静电场的解法.docx

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静电场的解法

静电场的解法

第三章静电场的解法第三章静电场的解法静电场问题的类型唯一性定理分离变量法镜像法有限差分法第三章静电场的解法静电场问题的类型分布型问题已知全空间的电荷分布利用电场强度或电位的计算公式直接计算场中各点的电场强度或电位这类问题称为分布型问题对此问题有如下几种解法。

、根据电荷分布利用场源积分式直接求解电场。

、根据电荷分布利用场源积分式直接求解电位再根据计算电场。

、若电荷分布具有某种对称性从而判断场的分布也具有某种对称性时可用高斯定理直接求解电场此法主要是要正确选取高斯面一般高斯面上的场强要保持常量并且方向与所在面的法向相同计算才可化简。

第三章静电场的解法边值型问题已知确定区域中的电荷分布和其边界上的电位或电位函数的法向导数分布求解该区域中电位的分布状况这类问题称为边值型问题或简称为边值问题边值问题根据边界条件给出的形式不同可分为以下三种类型。

第一类边值问题：

给定整个边界上的电位函数求区域中电位分布这类问题又称为狄利克莱问题。

第二类边值问题：

给定整个边界上电位函数的法向导数求区域中电位分布这类问题又称为诺伊曼问题。

第三类边值问题：

一部分边界上的电位给定另一部分边界上的法向导数给定求区域中电位分布这类问题又称为混合型边值问题。

如果边界是导体则上述三类问题分别变为：

已知导体表面的电位已知各导体的总电量已知一部分导体表面上的电位和另一部分导体表面上的电量。

第三章静电场的解法唯一性定理唯一性定理：

满足边界条件的泊松方程或拉普拉斯方程的解必定唯一。

或：

如果给定一个区域中的电荷分布和边界上的全部边界条件则这个区域中的解是唯一的。

格林定理格林定理是由散度定理直接导出的数学恒等式。

将散度定理用于闭合面S所包围的体积V内任一矢量场式中参量是在区域内两个任意的标量函数并要求在边界上一阶连续在区域内二阶连续。

第三章静电场的解法则有格林第一恒等式上述两式相减得格林第二恒等式第三章静电场的解法唯一性定理的证明设φφ是同一无源区域的边值问题的解。

即它们应满足和同时满足边界条件。

因此两个解的差应满足拉普拉斯方程在格林第一恒等式中取对于第一类边值问题φφ应满足相同的边界条件第三章静电场的解法可得式中C为常数由此可知在第一类边值问题中两个解最多相差一常数若应用自然边界条件因为φφ的参考点选在同一位置上则常数C=。

于是证明了φ=φ即该边值问题的解是唯一的。

对于第二类边值问题由于的值在边界上应相同故同样可得：

因此同样两个解相差一常数同样有常数C=。

于是证明了φ=φ即第二类边值问题的解也是唯一的。

第三章静电场的解法对于第三类边值问题证明类似。

对于泊松方程解的唯一性的证明仍然假设有两个解φφ都满足泊松方程和给定的边界条件即因此两个解φφ的差φ′＝φ－φ满足拉普拉斯方程证明方法完全相同。

第三章静电场的解法唯一性定理提出了定解的充分必要条件是关于边值问题的一个重要定理。

它的重要意义在于告诉我们：

如果一个区域中的电荷分布和边界条件都给定则该区域中有解且解是唯一的此解一定满足泊松方程或拉普拉斯方程同时满足边界条件反过来一个函数如果同时满足电位方程和边界条件,则此函数一定是该区域中电位的唯一解。

因此可以自由选择任一种求解电场的方法即使是采用凑的方法或者靠判断猜测出的解只要它满足拉普拉斯方程（或泊松方程）又满足给定的边界条件那么根据唯一性定理这个解就是所要求的解。

第三章静电场的解法分离变量法分离变量法是求解边值问题的一种常用方法此法可以分两步进行第一步根据给定的边界形状选择适当的坐标系并在此坐标系下将待求的电位函数表示成三个一元函数乘积的形式每个函数仅是一个坐标变量的函数将其代入电位的偏微分方程就可通过分离变量将偏微分方程求解转化成三个常微分方程的求解。

第二步根据给定的边界条件确定常微分方程解的形式、分离常数及通解中的待定系数以求得给定问题的唯一解。

本节将分别介绍在直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系中解拉普拉斯方程的分离变量法。

分离变量法要求给定的边界与坐标系的坐标面相合或平行或者至少分段地与坐标面相合或平行这样偏微分方程的解才可表示为坐标系中三个函数的乘积其中每个函数分别仅是一个坐标的函数。

第三章静电场的解法直角坐标系中的分离变量法联立求解可得：

当边界面形状适合选用直角坐标系时则可在直角坐标系中求解电位的拉普拉斯方程：

设所求解区域中的电位函数是可变量分离的则可令待求电位函数为第三章静电场的解法上式中每一项仅是一个坐标变量的函数欲使此式成立必须每项都为常数。

即第三章静电场的解法由上式可知三个待定常数中只有两个是独立的且它们不能全为实数也不能全为虚数如有两个取实数时第三个必取虚数若其中一个为零值剩下的两上必定一个是实数一个是虚数分离常数kxkykz的选取由边界条件决定解的具体形式由分离常数的取值决定。

如：

这样就把偏微分方程分离成了三个常微分方程其中kxkykz称为分离常数都是待定的量三者间关系是第三章静电场的解法注意：

上述线性函数式和双曲函数式都最多只有一个零点而正弦函数式在x方向上有无穷多个零点。

g（y）和h（z）的情况与此类似这样我们就求出了拉普拉斯方程的特解形式φ＝f（x）g（y）h（z）。

然后再将所有可能的特解迭加起来并使其满足边界条件即可确定出该边值问题的真解。

第三章静电场的解法解：

由于电位φ不是xy的函数所以泊松方程为由电荷分布的对称性可知电场在Z=平面上必为零。

所以可得A=因此第三章静电场的解法由于电荷分布关于Z=平面对称所以必定关于平面反对称且只有Z方向的分量即在上底面上在下底面上。

今在以Z=为中心上、下底面积为dS高为Z的高斯面上如图所示有：

在区域内有与由泊松方程所得到的结果相同第三章静电场的解法圆柱坐标系中二维拉普拉斯方程的解上式中第一项仅是r的函数第二项仅是φ的函数要使上式对所有的r、φ值都成立必须每项都等于一个常数如果令第二项为－k则可得：

设在圆柱坐标系中电位分布只是坐标r、φ的函数沿z方向没有变化则电位的拉普拉斯方程为：

第三章静电场的解法φ必须是单值即：

k必须为整数方程的解为将k＝n代入方程得此方程是一个变系数的常微分方程称为欧拉方程。

第三章静电场的解法其解形式为：

对于实际的工程问题φ必须在所求解的区域中是单值的即n≠所以圆柱坐标系中二维场φ的通解为：

当n＝时上述方程的解为：

第三章静电场的解法例在圆柱坐标系中两个φ＝C的平面在Z轴上是绝缘的。

设在平面φ＝α上的电位为V参考零电位在平面φ＝上。

忽略边缘效应求两平面之间的表达式。

解：

由于电位不随r、z变化所以拉普拉斯方程为：

第三章静电场的解法球坐标系中二维拉普拉斯方程的解式中f（r）、g（θ）已分离令其分别等于常数λ和－λ则有：

设球坐标系中电位分布只是r,θ的函数沿φ方向没有变化即场是对称于极轴的在此情况下球坐标中的拉普拉斯方程为：

第三章静电场的解法代入上式可得：

上式为勒让德方程。

球坐标系中θ从→π即X从→－时λ应取为：

Pn（cosθ）称为第一类勒让德函数Qn（cosθ）称为第二类勒让德函数它们随变化的曲线如图所示。

第三章静电场的解法第三章静电场的解法因为θ＝时Q（）→∞所以如果场域中包括θ＝的点则应取Bn=。

故：

第三章静电场的解法其中Pn（cosθ）又称为勒让德多项式记作Pn（x）。

通式为：

第三章静电场的解法另外勒让德多项式还具有正交完备性。

即：

第三章静电场的解法例在均匀外电场中放置一半径为a的介质球球的电介常数为ε球外为空气（介电常数为ε）如图所示计算球内、外电位函数。

解设球坐标系的原点在介质球的球心极轴的方向与外电场方向一致若以球心处为零电位参考点,则外电场可用电位表示若令球内区域电位函数为φ球外区域电位函数为φ因为它们都关于极轴对称与φ坐标无关所以解的形式应与（）式相同。

第三章静电场的解法对于φ根据r=处的自然边界条件可知解中不应该存在的负幂项而球外区域的解φ中可以有的负幂项。

因此φ和φ可分别表示为：

代入无穷远点的边界条件可得：

无穷远点的边界条件为：

r=a球面上的边界条件为：

第三章静电场的解法用Pm（cosθ）sinθ乘上式两边对θ从→π积分根据勒让德多项式的正交性可知只有n=项的系数不为零且A=－E故φ可简化为：

代入r=a界面上的两个边界条件可得第三章静电场的解法因此可得球内外的电位函数球内电场是一个均匀场其电场强度为第三章静电场的解法镜像法根据边值问题解的唯一性只要找到一个函数既满足该问题的微分方程又满足该问题的边界条件则此函数就一定是这一场的解镜像法就是应用唯一性定理来求解场的方法。

镜像法的基本思想为：

将边界对所研究区域中场的影响用一些位于所研究区域外的假想电荷来代替也就是用一些位于所研究区域外的镜像电荷来代替边界条件如果镜像电荷与区域中原电荷分布产生的场在边界上满足所给的边界条件（当然在场域内也满足微分方程）那么所求区域的场即可认为是由原电荷分布与镜像电荷产生的。

镜像法主要适用于一些平面、柱面或球面导体边界问题。

第三章静电场的解法平面导体与点电荷设在无限大导体平面（z=）附近有一点电荷与平面距离为z=h。

若导体平面接地则导体平面电位为零如图所示。

求上半空间中的电场。

分析：

上半空间任一点P处的电位应等于点电荷q和无限大导体平板上感应的负电荷产生的的电位总和。

因此上半空间的电位问题可表示为：

第三章静电场的解法其边界条件可写成：

Z=处φ=由于无限大导体平面上一点电荷q在上半空间的电场分布与无穷大空间中相距为h的两等值异号点电荷的电场完全相同如图所示。

因此无限大导体平面边界可用一个位于（xyz－h）的－q来替代即抽走导体板在与原点电荷q对称的位置上放置一个镜像电荷－q来代替原导体平面上的感应电荷则该镜像电荷在空间中任一点产生的电场与感应电荷产生的电场等效。

若选无穷远处为零电位点则有：

第三章静电场的解法将r和r的表达式代入上式可得：

总感应电荷为：

可以验证电位满足边界条件而此电位显然在点（xyz－h）满足泊松方程在其它的点满足拉普拉斯方程即此电位是此边值问题的唯一解。

导体平面上感应电荷密度为：

第三章静电场的解法角形区域如直角形区域的边界为两个相交成直角的无限大导体平面并接地如图所示在它附近有一点电荷现来计算此直角形空间内的电位分布φ。

用镜像法求解必须在原电荷对OA和OB平面的对称位置分别引入镜像电荷q但这并不能使OA和OB面成为零电位。

分析可知若在原电荷的原点对称位置再引入镜像电荷q则原电荷及这三个镜像电荷共同作用将使得OA和OB面保持电位满足原来的条件因此场中任一点的电位即可认为是由原电荷及这三个镜像所生产电位的迭加。

第三章静电场的解法对于以上的原电荷和镜像电荷从几何关系上不难看出：

它们位于一个同心圆上而且从原电荷开始无论是绕顺时针还是逆时针走向相邻的一对互为镜像的电荷大小相等符号相反并且最终回到原电荷位置如图所示第三章静电场的解法第三章静电场的解法导体球面与球外点电荷例：

设一个半径为a的接地导体球在与球心相距d的P点有一点电荷q如图所示试求导体球外的电位函数。

第三章静电场的解法解：

由静电感应原理可知：

接地导体球上的感应电荷分布对OP轴对称且右边密度大于左边密度则镜像电荷一定位于原电荷与球心的连线OP上设镜像电荷q距球心距离为d另外镜像电荷q与原电荷q产生的场在球面上任一点必须满足电位为零的条件。

若在球面上任选一点P则有：

第三章静电场的解法由此可得：

于是球外任一点的电位为：

若采用球坐标系取原点为球心O点极轴与OP重合那么球外任一点的电位可表示为：

第三章静电场的解法感应电荷与镜像电荷相等球面上感应电荷密度球面上总的感应电荷量为第三章静电场的解法对于线电荷与导体柱面的边值问题如果用镜像法其求解方法与点电荷与导体球面的边值问题的求解方法类似。

如果导体球不接地导体球表面电位不为零但导体球仍为一等位体球面上感应净电荷为零。

为了满足导体球的边界条件只需在球上再加上一个镜像电荷q=－q且此时q必须放在球心处以保持球面仍为等位面如图所示。

此时球面外任一点的电位为第三章静电场的解法当电介质分界面为无穷大平面时如果在其附近放置一点电荷或一线电荷用镜像的点电荷或镜像的线电荷来等效介质分界面上束缚电荷对电位的影响这样原边值问题的电位就等于全空间充满与所求区域相同的介质时原电荷与镜像电荷所产生的电位的迭加。

如图在Z﹤的下半部介电常数为ε上半部为空气距离介质平面h处有一点电荷q求Z﹤和Z﹥的两部分的电位。

电介质分界面的镜像第三章静电场的解法解：

半无穷大的介质放在点电荷q的场中被极化其极化结果为在分界面上出现关于Z轴对称分布的束缚面电荷。

因此空间中的电场为点电荷q的电场与这些束缚面电荷的电场的迭加。

设Z﹥空间中电位函数为φZ﹤空间中的电位函数为φ。

应用镜像思想φ可以视为点电荷q和在q关于分界面Z=的对称位置上的镜像电荷q′在全空间充满空气时产生的电位的迭加。

如图所示。

第三章静电场的解法而对于φ由于等效束缚面电荷的镜像电荷必须在所求区域之外可设此镜像电荷q〞就在点电荷q所在的位置上。

因此φ为点电荷q和镜像电荷q〞在全空间充满介电常数为ε的介质时产生的电位的迭加。

如图所示。

第三章静电场的解法在Z＝的介质分界面上其边界条件为：

当Z﹥时空间任一点M（xyz）的电位为：

当Z﹤时空间任一点M（xyz）的电位为：

第三章静电场的解法总结：

镜像法是用假想的镜像电荷来代替导体上感应电荷或介质分界面上束缚电荷的作用镜像法的关键是根据边界条件确定镜像电荷的位置及大小。

注意：

、镜像电荷不能放在要计算电位的区域内否则所得电位就不会满足原来的电位方程、电位函数必须满足原来的边界条件。

于是在Z﹥的空间中在Z﹤的空间中第三章静电场的解法有限差分法有限差分法：

将求解区域划分为网格将求解区域内的连续分布的场用网格节点上的离散场值来代替将边界上连续分布的边界条件用离散的边界条件值来代替这样我们可将被求解区域中的解微分方程的边值问题用差分方程的迭代求解来代替。

由于有限差分法是通过对被求解区域进行分格实现了连续场的离散化因此有限差分法不仅能用于求解静电场的问题还能求解任意静态场和时变场问题不仅能处理线性问题还能处理非线性问题。

特别要注意的是：

不管被求解区域的边界形状如何复杂只要把网格分得足够的细都可以得到足够精确的解。

第三章静电场的解法即给定二维区域中的电荷分布和电位在边界上的值求区域中各点的电位。

如图所示在边界为C的二维矩形区域内电位的边值问题为：

第三章静电场的解法在节点X=Xh这一点的电位为有限差分法的第一步将场域分成足够多的正方形网格网格线之间的距离为h网格线的交点称为节点。

现我们来讨论个相邻节点上电位之间的关系即节点上与节点、、、上φφφφ电位之间的关系。

设节点的坐标为（xy）由于网格的边长h很小因此在通过节点且平行于轴的直线上的相邻点x的电位值φ（xy）可用二维函数的泰勒公式在节点展开为：

第三章静电场的解法同理当正方形网格分得足够多时网格的边长h可以足够的小则上式中h以上的项都可以忽略上式近似为：

在节点X=X－h这一点的电位为第三章静电场的解法代入可解得节点的泊松方程可以写为这是一个二维区域中一点的泊松方程的有限差分形式它描述了该节点与周围四个节点的电位和该点电荷密度之间的关系。

无源区域ρs＝上式简化为：

这是二维拉普拉斯方程的有限差分形式它描述了无源区域中任意一点的电位等于围绕它的四个点的电位的平均值。

第三章静电场的解法对于给定的区域和电荷分布当用网格将区域划分后对每一个节点我们可以写出一个上述形式的差分方程于是就可以得到一个方程数与未知电位的网点数相等的线性差分方程组。

对于给定的连续边界条件当用网格将区域划分后我们可以给出它在边界节点上的离散值。

余下的问题就是在已知边界节点电位的条件下用迭代法求解区域内各节点上的电位。

方程的个数等于区域内的节点数。

如果区域划分的网格粗即节点少则差分方程组的个数少求解方程组简单需要的时间短但精度低如果区域划分的网格细即节点多则差分方程组的个数也多求解方程组所需的时间较长但精度较高。

第三章静电场的解法这说明：

节点的平均中心差商近似等于该点的偏导数。

h越小近似的精度就越高因此差分方程组解的精度就越高。

另外对于迭代次数的要求可由下面三个条件来定：

、余数都降到大约电位平均值的％、所有余数的代数和与各个余数同数量级、所有余数均匀地混合（关于符号和数值）遍及整个区域。

求解差分方程组选用算法十分重要。

现举例说明。

用有限差分法求解电位的精度主要取决于两个因素一是划分的网格数的多少二是迭代次数的多少。

如果区域划分的网格较细则网格的边长较小。

若将φ式减去φ式并忽略h以上的项可得：

第三章静电场的解法解：

先将区域进行分格用三条水平和垂直的等间距直线将正方形区域划分为个网格个节点。

其中边界节点个内节点个。

边界节点上的电位是已知的而个内节点的电位未知。

由于目的是了解解题方法故分格很粗。

例一个正方形截面的无限长金属盒。

盒子的两侧及底面的电位为零顶部电位为V如图所示。

求盒内的电位分布。

第三章静电场的解法对于每一个未知电位节点可以列出一个迭代方程于是得到个未知电位节点的迭代方程组。

若对个未知电位赋予初值（在计算机程序求解迭代方程时个未知电位的初值通常赋予值）则可通过在计算机上运行一个简单的程序完成求解。

若将各未知节点电位的初值赋予值由题所给定的边界条件可知：

个边界节点中设为第i行第j列节点上的第n次迭代的电位则第三章静电场的解法若要进一步提高精度则必须将区域划分得更细网格数更多。

随之未知电位节点数和方程组的个数也增多这样会导致求解方程组时收敛速度较慢为此我们可以将刚才计算得到的邻近点的电位新值代入即在计算（jk）点的第n次迭代电位时可以将它左边点（jk）和它上面点（jk）的第n次迭代电位作为第n次电位代入上式即此时的迭代关系变为：

当n=时：

第三章静电场的解法上式给出的方法称为松弛法或赛德尔法。

同样如果对各未知节点电位赋零初值由于提前使用了新值使收敛速度加快。

当n=时就可以使电位收敛。