几何图形的不变性和变化规律以及特殊条件下的特定性精.docx
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几何图形的不变性和变化规律以及特殊条件下的特定性精
几何图形的不变性和变化规律以及特殊条件下的特定性
关于几何图形性质方面的探究,已成为近年来各地中考试卷中带有普遍性的热点,细分起来,这样的题目又可分为两大类:
第一类,设置变化性的图形背景,探究由变化所体现的“图形不变性”或“变化规律”。
第二类,设置附有特殊条件或特殊结论的图形背景,研究由此生产的“特定性质”。
这两类探究问题正好体现着人们扩展认识的两个基本方向:
一是由特殊向一般扩充,二是向相对更为特殊的方向深入。
现在我们分别来解析与归纳这两类探究性问题应解的思考特征。
一、探究图形变化引出的不变性或变化规律
从图形变化过程来看,又分为三条途径:
Ⅰ、由“图形变换”形成变化背景,探究其中的不变性或变化规律;
Ⅱ、由“特殊到一般”形成的变化背景,探究其中的不变性或变化规律;Ⅲ、由“类比”形成的变化背景,探究其中的不变性或变化规律。
从解法的思考来说,三类题目尽管有很多一致性,但因图形变化的背景不同必然带来基本切入点的不同。
1、图形变换引出的不变性或变化规律
我们知道,图形的“轴对称”、“平移”、“旋转”这些变换,是图形运动及延伸的重要途径,研究这些“变换”中的图形的“不变性”或“变化规律”,便是既自然又现成的展开方式。
对于这些起源于“变换”的探究性问题,解法的思考当然要围绕“变换”而展开,主要思考方向可有:
Ⅰ、化归到基本图形的“变换性质”;
Ⅱ、沿“变换”考查图形变化中所体现的统一性和差异性。
(1借助于“化归到基本图形或变换性质”的思考获得解达
例1如图(1,在ABC∆中,BACGACAB⊥=,交BA的延长线于点G。
一等腰直角三角尺按如图(1所示的F,一条直角边与AC边在一条直线上,另一条直角边恰好经过点B。
(1
(2
(1在图(1中请你通过观察、测量BF与CG
然后证明你的猜想。
(2当三角尺沿AC方向平移到图(2所示的位置时,一条直角边仍与AC边在同一直线上,另一条直角边交BC边于点D。
过点D作BADE⊥于点E。
此时请你通过观察、测量DFDE,与CG的长度,猜想并写出DFDE+与
CBC
CG之间满足的数量关系,然后证明你的猜想。
(3当三角尺在(2的基础上沿AC方向继续平移到图(3所示的位置时,(点F在线段AC上,且点F与点C不重合时,(2中的猜想是否仍然成立?
(不说明理由。
【观察与思考】经过仔细审题,排除“三角尺”和其平移的表面(3
干扰,题中的图(1,图(2,图(3对应的几何图形就是:
(1`
(2`(3`
它们就是我们早已熟悉的基本模式;“等腰三角形底边上任意一点到两腰的垂线段之和都等于这个三角形一腰上的高”。
至此,本题的解法已是显而易见,本题的思考就是“回归到基本模式”,而题目所体现的就是“图形中变换中的不变性”。
例2用两个全等的正方形ABCD和CDFE拼成一个矩形ABEF,把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边AF的中点D重合,且将直角三角尺绕点D按逆时针方向旋转。
(1当直角三角尺的两直角边分别与矩形ABEF的两边BE,EF相交于点G,H时,(如图(1,通过观察或测量BG与EH的长度,你能得到什么结论?
并证明你的结论。
(2当直角三角尺的两直角边分别与BE的延长线,
EF的延长线相交于点G,H时,(如图(2,你在图(1中得到的结论还成立吗?
简要说明理由。
(2
【观察与思考】可以有两种化归的思考方法:
方法Ⅰ、若将原图再补上两个全等的小正方形,使基本背景成为一个大正方形,如图(1`和图(2`。
这时点D就是大正方形的中心。
根据“正方形是关于中心90
°旋转对称图形”(见关节四,立刻知道DCGRt∆绕点D逆时针旋转90°便与DFHRt∆重合,当然全等,即均有FHCG=,进而有EHBG=。
方法Ⅱ、原图的背景ABCEFD是由两个全等的的正方形拼成,因此,若正方形ABCD绕点D逆时针旋转90°,则它与正方形CEFD重合,由︒=∠90GDH,可知在此过程中BG与EH重合(具体论述略。
B
C
D
BCBDCACAB=
CABF⊥于F,BACG⊥于GACAB=,D为BC上一点,BADE⊥于E,CADF⊥于F,BACG⊥于G。
BDC,ACAB=D为BC上一点,
BADE⊥于E,CADF⊥于F,BACG⊥于G。
CEG
(1`(2`
本题的思考也是回归到“基本图形的性质”,而题目体现的也是“图形变换中的不变性”。
解:
只需按如上的方法Ⅰ写出相应的三角形全等的理由即可(结论和过程略。
例3已知,四边形ABCD中,︒=∠︒=∠=⊥⊥60,120,,,MBNABCBCBACDBCADAB,MBN∠绕B点旋转,它的两边分别交DCAD,(或它们的延长线于E,F。
当MBN∠绕B点旋转到CFAE=时,(如图(1,易证:
EFCFAE=+。
当MBN∠绕B点旋转到CFAE≠时,在图(2和图(3中这两种情况下,上述结论是否成立?
若成立,请给予证明;若不成立,线段EFCFAE,,又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,不需证明。
(1
(2
(3
【观察与思考】由背景︒=∠=120,ABCBCBA,可知BA和BC具有绕点B旋转120°的重合性,依此构造全等三角形。
解:
在图(1和图(2中均有EFCFAE=+,理由如下;
如图(1`和图(2`,作︒=∠60FBG,交DC延长线于点G(这时即有BAERt∆绕点B顺时针旋转120°重合于BCGRt∆中,
B
CDM
NFA
B
C
D
M
E
NF
B
C
D
E
N
M
B
B
G
(1`(2`(3`
在BAERt∆和BCGRt∆中,
CBGFBCFBCEBFEBCABEBCBA∠=∠-︒=∠+∠-︒=∠-︒=∠=60(120120,。
BCGRtBAERt∆≅∆∴BGBECGAE==∴,。
在BEF∆和BGF∆中,BFBGBEGBFEBF,,60=︒=∠=∠公用。
BGFBEF∆≅∆∴,CFAECFCGGFEF+=+==∴。
对于(3的情况,有结论:
CFAEEF-=。
理由是:
如图(3`,作,60︒=∠EBG交AD于点G,与情况(1`、(2`类似地可证明
BCFRtBAGRt∆≅∆,得,CFAG=又可有BFEBGE∆≅∆,可知CFAEAGAEEGEF-=-==
由图(1到图(2体现的是“不变性”,而由图(1到图(3,体现的却是“变换过程中的变化规律”。
由以上三个例子可以看出:
许多由图形变换引出的不变性或变化规律问题,解法思考的第一选择是将问题化归到“基本图形的变换性质”。
这也进一步说明:
“化归到基本”是数学思考的最基本的最重要的原则。
(2借助于考察图形变换过程中各种形态(情况的统一和差异性来获得解法
例4如图,已知矩形ABCD,,3,3==
BCAB在BC上取两点E,F(E在F左边,以EF为边作等边三角
形PEF,使顶点P在AD上,PFPE,分别交AC于点HG,。
(1求PEF∆的边长;
(2若等边三角形PEF∆的边EF在线段BC上移动,试猜想:
PH与BE有何数量关系?
并证明你猜想的结论。
【观察与思考】本题的核心是研究特定的等边PEF∆在矩形ABCD内平移的有关问题,首先,把矩形ABCD的情况搞清楚:
在已知数据的基础上易知3
3tan=
∠ACB,即
︒=∠=∠30CADACB
其次,把等边PEF∆在矩形ABCD内平移中的各类形态集中在图(1中,进行观察和比较,容易看到:
第一,在特殊情况(E重合于B时,由''(PEABRt∆可计算出230cos3''=︒
=
EP。
即PEF∆的边长为2。
C
D
E
F
第二,比较PEF∆和'''FEP∆两种形态对应的图形情况,有1''+=+==BEAPPPPAPH,再比较''''''FEP∆和'''FEP∆两种形态所对应的图形情况,有1''''''''''(''''+=+==BEAPPPAPHFP。
这就促使我们形成了对PH和BE数量关系的猜想,并找到了其根据,至于计算和证明,我们还应按题目提供的一般情况的图形来进行。
(1
(2
解:
(1过P作BCPQ⊥于Q,如图(2,在PEQRt∆中,
22
33,60,3==∴︒=∠==PEPEQABPQ。
(2PH和BE数量关系是1+=BEPH。
理由如下:
作,//'PEBP交AD于'P,如图(3
(3
在ABPRt'∆中,1',30',2'=∴︒=∠=APABPBP。
1'',30+=+==∴︒=∠=∠BEAPPPPAPHPHAPAH。
【说明】正是借助于对特殊情况的考察,特别是不同形态情况的对比,更快地发现了等边PEF∆平移反映的不变性。
例5(1如图,(1,OA,OB是⊙O的两条半径,且OBOA⊥,点C是OB延长线上的任意一点,过点
C作CD切⊙O于点D,连结AD交OC于点,E求证:
CECD=。
(2若将图(1中的半径OB所在的直线向上平移交半径OA于点F,交⊙O于点'B,其他条件不变,如图(2,那么CECD=的结论还成立吗?
为什么?
(1
(3若将图(1中的半径OB所在的直线向上平移到与⊙O相离的位置,它与半径OA的延长线交于点G,点E是DA延长线与CF的交点,其他条件不变(如图(3,那么CECD=的结论还成立吗?
为什么?
【观察与思考】先考虑图(1这种特殊情况下是如何推得结论的。
背景图形中有两个特殊点:
一是OBOA⊥,二是CD切⊙O于点D,若连结OD——为使切线发挥作用,如图(1`,立刻得到ODAOAD∠=∠,而分别为它
BCD
E
F
('E'F''(F
''E
CD
E
F
Q
C
D
E
F
Q
C
C
们余角的OEA∠和CDE∠自然也就相等,这样,已得到了CECD=的保证。
将图(2、图(3的情况与图(1的情况对比,上述的“两个特殊点”仍然保持,因此,结论和根据也理应保持。
解:
(1连结OD,如图(1`,由,OAOD=得ODAOAD∠=∠,
OADOEACEDOBOA∠-︒=∠=∠∴⊥90,。
CD切⊙O于点D,CDOD⊥∴。
(1`
CEDOADODACDE∠=∠-︒=∠-︒=∠∴9090。
CECD=∴。
(2CECD=的结论仍然成立,理由是:
在图(2中连结OD。
CEDFEAOADODACDE∠=∠=∠-︒=∠-︒=∠9090,CECD=∴。
(3CECD=的结论也是成立的,理由是:
在图(3中,若连结OD,与(1同理,
有CEDGAEOADODACDE∠=∠-︒=∠-︒=∠-︒=∠909090,CECD=∴。
【说明】Ⅰ、本题的思考突出了先研究特殊,再去沟通其他的情况和特殊情况的本质联系;Ⅱ、在本题正是“平移不改变角度”这一特征,保证了题中反映的不变性的成立。
由以上两个例子看出:
相当多由图形变换引出的不变性或变化规律的问题,解法的思考应沿“变换”为线索,探究清楚其各类形态间的统一和差异,以及变换过程中“变”与“不变”间的关系,
2、由背景扩充引出的不变性或变化规律
由背景扩充,尤其是从特殊到一般,是知识形成与发展的重要途径。
在这个过程中,重要的课题就是研究哪些性质保持不变,哪些性质发生了变化,又是怎样的规律变化的。
解决这类问题,思考时应该突出如下两点:
Ⅰ、善于构造“特殊”和运用“特殊”;
Ⅱ、善于在比较中把握不同情形下的知识与方法的共同点。
(1善于构造“特殊”和运用“特殊”
例6如图(1,在ABC∆中,.6,5===ACBCABECD∆是ABC∆沿BC方向平移得到的,连结BE交AC于点,O连结AE。
(1判断四边形ABCE是怎样的四边形,说明理由。
(2如图(2,P是线段BC上一动点(不与B,C重合。
连结PO并延长交线段AE于点Q,四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化?
若变化,请说明理由;若不变,求出四边形PQED的面积。
C
(1(2
【观察与思考】对于(1,易推得四边形ABCE是菱形;对于(2,我们可以借助于点P的极端位置来思考,假定P在B点处(虽然题目P不与B,C重合,但不影响我们把这种情况作为思考的“桥梁”,则此时
BEDPQED
SS∆=四边形
如此一来,(2的结论和理由就一起得到了。
解:
(1四边形ABCE是菱形;证明如下:
ECD∆是由ABC∆沿BC平移得到的。
//ABEC∴且ABEC=,
∴四边形ABCE是平行四边形,
又BCAB=,∴四边形ABCE是菱形。
(2四边形PQED的面积不随点P的运动而发生变化,是确定的值。
由菱形的中心对称性知,QEOPBO∆≅∆,QEOPBOSS∆∆=∴,
ECD∆是ABC∆平移得到的,6,//==∴ACEDACED,
又EDBEACBE⊥∴⊥,。
24682
12
1=⨯⨯=
⋅⋅=
=+=+=∴∆∆∆EDBESSSSSSBEDRtPOED
PBOPOEDQEOPQED四边形
四边形
四边形
。
例7已知,如图(1,以ABC∆的边AB,AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG,连结EG,试判断AEG∆和ABC∆面积之间的关系,并说明理由。
【观察与思考】在条件中给出的ABC∆没有任何其他限制,为了获得
AEG∆和ABC∆面积关系的认识,我们对ABC∆从“一般”中取出
(1其包含的“特殊”——令ABC∆中︒=∠90BAC,即直角三角形,如图“特殊”,明显地看出,这时有AEGRtABCRt∆≅∆,立刻得
ABCAEGSS∆∆=,因此,促使我们产生猜想:
对于任意的ABC∆,如
题中操作得到AEG∆,都应当有ABCAEGSS∆∆=。
设法验证这个猜想。
因为,ABAE=只需要再有AEG∆中AE边上的高和ABC∆中AB边
(特殊B
C
D
O
B
C
D
O
Q
P
BC
D
F
A
G
上的高相等,就可推得
ABC
AEG
S
S
∆
∆
=,而由EAG
∠和BAC
∠为互补,
AC
AG=,以上两个高相等是很多容易推出的。
(见图(1`
解:
结论:
ABC
AEG
S
S
∆
∆
=。
理由如下:
作,
EA
GM⊥交EA的延长线于点M;作,
AB
CN⊥交AB于点N。
则:
CN
AB
S
GM
AE
S
ABC
AEG
⋅
=
⋅
=
∆
∆2
1
2
1
。
(1`BAC
AC
CN
GAM
AG
GM
AB
AE∠
⋅
=
∠
⋅
=
=sin
sin
又GAM
∠和BAC
∠同为EAG
∠的补角,即GAM
∠=BAC
∠,
且AC
AG=,CN
GM=
∴
ABC
AEG
S
CN
AB
GM
AE
S
∆
∆
=
⋅
=
⋅
=
∴
2
1
2
1
。
由以上两例可以看出:
为了探究“一般情况”的某种不变性,可以构造或选择恰当的“特殊”,先搞清楚这一“特殊”的情况下的结论及根据,再由此获得对“一般”的认识及解决的方法。
(2善于在情景的比较中把握知识或方法的共同点
例8如图(1,小明在研究正方形ABCD的有关问题时,得出:
“在正方形ABCD中,如果点E是CD的中点,点F是BC边上一点,且EAD
FAE∠
=
∠,那么AE
EF⊥。
”他又将“正方形”改为“矩形”、“菱形”、和“任意平行四边形”(如图(2,图(3,图(4,其他条件不变,发现仍然有“AE
EF⊥”的结论。
(1(2(3(4
你同意小明的观点吗?
若同意,请结合图(4加以说明;若不同意,请说明理由。
【观察与思考】若在图(1中证明AE
EF⊥,应注意利用BC的中点E的“中心对称功能”,可延长EF交AD的延长线于点G。
如图(1`,由FEC
∆和GED
∆关于点E的中心对称,易得GE
FE=。
结合GAEFAE∠
=
∠,立刻得FE
AE⊥。
对于图(2,图(3,图(4的情况,上述辅助线和相应的结果都有同样的保证。
因此,“AEEF⊥”的结论也成立,且证明方法也相同。
解:
(略
BC
D
F
M
BC
D
E
FB
D
E
FF
BC
E
F
【说明】在本题,尽管图形背景由特殊扩充到一般,但由于“AE是FAD∠的角平分线”,“E是CD的中点”这两个结论的决定条件不变,使得结论也就具有“不变性”,即“条件本质(1`
的不变性”决定了“结论的不变性。
”。
例9如图(1,在梯形ABCD中,,,,//aCDbABCDAB==E为AD边上任意一点,,//ABEF且EF交BC于点F,某学生在研究这一问题时发现如下事实:
①当1=AEDE时,有2
baEF+=;②当2=AE
DE时,有32baEF+=;(1
③当3=AE
DE时,有4
3baEF+=
;
当kAE
DE=时,参照上述研究结论,请你猜想用k表示EF的一般结论,并给出证明;
(2现有一块直角梯形田地ABCD(如图(2所示,其中310,,//=⊥ABABADCDAB米,170=DC米,
70=AD米,若要将这块地分成两块,由农户来承包,要求这两块地均为直角梯形,且它们的面积相等,请你给出具体分割方案。
【观察与思考】对于(1,由①,②,③的情况和结论容易得到(2
猜想:
当
kAE
DE=时,应有1
++=
kkbaEF。
为了获得对这个一般
猜想的证明,我们从对2=AE
DE时这一“简单”情况的研究入手,
以获得证明方法的启示。
如图(1`,若
2=AE
DE,作DACH//,交AB于H,交EF于M(因为我们总是把梯形的问题转化到平行四边
形和三角形中来解决。
易知,
AHDCEM==2==AE
DEMH
CM,而由CMF∆∽CHB∆得
3
221=
+
=
+=
=CM
CMCMMHCMCMCHCMHB
MF,即
(3
23
2abHBMF-==,这样就有3
2(3
2baabaMFEMEF+=
-+
=+=。
这样的证明手段可以“移植”到“
kAE
DE=”的情况。
对于(2,实际上是用(1的结论来解决具体问题。
解:
(1结论为:
“当
kAE
DE=时,有1
++=
kkbaEF。
”
(1`
至于证明,可类比上面的观察与思考进行(略。
A
FC
D
EBAB
A
F
C
EB
H
M
(2若在CBAD,上分别有点E,F,且ABEF//,并且满足EABFDEFCSS梯形梯形=。
设
xAE
DE=,则由70=+DEAE得:
1
70,1
70+=
+=
xxDExAE。
由(1的结论知:
1310170++=xx
EF。
得方程:
3101
310170(
170211
310170170(1
7021+++⋅+⋅=
+++
⋅+⋅xx
xxx
xx。
化简为,0127122=--xx解得34,3
421-
==
xx(舍去
即应在AD上取点E,使301
3470=+=AE(米,作ABEF//交BC于F,则EF就把原直角梯形分成面积相等
的两个直角梯形。
【说明】本题的思考是从简单情况获取对一般情况结论和论证方法的启发。
由以上两例说明:
研究“特殊”情况与“一般”情况之间的知识、方法、原理诸方面的共同之处,是解决扩充型不变性或变化规律问题的一种有效策略。
3、由类比引出的图形的不变性或变化规律
“类比”也是人们拓展视野、认识新事物、增长新知识的重要方法和途径,同样,它也是我们在数学中探究图形性质“变中不变”或“变中的变化规律”的重要方法和途径。
例10已知,⊙1O与⊙2O相切于点P,它们的半径分别为rR,。
一直线绕P点旋转,与⊙1O、⊙2O分别交于点BA,(点P,B不重合。
探索规律:
(1
(2
(1如图(1,当⊙1O与⊙2O外切时,探究
PB
PA与半径rR,之间的关系式,请证明你的结论。
(2如图(2,当⊙1O与⊙2O内切时,第(1题探究的结论还是否成立?
为什么?
【观察与思考】对于(1,容易想到构造以直径为斜边的直角三角形,如图(1`,则有PAMRt∆∽PBNRt∆
A
A
P
可知,
r
RPB
PA=
对于(2,类比(1的解决方法,自然也会想到去构造相似的直角三角形,如图(2`,则两圆内切时的解决方(1`
(2`
解:
(1有结论
r
RPB
PA=
证明如下:
设1O2O延长后分别与⊙1O
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