排列一.docx
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排列一
1.2.1 排列
(一)
[学习目标] 1.理解并掌握排列的概念.2.理解并掌握排列数公式,能应用排列知识解决简单的实际问题.
知识点一 排列的定义
一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
思考 同一个排列中,同一个元素能重复出现吗?
答案 由排列的定义知,在同一个排列中不能重复出现同一个元素.
知识点二 排列数的定义及公式
1.排列数的定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号A表示.
2.排列数公式
A=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)(n,m∈N*,m≤n)=.
思考1 用1,2,3这三个数字共可以排成多少个无重复数字的三位数?
123与321是不是相同的排列?
答案 共可以得到6个三位数,123与321是不同的排列,只有两个排列元素相同,顺序也相同时,才是同一个排列.
思考2 排列数公式的特点是什么?
答案 第一个因数是n,后面一个因数比它前面的一个少1,最后一个因数是n-m+1,共m个因数相乘.
题型一 排列的概念
例1
(1)在各国举行的足球联赛中,一般采取“主客场制”(即每两个球队之间分为主队和客队各赛一场).若共有12支球队参赛,则需进行多少场比赛?
(2)在“世界杯”足球赛中,由于有东道主国家承办,故无法实行“主客场制”,而采用“分组循环淘汰制”.若共有32支球队参加,分为八组,每组4支球队进行小组循环赛,则在小组循环赛中需进行多少场比赛?
(3)在乒乓球单打比赛中,由于参赛选手较多,故常采取“抽签组对淘汰制”决出冠军,若共有100名选手参赛,待冠军产生时,共需举行多少场比赛?
在上述三个问题中,是排列问题的是________.
答案
(1)
解析 对于
(1),同样是甲、乙两队比赛,甲作为主队和乙作为主队是两场不同的比赛,故与顺序有关,是排列问题;对于
(2),由于是组内循环,故甲、乙两队之间只需要进行一场比赛,与顺序无关,不是排列问题;对于(3),由于两名选手一旦比赛后就淘汰其中一位,故也与顺序无关,不是排列问题.故填
(1).
反思与感悟 确认一个具体问题是否为排列问题,一般从两个方面确认.
(1)首先要保证元素的无重复性,否则不是排列问题.
(2)其次要保证选出的元素被安排的有序性,否则不是排列问题,而检验它是否有顺序的标准是变换某一结果中两元素的位置,看结果是否变化,有变化就是有顺序,无变化就是无顺序.
跟踪训练1 判断下列问题是不是排列问题,并说明理由.
(1)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动,其中一名同学参加活动A,另一名同学参加活动B;
(2)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动;
(3)从所有互质的三位数中选出两个数求其和;
(4)从所有互质的三位数中选出两个数求其商;
(5)高二
(1)班有四个空位,安排从外校转来的三个学生坐这四个空位中的三个.
解
(1)是排列,因为选出的两名同学参加的是不同的活动,即相当于把选出的同学按顺序安排到两个不同的活动中.
(2)不是排列,因为选出的两名同学参加的是同一个活动,没有顺序之分.
(3)不是排列,因为选出的两个三位数之和对顺序没有要求.
(4)是排列,因为选出的两个三位数之商会随着分子、分母的顺序而发生变化,且这些三位数是互质的,不存在选出的数不同而商的结果相同的可能,故是排列.
(5)是排列,可看作从四个空位中选出三个座位,分别安排给三个学生.
题型二 排列数公式的应用
例2
(1)计算A和A;
(2)用排列数表示(55-n)(56-n)…(69-n)(n∈N*且n<55);
(3)化简n(n+1)(n+2)(n+3)…(n+m).
解
(1)A=15×14×13=2730,A=6×5×4×3×2×1=720.
(2)∵55-n,56-n,…,69-n中的最大数为69-n,且共有(69-n)-(55-n)+1=15(个)数,∴(55-n)(56-n)…(69-n)=A.
(3)由排列数公式可知n(n+1)(n+2)(n+3)…(n+m)=A.
反思与感悟
(1)排列数公式的乘积的形式适用于个体计算和当m较小时的含排列数的方程和不等式问题.
(2)排列数公式的阶乘的形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题,具体应用时注意提取公因式,可以简化计算.
跟踪训练2
(1)解不等式:
A<6A;
(2)证明A-A=nA,并用此结论计算A+2A+3A+…+8A.
(1)解 原不等式等价于
整理得
即5<x≤6且x∈N*,从而解得x=6.
(2)证明 A-A=(n+1)!
-n!
=(n+1)n!
-n!
=n·n!
=nA.
A+2A+3A+…+8A
=(A-A)+(A-A)+…+(A-A)+(A-A)
=A-A=9!
-1=362879.
题型三 排列的简单应用
例3 用排列数表示下列问题.
(1)从100个两两互质的数中取出2个数,其商的个数;
(2)由0,1,2,3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数;
(3)有4名大学生可以到5家单位实习,若每家单位至多招1名新员工,每名大学生至多到1家单位实习,且这4名大学生全部被分配完毕,其分配方案的个数.
解
(1)从100个两两互质的数中取出2个数,分别作为商的分子和分母,其排列数为A.
(2)因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除,所以这个四位数的个位数字一定是“0”,故确定此四位数,只需确定千位数字、百位数字、十位数字即可,其排列数为A.
(3)可以理解为从5家单位中选出4家单位,分别把4名大学生安排到4家单位,其排列数为A.
反思与感悟 要想正确地表示排列问题的排列数,应弄清这件事中谁是分步的主体,分清m个元素和n(m≤n)个不同的位置各是什么.
跟踪训练3
(1)有7本不同的书,从中选3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法?
(2)有7种不同的书,要买3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法?
解
(1)从7本不同的书中选3本送给3名同学,相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列,所以共有A=7×6×5=210(种)不同的送法.
(2)从7种不同的书中买3本书,这3本书并不要求都不相同,根据分步乘法计数原理知,共有7×7×7=343(种)不同的送法.
忽视分类讨论致误
例4 甲、乙、丙、丁四个人排成一行,则乙、丙两人位于甲同侧的排法总数是( )
A.16B.12
C.8D.6
错解 因为乙、丙两人位于甲同侧,可分为两类:
第一类,当甲在第三位时,不同的排法数为A·A=2;第二类,当甲在第四位时,不同的排法数为A·A=6.根据分类计数原理,所求的不同排法的总数为2+6=8.
答案 C
错因分析 对“同侧”的理解不到位,想当然认为只在甲左侧,因此遗漏计数而致误.
正解 因为乙、丙两人位于甲同侧,可分为两类:
第一类,乙、丙两人位于甲左侧;当甲在第三位时,不同的排法种数为A·A=2;当甲在第四位时,不同的排法种数为A·A=6,所以乙、丙两人位于甲左侧的不同排法的总数为2+6=8;第二类,乙、丙两人位于甲右侧的排法总数与乙、丙两人位于甲左侧的排法总数相同,也是8种.根据分类计数原理,乙、丙两人位于甲同侧的排法总数是8+8=16.
答案 A
点评 解题的关键是审题,要对题意理解清楚,特别是需要进行分类讨论时,要做到不重不漏.
1.从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为( )
A.甲乙,乙甲,甲丙,丙甲
B.甲乙丙,乙丙甲
C.甲乙,甲丙,乙甲,乙丙,丙甲,丙乙
D.甲乙,甲丙,乙丙
答案 C
解析 选出两人,两人的不同顺序都要考虑.
2.设m∈N*,且m<15,则(15-m)(16-m)…(20-m)等于( )
A.AB.A
C.AD.A
答案 C
解析 因为15-m,16-m,…,20-m中的最大数为20-m,且共有20-m-(15-m)+1=6(个).所以(15-m)·(16-m)…(20-m)=A.
3.某电视台一节目收视率很高,现要连续插播4个广告,其中2个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告,要求最后播放的必须是商业广告,且2个商业广告不能连续播放,则不同的播放方式有( )
A.8种B.16种
C.18种D.24种
答案 A
解析 可分三步:
第一步,排最后一个商业广告,有A种;第二步,在前两个位置选一个排第二个商业广告,有A种;第三步,余下的两个排公益宣传广告,有A种.根据分步计数原理,不同的播放方式共有AAA=8(种).故选A.
4.8种不同的菜种,任选4种种在不同土质的4块地上,有________种不同的种法.(用数字作答)
答案 1680
解析 将4块不同土质的地看作4个不同的位置,从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地上,则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题.所以不同的种法共有A=8×7×6×5=1680(种).
5.某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次可以任挂1面、2面或3面,并且不同的顺序表示不同的信号,则一共可以表示________种不同的信号.
答案 15
解析 第1类,挂1面旗表示信号,有A种不同方法;
第2类,挂2面旗表示信号,有A种不同方法;
第3类,挂3面旗表示信号,有A种不同方法.
根据分类加法计数原理,可以表示的信号共有A+A+A=3+3×2+3×2×1=15(种).
1.排列有两层含义:
一是“取出元素”,二是“按照一定顺序排成一列”.这里“一定的顺序”是指每次取出的元素与它所排的“位置”有关,所以,取出的元素与“顺序”有无关系就成为判断问题是否为排列问题的标准.
2.排列数公式有两种形式,可以根据要求灵活选用.
一、选择题
1.4·5·6·…·(n-1)·n等于( )
A.AB.A
C.n!
-4!
D.A
答案 D
解析 因为A=n(n-1)(n-2)…(n-m+1).所以A=n(n-1)(n-2)…[n-(n-3)+1]=n·(n-1)(n-2)·…·6·5·4.
2.将5本不同的数学用书放在同一层书架上,则不同的放法有( )
A.50B.60
C.120D.90
答案 C
解析 5本书进行全排列,A=120.
3.有5名同学被安排在周一至周五值日,已知同学甲只能在周一值日,那么5名同学值日顺序的编排方案共有( )
A.12种B.24种
C.48种D.120种
答案 B
解析 ∵同学甲只能在周一值日,∴除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日,∴5名同学值日顺序的编排方案共有A=24(种).
4.高三
(一)班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序,要求2个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是( )
A.1800B.3600
C.4320D.5040
答案 B
解析 不同排法的种数为AA=3600(种).
5.从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别为a,b,共可得到lga-lgb的不同值的个数是( )
A.9B.10C.18D.20
答案 C
解析 首先从1,3,5,7,9这五个数中任取两个不同的数排列,共有A=20(种)排法,
因为=,=,所以从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a,b,共可得到lga-lgb的不同值的个数是20-2=18.
6.将4张相同的博物馆的参观票分给5名同学,每名同学至多1张,并且票必须分完,那么不同的分法的种数为( )
A.54B.45
C.5×4×3×2D.5
答案 D
解析 由于参观票只有4张,而人数为5人,且每名同学至多1张,故一定有1名同学没有票.因此从5名同学中选出1名没有票的同学,有5种选法.又因为4张参观票是相同的,不加以区分,所以不同的分法有5种.
7.六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有( )
A.192种B.216种
C.240种D.288种
答案 B
解析 根据甲、乙的位置要求分类解决,分两类.
第一类,甲在最左端,有A=5×4×3×2×1=120(种)方法;
第二类,乙在最左端,有4A=4×4×3×2×1=96(种)方法.
所以共有120+96=216(种)方法.
二、填空题
8.某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了________条毕业留言.(用数字作答)
答案 1560
解析 根据题意,得A=1560,故全班共写了1560条毕业留言.
9.不等式A-n<7的解集为________.
答案 {3,4}
解析 由不等式A-n<7,
得(n-1)(n-2)-n<7,
整理得n2-4n-5<0,
解得-1 又因为n-1≥2且n∈N*, 即n≥3且n∈N*, 所以n=3或n=4, 故不等式A-n<7的解集为{3,4}. 10.5名同学排成一列,某个同学不排排头的排法种数为________.(用数字做答) 答案 96 解析 可分两步: 第一步,某同学不排排头,故排头的位置可以从余下的四个同学中选一个排,有A种方法;第二步,余下的四个同学全排列,有A种不同的排法,根据分步乘法计数原理,所求的排法种数为AA=96.故填96. 11.有3名大学毕业生,到5家招聘员工的公司应聘,若每家公司至多招聘一名新员工,且3名大学毕业生全部被聘用,若不允许兼职,则共有________种不同的招聘方案.(用数字作答) 答案 60 解析 将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置,从中任选3个位置给3名大学毕业生,则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题.所以不同的招聘方案共有A=5×4×3=60(种). 三、解答题 12.判断下列问题是否为排列问题: (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同); (2)选2个小组分别去植树和种菜; (3)选2个小组去种菜; (4)选10人组成一个学习小组; (5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员; (6)某班40名学生在假期相互通信. 解 (1)中票价只有三种,虽然机票是不同的,但票价是一样的,不存在顺序问题,所以不是排列问题; (2)植树和种菜是不同的,存在顺序问题,属于排列问题; (3)(4)不存在顺序问题,不属于排列问题; (5)中每个人的职务不同,例如甲当班长或当学习委员是不同的,存在顺序问题,属于排列问题; (6)A给B写信与B给A写信是不同的,所以存在着顺序问题,属于排列问题. 所以在上述各题中 (2)(5)(6)属于排列问题. 13.某国的篮球职业联赛共有16支球队参加. (1)每队与其余各队在主客场分别比赛一次,共要进行多少场比赛? (2)若16支球队恰好8支来自北部赛区,8支来自南部赛区,为增加比赛观赏度,各自赛区分别采用 (1)中的赛制决出赛区冠军后,再进行一场总冠军赛,共要进行多少场比赛? 解 (1)任意两队之间要进行一场主场比赛及一场客场比赛,对应于从16支球队任取两支的一个排列,比赛的总场次是A=16×15=240. (2)由 (1)中的分析,比赛的总场次是A×2+1=8×7×2+1=113. 14.一条铁路有n个车站,为适应客运需要,新增了m个车站,且知m>1,客运车票增加了62种,问原有多少个车站? 现在有多少个车站? 解 由题意可知,原有车票的种数是A种,现有车票的种数是A种,∴A-A=62, 即(n+m)(n+m-1)-n(n-1)=62. ∴m(2n+m-1)=62=2×31, ∵m<2n+m-1,且n≥2,m,n∈N*, ∴解得m=2,n=15, 故原有15个车站,现有17个车站.
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