递减;
③当a=0时,y′=0,函数在R上不具备单调性.
求函数的单调区间
[典例] 求下列函数的单调区间:
(1)f(x)=x3-3x+1;
(2)f(x)=x+
(b>0).
[解]
(1)函数f(x)的定义域为R,
f′(x)=3x2-3,令f′(x)>0,则3x2-3>0.
即3(x+1)(x-1)>0,解得x>1或x<-1.
∴函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞),
令f′(x)<0,则3(x+1)(x-1)<0,解得-1<x<1.
∴函数f(x)的单调递减区间为(-1,1).
(2)函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
f′(x)=
′=1-
,
令f′(x)>0,则
(x+
)(x-
)>0,
∴x>
,或x<-
.
∴函数的单调递增区间为(-∞,-
)和(
,+∞).
令f′(x)<0,则
(x+
)(x-
)<0,
∴-
<x<
,且x≠0.
∴函数的单调递减区间为(-
,0)和(0,
).
(1)利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为:
①确定函数f(x)的定义域;
②求导数f′(x);
③在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0;
④根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.
(2)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,那么这些单调区间不能用“∪”连接,而只能用“逗号”或“和”字隔开.
[活学活用]
1.函数f(x)=2x2-lnx的递增区间是( )
A.
B.
和
C.
D.
和
解析:
选C ∵f(x)=2x2-lnx,
∴f′(x)=4x-
=
=
(x>0),
由f′(x)>0得x>
.
2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx(a、b∈R)的图象过点P(1,2),且在点P处的切线斜率为8.
(1)求a,b的值;
(2)求函数f(x)的单调区间.
解:
(1)∵函数f(x)的图象过点P(1,2),∴f
(1)=2.
∴a+b=1.①
又函数图象在点P处的切线斜率为8,
∴f′
(1)=8,又f′(x)=3x2+2ax+b,
∴2a+b=5.②
解由①②组成的方程组,可得a=4,b=-3.
(2)由
(1)得f′(x)=3x2+8x-3=(3x-1)(x+3),
令f′(x)>0,可得x<-3或x>
;
令f′(x)<0,可得-3 . ∴函数f(x)的单调增区间为(-∞,-3), , 单调减区间为 . 利用导数求参数的取值范围 [典例] 若函数f(x)= x3- ax2+(a-1)x+1在区间(1,4)内单调递减,在(6,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围. [解] [法一 直接法] f′(x)=x2-ax+a-1, 令f′(x)=0得x=1或x=a-1. 当a-1≤1,即a≤2时,函数f(x)在(1,+∞)内单调递增,不合题意. 当a-1>1,即a>2时,f(x)在(-∞,1)和(a-1,+∞)上单调递增,在(1,a-1)上单调递减, 由题意知(1,4)⊂(1,a-1)且(6,+∞)⊂(a-1,+∞),所以4≤a-1≤6,即5≤a≤7. 故实数a的取值范围为[5,7]. [法二 数形结合法] 如图所示,f′(x)=(x-1)[x-(a-1)]. ∵在(1,4)内f′(x)≤0, 在(6,+∞)内f′(x)≥0, 且f′(x)=0有一根为1, ∴另一根在[4,6]上. ∴ 即 ∴5≤a≤7. 故实数a的取值范围为[5,7] [法三 转化为不等式的恒成立问题] f′(x)=x2-ax+a-1. 因为f(x)在(1,4)内单调递减,所以f′(x)≤0在(1,4)上恒成立. 即a(x-1)≥x2-1在(1,4)上恒成立,所以a≥x+1,因为2 所以a≤x+1,因为x+1>7,所以a≤7时,f′(x)≥0在(6,+∞)上恒成立.综上知5≤a≤7. 故实数a的取值范围为[5,7]. 1.利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路 (1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题,即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立,利用分离参数或函数性质求解参数范围,然后检验参数取“=”时是否满足题意. (2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0),求出参数的取值范围后,再验证参数取“=”时f(x)是否满足题意. 2.恒成立问题的重要思路 (1)m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max. (2)m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min. [活学活用] 若f(x)= (x∈R)在区间[-1,1]上是增函数,则a∈________. 解析: f′(x)=2· , ∵f(x)在[-1,1]上是增函数, ∴f′(x)=2· ≥0. ∵(x2+2)2>0, ∴x2-ax-2≤0对x∈[-1,1]恒成立. 令g(x)=x2-ax-2, 则 即 ∴-1≤a≤1. 即a的取值范围是[-1,1]. 答案: [-1,1] 层级一 学业水平达标 1.下列函数中,在(0,+∞)内为增函数的是( ) A.y=sinx B.y=xex C.y=x3-xD.y=lnx-x 解析: 选B B中,y′=(xex)′=ex+xex=ex(x+1)>0在(0,+∞)上恒成立,∴y=xex在(0,+∞)上为增函数.对于A、C、D都存在x>0,使y′<0的情况. 2.若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,则实数m的取值范围是( ) A. B. C. D. 解析: 选C y′=3x2+2x+m,由条件知y′≥0在R上恒成立,∴Δ=4-12m≤0,∴m≥ . 3.函数y=x4-2x2+5的单调递减区间为( ) A.(-∞,-1)和(0,1)B.[-1,0]和[1,+∞) C.[-1,1]D.(-∞,-1]和[1,+∞) 解析: 选A y′=4x3-4x,令y′<0,即4x3-4x<0,解得x<-1或0 4.函数y=xlnx在(0,5)上的单调性是( ) A.单调递增 B.单调递减 C.在 上单调递减,在 上单调递增 D.在 上单调递增,在 上单调递减 解析: 选C 由已知得函数的定义域为(0,+∞). ∵y′=lnx+1,令y′>0,得x> . 令y′<0,得x< . ∴函数y=xlnx在 上单调递减,在 上单调递增. 5.若函数y=a(x3-x)的单调减区间为 ,则a的取值范围是( ) A.(0,+∞)B.(-1,0) C.(1,+∞)D.(0,1) 解析: 选A y′=a(3x2-1)=3a . 当- <x< 时, <0, 要使y=a(x3-x)在 上单调递减, 只需y′<0,即a>0. 6.函数f(x)=cosx+ x的单调递增区间是________. 解析: 因为f′(x)=-sinx+ >0,所以f(x)在R上为增函数. 答案: (-∞,+∞) 7.若函数y= ax3- ax2-2ax(a≠0)在[-1,2]上为增函数,则a∈________. 解析: y′=ax2-ax-2a=a(x+1)(x-2)>0, ∵当x∈(-1,2)时,(x+1)(x-2)<0,∴a<0. 答案: (-∞,0) 8.若函数y=- x3+ax有三个单调区间,则a的取值范围是 . 解析: ∵y′=-4x2+a,且y有三个单调区间, ∴方程y′=-4x2+a=0有两个不等的实根, ∴Δ=02-4×(-4)×a>0,∴a>0. 答案: (0,+∞) 9.已知函数f(x)= x3+ax2+bx,且f′(-1)=-4,f′ (1)=0. (1)求a和b; (2)试确定函数f(x)的单调区间. 解: (1)∵f(x)= x3+ax2+bx, ∴f′(x)=x2+2ax+b, 由 得 解得a=1,b=-3. (2)由 (1)得f(x)= x3+x2-3x. f′(x)=x2+2x-3=(x-1)(x+3). 由f′(x)>0得x>1或x<-3; 由f′(x)<0得-3 ∴f(x)的单调递增区间为(-∞,-3),(1,+∞),单调递减区间为(-3,1). 10.已知a≥0,函数f(x)=(x2-2ax)ex.设f(x)在区间[-1,1]上是单调函数,求a的取值范围. 解: f′(x)=(2x-2a)ex+(x2-2ax)ex =ex[x2+2(1-a)x-2a]. 令f′(x)=0,即x2+2(1-a)x-2a=0. 解得x1=a-1- ,x2=a-1+ , 令f′(x)>0,得x>x2或x<x1, 令f′(x)<0,得x1<x<x2. ∵a≥0,∴x1<-1,x2≥0. 由此可得f(x)在[-1,1]上是单调函数的充要条件为x2≥1,即a-1+ ≥1,解得a≥ . 故所求a的取值范围为 . 层级二 应试能力达标 1.已知函数f(x)= +lnx,则有( ) A.f (2) (2) C.f(3) (2)D.f(e) (2) 解析: 选A 在(0,+∞)内,f′(x)= + >0,所以f(x)在(0,+∞)内是增函数,所以有f (2) 2.设f′(x)是函数f(x)的导函数,y=f′(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象最有可能的是( ) 解析: 选C 由f′(x)的图象知,x∈(-∞,0)时,f′(x)>0,f(x)为增函数,x∈(0,2)时,f′(x)<0,f(x)为减函数,x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数.只有C符合题意,故选C. 3.(全国Ⅱ卷)若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)内单调递增,则k的取值范围是( ) A.(-∞,-2]B.(-∞,-1] C.[2,+∞)D.[1,+∞) 解析: 选D 因为f(x)=kx-lnx,所以f′(x)=k- .因为f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,所以当x>1时,f′(x)=k- ≥0恒成立,即k≥ 在区间(1,+∞)上恒成立.因为x>1,所以0< <1,所以k≥1.故选D. 4.设函数F(x)= 是定义在R上的函数,其中f(x)的导函数f′(x)满足f′(x) A.f (2)>e2f(0),f(2016)>e2016f(0) B.f (2) C.f (2) D.f (2)>e2f(0),f(2016) 解析: 选C ∵函数F(x)= 的导数F′(x)= = <0, ∴函数F(x)= 是定义在R上的减函数, ∴F (2) < ,故有f (2) 同理可得f(2016) 5.已知函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为____________. 解析: 设g(x)=f(x)-2x-4,则g′(x)=f′(x)-2. ∵对任意x∈R,f′(x)>2,∴g′(x)>0.∴g(x)在R上为增函数.又g(-1)=f(-1)+2-4=0,∴x>-1时,g(x)>0. ∴由f(x)>2x+4,得x>-1. 答案: (-1,+∞) 6.若f(x)=- x2+bln(x+2)在(-1,+∞)上是减函数,则b的取值范围是_____________. 解析: ∵f(x)在(-1,+∞)上为减函数, ∴f′(x)≤0在(-1,+∞)上恒成立, ∵f′(x)=-x+ ,∴-x+ ≤0, ∵b≤x(x+2)在(-1,+∞)上恒成立, g(x)=x(x+2)=(x+1)2-1, ∴g(x)min=-1,∴b≤-1. 答案: (-∞,-1] 7.已知x>0,证明不等式ln(1+x)>x- x2成立. 证明: 设f(x)=ln(1+x)-x+ x2, 其定义域为(-1,+∞),则f′(x)= -1+x= . 当x>-1时,f′(x)>0, 则f(x)在(-1,+∞)内是增函数. ∴当x>0时,f(x)>f(0)=0. ∴当x>0时,不等式ln(1+x)>x- x2成立. 8.已知函数f(x)=x3-ax-1. (1)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减? 若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由. (2)证明: f(x)=x3-ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方. 解: (1)已知函数f(x)=x3-ax-1, ∴f′(x)=3x2-a, 由题意知3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立, ∴a≥3x2在x∈(-1,1)上恒成立. 但当x∈(-1,1)时,0<3x2<3,∴a≥3, 即当a≥3时,f(x)在(-1,1)上单调递减. (2)证明: 取x=-1,得f(-1)=a-2<a, 即存在点(-1,a-2)在f(x)=x3-ax-1的图象上,且在直线y=a的下方. 即f(x)的图象不可能总在直线y=a的上方.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高中教学案22第一章 13 131 函数的单调性与导数 高中数学人教A版选修 高中 教学 22 第一章 函数 调性 导数 学人 选修